《材料加工過程的數(shù)值模擬》——微觀組織數(shù)值模擬(III)任課教師:王錦程Office：公字樓216TelO)Email：jchwang@上節(jié)內(nèi)容回顧微觀組織數(shù)值模擬方法：MD,MC,CA,PFM,FTM,LSM朗道連續(xù)相變理論：序參量，朗道自由能多項式Gibbs自由能熱力學模型：固溶體、化合物機械混合理想溶液真實體系常數(shù)，則為規(guī)則溶液相互作用參數(shù)原子在兩個亞點陣中分配程度的不同-不同的有序度以體心立方結(jié)構(gòu)的固溶體為例bccfcc雙亞點陣模型（Twosublatticemodel）間隙式固溶體(Interstitialsolidsolution)線性化合物(Linearcompound)例(a鐵素體)通式分子式元素進入原子分數(shù)實體亞點陣亞點陣成分亞點陣成分雙亞點陣模型對間隙固溶體成分的描述例（合金滲碳體）通式分子式元素進入原子分數(shù)M亞點陣N亞點陣結(jié)點比亞點陣成分亞點陣成分亞點陣成分亞點陣成分雙亞點陣模型對線性化合物成分的描述

由于亞點陣模型假設(shè)各亞點陣之間的相互作用可以忽略不計，一個亞點陣內(nèi)組元的相互作用與其它亞點陣內(nèi)組元的種類無關(guān)。將每一個亞點陣中不同組元混合的理想混合熵相加，就可得到理想混合熵對Gibbs自由能的貢獻。Gibbs自由能的參考面是是AaCc、BaCc、AaDc、BaDc等化合物Gibbs自由能的機械混合。亞點陣模型的過剩Gibbs自由能是描述同一亞點陣內(nèi)組元的相互作用對理想溶體的偏差。如果一個亞點陣上只有一種組元，則這個亞點陣上的過剩Gibbs自由能為零。當亞點陣中有兩種以上的組元時，可以按正規(guī)溶液模型計算其過剩Gibbs自由能。表示當?shù)诙€亞點陣中充滿了C組元時，第一個亞點陣中A和B之間的相互作用參數(shù)在Ni-Al二元合金中，

′相具有fcc有序結(jié)構(gòu)，可看作是由四個相互穿插的亞點陣構(gòu)成，可采用四亞點陣熱力學模型來描述：請給出

′相Gibbs自由能表達式??×0.25

相場法基本原理及其應(yīng)用

相場法起源及發(fā)展歷史相場法的應(yīng)用領(lǐng)域相場法基本思想相場模型的建立對于一個封閉空間Ω

Rd，材料由界面(t)Rd-1分割為固/液兩態(tài)。對于純物質(zhì)有枝晶生長：典型的Stefan問題（自由邊界問題）

遠場條件尖銳界面模型需跟蹤界面Gibbs-Thompson系數(shù)kineticmobility相場法的起源及發(fā)展歷史傳熱方程界面守恒Gibbs-Thomson關(guān)系（曲率效應(yīng)）

尖銳界面模型(ShapeInterfaceModel)在這類模型中，界面是尖銳的（數(shù)學上表現(xiàn)為厚度無限?。?、液相在界面兩側(cè)銳變。彌散界面模型(DiffuseInterfaceModel)固相、液相和界面作為不同的相態(tài)用一個標量統(tǒng)一表示，這個標量與其它變量構(gòu)成一組偏微分方程。VanderWaals(1893)Korteweg(1901)Landau-Ginzburg(1950)Cahn-Hilliard(1958)Halperin,Hohenberg&Ma(1977)J.Langer(1978)相場法的起源及發(fā)展歷史對具有十分復雜的界面結(jié)構(gòu)的問題時，用經(jīng)典尖銳界面模型去跟蹤界面演化，會遭遇到嚴重的數(shù)值困難。

真實材料中的相界或晶界實際上并不是嚴格的零厚度界面，而是具有一定厚度（納米尺度）的邊界層，這層厚度控制材料相變動力學（如凝固中的非平衡效應(yīng)，溶質(zhì)截流效應(yīng)等）。相場法的關(guān)鍵是引入一個序參量場

來區(qū)分兩相（如固相和液相），通常稱之為相場。在相場中，

在固/液界面的一側(cè)從一個常值逐漸過渡至界面另一側(cè)的某一常值，將這個擴散界面層定義為界面，因此，在相場法中的固/液界面為彌散型界面。的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學狀態(tài)，可以不嚴格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。

相場法的起源及發(fā)展歷史序參量彌散界面統(tǒng)一自由能形式平均場理論Hohenberg

和

Halperin（1977）提出ModelC的概念。

相場模型的想法最初由Langer(1978,1986)提出，Collin和Levine(1985)也引入了類似的相場模型(Phasefieldmodel)。Caginalp(1985-1991)分析了這些相場模型，證明它們在界面層厚度趨于零時可以還原為尖銳界面的自由邊界模型，這就從數(shù)學上證明了Langer等人相場模型的有效性。Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相場模型對具體凝固過程進行數(shù)值模擬。相場法的起源及發(fā)展歷史1992年，Wheeler，Boettinger和McFadden建立了WBM相場模型，1995年Warren等首次對Ni-Cu合金凝固過程組織演化進行了模擬。1993年Chen，Wang及Khachaturyan等將彌散界面概念用于固態(tài)相變模擬，建立了可考慮彈性場作用的相場模型(continuumfieldmodel)。1998年Kim等基于界面局部平衡建立了KKS相場模型。1998年及2001年Karma建立了純物質(zhì)凝固及合金凝固的定量相場模型。2002年Elder等建立了晶體相場模型（phasefieldcrystalmodel).相場法的起源及發(fā)展歷史模型中的基本方程不是從不可逆過程的熱力學原理出發(fā)推出的，其推論不能與經(jīng)典熱力學的熵增加原理相融洽。因此這些模型的推導在理論上看不很自然。Penrose和Fife(1990,1995)克服了以上相場模型的第一個缺點。他們建立了與熱力學原理相洽的相場模型。這一相場理論后又經(jīng)Sekerka,A.A.Wheeler,McFadden,Coriell等進一步完善化。這種相場理論的建立基于引入熵泛函表達式，保證了系統(tǒng)中局部熵增加原理永遠成立。這些相場模型在應(yīng)用于凝固過程的數(shù)值計算時，只能用于過冷度大的情形。對于實際上大量出現(xiàn)的小過冷度情形(如枝晶生長屬此情形)，用這些相場模型很難求得數(shù)值模擬解。A.Karma和W-J.Rappel(1996)克服了以上相場模型的第二個缺點，他們在不同的極限條件下，讓相場模型還原成自由邊界模型，從而對相場模型中一些參數(shù)賦予了新的物理意義，使得相場模型用于小過冷度條件下凝固過程的數(shù)值模擬成為可能。相場法的起源及發(fā)展歷史

相場法基本原理及其應(yīng)用

相場法起源及發(fā)展歷史相場法的應(yīng)用領(lǐng)域相場法基本思想相場模型的建立

相變過程流體力學結(jié)構(gòu)優(yōu)化生物學

……相場法應(yīng)用領(lǐng)域液/固相變（枝晶生長、多元多相凝固、多晶凝固等）固態(tài)相變（沉淀相析出、馬氏體相變、鐵電相變等）應(yīng)力相變（薄膜生長，定向粗化）結(jié)構(gòu)缺陷相變（裂紋擴展、位錯動力學）外場耦合（溫度場、應(yīng)力場、流場、電磁場）自由枝晶（多晶）自由枝晶（多晶）自由枝晶（多晶）Ryschenkow&FaivreJCG(1988)SeSpheruliticgrowthL.Gránásy,

T.B?rzs?nyi,T.PusztaiResearchInstituteforSolidSttePhysicsandOptics,Budapest,HungaryFractal-likemultidomains:Fleury,Nature(1997)自由枝晶（耦合流場）定向凝固定向凝固共晶生長共晶生長EutecticFibres共晶生長偏晶生長相場法在固態(tài)相變中的應(yīng)用(Al-Cu)相場法在固態(tài)相變中的應(yīng)用（Ni-Al）馬氏體相變微彈性位錯攀移與滑移剪切與拉伸外延生長外延生長

相場法基本原理及其應(yīng)用

相場法起源及發(fā)展歷史相場法的應(yīng)用領(lǐng)域相場法基本思想相場模型的建立相場法的關(guān)鍵是引入一個序參量場

來區(qū)分兩相，通常稱之為相場。在相場中，

在界面的一側(cè)從一個常值逐漸過渡至界面另一側(cè)的某一常值，將這個擴散界面層定義為界面，因此，在相場法中的界面為彌散型界面。的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學狀態(tài)，可以不嚴格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。

通過上述處理，從而使界面位置隨空間和時間的變化隱含在相場變量隨時間和空間的演化之中。

相場法基本思想序參量彌散界面統(tǒng)一自由能形式基本思想相場模型的基礎(chǔ)是Landau相變理論。Landau相變理論強調(diào)了對稱的重要性，對稱性的破壞對應(yīng)著相變的發(fā)生。在Landau相變理論中，對稱性由序參量所描述。對稱破缺意味著序參量不為零的有序相出現(xiàn)。序參量是某個物理量的平均值，描述偏離對稱的性質(zhì)和程度，可以是標量、矢量、復數(shù)或更復雜的量。如果使序參量在空間上是不均勻和連續(xù)的，則可以將Landau理論用于描述微觀組織的演化。通過序參量在空間上的依賴關(guān)系，可以確定非均勻組分和結(jié)構(gòu)，并可通過序參量的空間分布對結(jié)構(gòu)形態(tài)進行模擬?；舅枷雽τ诜蔷鶆虻倪B續(xù)體系，需要采取彌散界面進行描述，即利用各種守恒和非守恒場變量（如：濃度、結(jié)構(gòu)、取向、長程有序等）的空間梯度描述各相之間的彌散界面。相變熱力學和伴生的結(jié)構(gòu)演化是通過選構(gòu)一個依賴于保守和非保守參量的自由能密度泛函而實現(xiàn)的。相變的本質(zhì)由一組連續(xù)的序參量場所描述。微觀組織演化則通過求解控制空間上不均勻的序參量場的時間關(guān)聯(lián)的相場動力學方程而獲得。相場法對相變過程中可能出現(xiàn)的瞬時形貌和微觀組織不做任何事先的假設(shè)。相場理論的基本想法是在系統(tǒng)中引入一個新的狀態(tài)參數(shù)—序參量(orderparameter)或稱標識函數(shù)(markfunction)或相場變量(phasefield)，

(r,t)，以描述系統(tǒng)的某種狀態(tài)。序變量

=0

物質(zhì)A相(如固態(tài))，

序變量

=1

物質(zhì)B相(如液態(tài))在一個存在A

B相變的系統(tǒng)中，序參量在一個厚度十分小的薄層內(nèi)，由

(r,t)=0連續(xù)地轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(r,t)=1。在此薄層內(nèi)其它所有的物理量也都在空間連續(xù)變化。整個系統(tǒng)中不存在熱力學狀態(tài)函數(shù)的任何躍變。這時，經(jīng)典自由邊界模型中的尖銳相界面被一個有一定厚度的彌散界面層(diffusiveinterface)所替代。在相場理論中，不存在運動的相界面的位置。但相場理論卻增加了一個未知的序參量的分布函數(shù)

(r,t)

。建立相場理論的關(guān)鍵就在于建立關(guān)于包括序參量

(r,t)以及其它熱力學狀態(tài)量(如溫度、濃度等)在內(nèi)的，對于時間與物理空間的統(tǒng)一的控制方程。相場法-幾點說明在連續(xù)介質(zhì)模型框架下建立的相場模型不會是唯一的，對同一種相變系統(tǒng)、同一種問題，可建立無數(shù)不同的相場模型，它們之間的差別就在于對相界面薄層內(nèi)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的不同描述上。但是一個有效的相場模型必須滿足以下要求：（1）對序變量

(r,t)的解只能允許如下二種類型：常數(shù)解：

(r,t)=0，1

非常數(shù)解：0<

(r,t)

<1，這時

(r,t)=0向

(r,t)=1

轉(zhuǎn)變發(fā)生在一個厚度十分小的薄層內(nèi)。（2）當界面層厚度趨于零時，相場模型應(yīng)還原成尖銳界面的經(jīng)典自由邊界模型，給出與經(jīng)典自由邊界模型一致的方程組與界面條件。因此經(jīng)典自由邊界模型實際擔當著檢驗相場模型正確與否的一個標準。相場法-幾點說明通過取極限還原為自由邊界模型之后，便能建立起一些在相場模型中人為引入的參數(shù)(它們不能由實驗直接測定)與自由邊界模型中所包含的輸運系數(shù)(如熱傳導系數(shù)等)和宏觀物理量(如相變潛熱，表面張力等(它們均可由實驗直接測定))之間的關(guān)系式，從而對相場模型原先人為引入的參數(shù)賦予相應(yīng)的物理意義。但是應(yīng)該指出：將相場理論還原為自由邊界模型的極限過程可以采取不同的途徑。不同的極限過程的結(jié)果會產(chǎn)生對相場模型中同一參數(shù)的不同的物理描述。建立相場模型所