高三總復(fù)習(xí)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題高三總復(fù)習(xí)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題/高三總復(fù)習(xí)直線與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題直線與圓的方程一、直線的方程1、傾斜角：L，范圍0≤＜，若l//x軸或與x軸重合時(shí)，=00。2、斜率：k=tan與的關(guān)系：=0=0已知L上兩點(diǎn)P（x1,y）0＜＜k0112P2（x2,y2）=不存在k=y2y1x2x1當(dāng)x1=x2時(shí)，=900，不存在。當(dāng)3、截距（略）曲線過(guò)原點(diǎn)橫縱截距都為4、直線方程的幾種形式已知方程斜截式K、bY=kx+b點(diǎn)斜式P=(x1,y1y-y=k(x-x)111)k兩點(diǎn)式P1(x1,y1)yy1xx1P2(x2,y2)

22020時(shí)，=arctank，＜0時(shí)，=+arctank0。說(shuō)明幾種特別地點(diǎn)的直線不含y軸和行平①x軸：y=0于y軸的直線不含y軸和平行②y軸：x=0于y軸的直線不含坐標(biāo)輛和③平行于x軸：y=b平行于坐標(biāo)軸y2y1x2x1的直線截距式a、bxy不含坐標(biāo)軸、平④平行于y軸：x=aa1⑤過(guò)原點(diǎn)：y=kxb行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax+by+c=0A、B不一樣時(shí)為0兩個(gè)重要結(jié)論：①平面內(nèi)任何一條直線的方程都是對(duì)于x、y的二元一次方程。②任何一個(gè)對(duì)于x、y的二元一次方程都表示一條直線。5、直線系：（1）共點(diǎn)直線系方程：p（x,y）為定值，k為參數(shù)y-y0=k（x-x）0000特別：y=kx+b，表示過(guò)（0、b）的直線系（不含y軸）2）平行直線系：①y=kx+b，k為定值，b為參數(shù)。②AX+BY+入=0表示與Ax+By+C=0平行的直線系③BX-AY+入=0表示與AX+BY+C垂直的直線系3）過(guò)L1,L2交點(diǎn)的直線系A(chǔ)1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）6、三點(diǎn)共線的判斷：①ABBCAC，②KAB=KBC，③寫(xiě)出過(guò)此中兩點(diǎn)的方程，再考證第三點(diǎn)在直線上。二、兩直線的地點(diǎn)關(guān)系1、L1：y=k1x+b1L1：A1X+B1Y+C1=0L1與L2構(gòu)成的方程組L2：y=k2x+b2L2：A2X+B2Y+C2=0平行K1=k2且b1≠b2A1B1C1無(wú)解A2B2C2重合K1=k2且b1=b2A1B1C1有無(wú)數(shù)多解A2B2C2訂交K1≠k2A1B1有獨(dú)一解A2B2垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0（說(shuō)明：當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，要獨(dú)自考慮）2、L1到L2的角為0，則tank2k1（k1k21）1k2?k13、夾角：tank2k11k2k14、點(diǎn)到直線距離：dAx0By0c（已知點(diǎn)（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）A2B2①兩行平線間距離：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0c1c2dA2B2②與AX+BY+C=0平行且距離為d的直線方程為Ax+By+C±dA2B20③與AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距離相等的直線方程是AXC1C20BY25、對(duì)稱：（1）點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱：p(x,y)對(duì)于M（x,y）的對(duì)稱P(2X0X1,2Y0Y1)1100（2）點(diǎn)對(duì)于線的對(duì)稱：設(shè)p(a、b)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)p對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)pX軸p(a、b)Y=-xp(b、a)Y軸p(a、b)X=m(m≠0)p(2ma、b)y=xp(b、a)y=n(n≠0)p(a、2nb)一般方法：如圖：

(思路

1)設(shè)

P點(diǎn)對(duì)于

L的對(duì)稱點(diǎn)為

P0(x

0,y

0)

則

Kpp0﹡KL=－1P,P0中點(diǎn)滿足

L方程P0(x

0,y

（思路0)的坐標(biāo)。

2）寫(xiě)出過(guò)

P⊥L

解出P0(x0,y0)的垂線方程，先求垂足，而后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出Py

LP0x（3）直線對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱L：AX+BY+C=0對(duì)于點(diǎn)P（X0、Y0）的對(duì)稱直線l：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0（4）直線對(duì)于直線對(duì)稱①幾種特別地點(diǎn)的對(duì)稱：已知曲線f(x、y)=0對(duì)于x軸對(duì)稱曲線是f(x、-y)=0對(duì)于y=x對(duì)稱曲線是f(y、x)=0對(duì)于y軸對(duì)稱曲線是f(-x、y)=0對(duì)于y=-x對(duì)稱曲線是f(-y、-x)=0對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱曲線是f(-x、-y)=0對(duì)于x=a對(duì)稱曲線是f(2a-x、y)=0對(duì)于y=b對(duì)稱曲線是f(x、2b-y)=0一般地點(diǎn)的對(duì)稱、聯(lián)合平幾知識(shí)找出有關(guān)特色，逐漸求解。三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃LY不等式表示的地區(qū)OXAX+BY+C=0拘束條件、線性拘束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。重點(diǎn)：①作圖一定正確（建議稍畫(huà)大一點(diǎn)）。②線性拘束條件一定考慮完好。③先找可行域再找最優(yōu)解。四、圓的方程1、圓的方程：①標(biāo)準(zhǔn)方程xa2(yb)r2，c（a、b）為圓心，r為半徑。②一般方程：x2y2DXEYF0，DED2E24FC,，r222當(dāng)D2E24F0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)D2

E2

4F

0時(shí)，不表示任何圖形。③參數(shù)方程：

xa

rcosyb

rsin

為參數(shù)以A（X1，Y1），B（X2，Y2）為直徑的兩頭點(diǎn)的圓的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、點(diǎn)與圓的地點(diǎn)關(guān)系：觀察點(diǎn)到圓心距離d，而后與r比較大小。3、直線和圓的地點(diǎn)關(guān)系：訂交、相切、相離判斷：①聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，獲取一個(gè)一元二次方程：△＞0訂交、△＝0相切、△＜0相離②利用圓心c(a、b)到直線AX+BY+C=0的距離d來(lái)確立：d＜r訂交、d＝r相切d＞r相離（直線與圓訂交，注意半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)所構(gòu)成的kt△）4、圓的切線：（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程與圓x2y2r2相切于點(diǎn)（x1、y1）的切線方程是x1xy1yr2與圓(xa)2(yb)2r2相切于點(diǎn)（x1、y1）的切成方程為：(x1a)(xa)(y1b)(yb)r2與圓x2y2DXEYF0相切于點(diǎn)（x1、y1）的切線是x1xy1yD(xx1)E(yy1)F022（2）過(guò)圓外一點(diǎn)切線方程的求法：已知：p(x0，y)是圓00(xa)2(yb)2r2外一點(diǎn)(x1a)2(y1b)2r2①設(shè)切點(diǎn)是p1(x1、y1)解方程組(x0a)(x1a)(y0b)(y1b)2r2先求出p1的坐標(biāo)，再寫(xiě)切線的方程②設(shè)切線是yy0k(xx0)即kxykx0y00kabkx0y0r，求出k，再寫(xiě)出方程。再由k21（當(dāng)k值獨(dú)一時(shí)，應(yīng)聯(lián)合圖形、觀察能否有垂直于x軸的切線）③已知斜率的切線方程：設(shè)ykxb（b待定），利用圓心到L距離為r，確立b。5、圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系由圓心距進(jìn)行判斷、訂交、相離（外離、內(nèi)含）、相切（外切、內(nèi)切）6、圓系①齊心圓系：(xa)2(yb)2r2，（a、b為常數(shù)，r為參數(shù)）或：x2y2DXEYF0（D、E為常數(shù)，F(xiàn)為參數(shù)）②圓心在x軸：(xa)2y2r③圓心在y軸：x2(yb)2r

22④過(guò)原點(diǎn)的圓系方程(xa)2(yb)2a2b2⑤過(guò)兩圓C1:x2y2D1XE1YF10和C2:x2y2D2XE2YF20的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1XE1YF1入(x2y2D2XE2YF20（不含C2），此中入為參數(shù)若C1與C2訂交，則雙方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。種類一：圓的方程例1求過(guò)兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系．分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的地點(diǎn)關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2．∵圓心在y0上，故b0．∴圓的方程為(xa)2y2r2．又∵該圓過(guò)A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)．(1a)216r2∴a)2r2(34解之得：a1，r220．所以所求圓的方程為(x1)2y220．解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過(guò)A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直均分線l上，又因?yàn)閗AB421，故l的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為(2,3)，故AB的垂直均分線l的方程13為：y3x2即xy10．又知圓心在直線y0上，故圓心坐標(biāo)為C(1,0)∴半徑rAC(11)24220．故所求圓的方程為(x1)2y220．又點(diǎn)P(2,4)到圓心C(1,0)的距離為dPC(21)24225r．∴點(diǎn)P在圓外．說(shuō)明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都環(huán)繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)重點(diǎn)的量，然后依據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷點(diǎn)與圓的地點(diǎn)關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判斷直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系呢例2求半徑為4，與圓x2y24x2y40相切，且和直線y0相切的圓的方程．分析：依據(jù)問(wèn)題的特色，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(xa)2(yb)2r2．圓C與直線y0相切，且半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C1(a,4)或C2(a,4)．又已知圓x2y24x2y40的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3．若兩圓相切，則CA437或CA431．(1)當(dāng)C1(a,4)時(shí)，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(無(wú)解)，故可得a2210．∴所求圓方程為(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．(2)當(dāng)C2(a,4)時(shí)，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(無(wú)解)，故a226．∴所求圓的方程為(x226)2(y4)242，或(x226)2(y4)242．說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤會(huì)：由題意，所求圓與直線y0相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為C(a,4)，且方程形如(xa)2(y4)242．又圓x2y24x2y40，即(x2)2(y1)232，其圓心為A(2,1)，半徑為3．若兩圓相切，則CA43．故(a2)2(41)272，解之得a2210．所以欲求圓的方程為(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242．上述誤會(huì)只考慮了圓心在直線y0上方的情況，而疏忽了圓心在直線y0下方的情況．另外，誤會(huì)中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的狀況．也是不全面的．例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5)，且與直線x2y0和2xy0都相切的圓的方程．分析：欲確立圓的方程．需確立圓心坐標(biāo)與半徑，因?yàn)樗髨A過(guò)定點(diǎn)圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的均分線上．

A，故只需確立解：∵圓和直線

x

2y

0與

2x

y0相切，∴圓心

C在這兩條直線的交角均分線上，又圓心到兩直線

x

2y

0和2x

y0的距離相等．x2yx2y∴．55∴兩直線交角的均分線方程是x3y0或3xy0．又∵圓過(guò)點(diǎn)A(0,5)，∴圓心C只好在直線3xy0上．設(shè)圓心C(t,3t)∵C到直線2xy0的距離等于AC，∴2t3tt2(3t5)2．5化簡(jiǎn)整理得t26t50．解得：t1或t5∴圓心是(1,3)，半徑為5或圓心是(5,15)，半徑為55．∴所求圓的方程為(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125．說(shuō)明：本題解決的重點(diǎn)是分析獲取圓心在已知兩直線的交角均分線上，從而確立圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常例求法．例4、設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被x軸分紅兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1，在滿足條件(1)(2)的全部圓中，求圓心到直線l：x2y0的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．滿足兩個(gè)條件的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，其圓心的會(huì)合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，即可利用點(diǎn)到直線的距離公式，經(jīng)過(guò)求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，從而確立圓的半徑，求出圓的方程．解法一：設(shè)圓心為P(a,b)，半徑為r．則P到x軸、y軸的距離分別為b和a．由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90，故圓截x軸所得弦長(zhǎng)為2r．∴r22b2又圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2．∴r2a21．又∵P(a,b)到直線x2y0的距離為a2bd5∴5d2a22ba24b24aba24b22(a2b2)2b2a21當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)dmin5．5這時(shí)有

ab2b2a21∴a1a1b或b11又r2222b故所求圓的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解法二：同解法一，得da2b．5∴a2b5d．∴a24b245bd5d2．將a2221代入上式得：b2b245bd5d210．上述方程有實(shí)根，故8(5d21)0，∴d5．5將d5代入方程得b1．5又22a21∴a1．b由a2b1知a、b同號(hào)．故所求圓的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22．說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢種類二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓O：x2y24，求過(guò)點(diǎn)P2，4與圓O相切的切線．解：∵點(diǎn)P2，4不在圓O上，∴切線PT的直線方程可設(shè)為ykx24依據(jù)dr∴2k421k2解得3k4所以3x24y4即3x4y100因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)當(dāng)有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為x2．說(shuō)明：上述解題過(guò)程簡(jiǎn)單漏解斜率不存在的狀況，要注意補(bǔ)回遺漏的解．本題還有其余解法，比方把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用鑒別式等于0解決（也要注意漏解）．還能夠運(yùn)用x0xy0yr2，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x0、y0的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解．例6兩圓C1：x2y2D1xE1yF10與C2：x2y2D2xE2yF20訂交于A、B兩點(diǎn)，求它們的公共弦AB所在直線的方程．分析：第一求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB的方程，可是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁．為了防范求交點(diǎn)，能夠采納“設(shè)而不求”的技巧．解：設(shè)兩圓C1、C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則有：x02y02D1x0E1y0F10x02y02D2x0E2y0F20

①②①－②得：(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20．∵A、B的坐標(biāo)滿足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20．∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程．又過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線是獨(dú)一的．∴兩圓C1、C2的公共弦AB所在直線的方程為(D1D2)x(E1E2)yF1F20．說(shuō)明：上述解法中，奇妙地避開(kāi)了求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，固然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并無(wú)去求它，而是利用曲線與方程的看法達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還表現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的實(shí)質(zhì)認(rèn)識(shí)．它的應(yīng)用很寬泛．例7、過(guò)圓x2y21外一點(diǎn)M(2,3)，作這個(gè)圓的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別是A、B，求直線AB的方程。練習(xí)：1．求過(guò)點(diǎn)M(3,1)，且與圓(x1)2y24相切的直線l的方程．解：設(shè)切線方程為y1k(x3)，即kxy3k10，∵圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2，∴|k3k1|2，解得k3，2241k∴切線方程為y13(x3)，即3x4y130，4當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線x3也合適題意。x3所以，所求的直線l的方程是3x4y130或．2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2y24x2y50相切的直線的方程為25解：設(shè)直線方程為ykx，即kxy0.∵圓方程可化為(x2)2(y1)2，∴圓心2為（2，-1），半徑為10.依題意有2k110，解得k3或k1，∴直線方程k22123為y3x或y1x.33、已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為.解：∵圓(x1)2y21的圓心為（1，0），半徑為1，∴5a1，解得a8或a18.52122種類三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例8、求直線l:3xy60被圓C:x2y22x4y0截得的弦AB的長(zhǎng).例9、直線3xy230截圓x2y24得的劣弧所對(duì)的圓心角為解：依題意得，弦心距d3，故弦長(zhǎng)AB2r2d22，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為AOB.3例10、求兩圓x2y2xy20和x2y25的公共弦長(zhǎng)種類四：直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系例11、已知直線3xy230和圓x2y24，判斷此直線與已知圓的地點(diǎn)關(guān)系.例12、若直線yxm與曲線y4x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：∵曲線y4x2表示半圓x2y24(y0)，∴利用數(shù)形聯(lián)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是2m2或m22.例13圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線l1、l2的方程，從代數(shù)計(jì)算中找尋解答．解法一：圓(x3)2(y3)29的圓心為O1(3,3)，半徑r3．設(shè)圓心O1到直線3x4y113343110的距離為d，則d324223．如圖，在圓心O1同側(cè)，與直線3x4y110平行且距離為1的直線l1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．又rd321．∴與直線3x4y110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x4y110，且與之距離為1的直線和圓的3x4ym0，則dm11交點(diǎn)．設(shè)所求直線為321，42∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．設(shè)圓(3)2(y3)29的圓心到直線l1、l2的距離為d1、d2，則O1：xd13343633431632423，d232421．∴l(xiāng)1與O1相切，與圓O1有一個(gè)公共點(diǎn)；l2與圓O1訂交，與圓O1有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留意，則易發(fā)生以下誤會(huì)：設(shè)圓心3343111到直線3x4y110的距離為d，則d23．O3242∴圓O1到3x4y110距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)．明顯，上述誤會(huì)中的d是圓心到直線3x4y110的距離，dr，只好說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不可以說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因本題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般依據(jù)圓與直線的地點(diǎn)關(guān)系來(lái)判斷，即依據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來(lái)判斷．練習(xí)1：直線xy1與圓x2y22ay0(a0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是a121a21.∵a0，∴0a21.解：依題意有a，解得2練習(xí)2：若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.2k11，解得0k4，∴k的取值范圍是(0,4).解：依題意有1k233練習(xí)3、圓x2y22x4y30上到直線xy10的距離為2的點(diǎn)共有（）．（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)分析：把x2y22x4y30化為x12y228，圓心為1，2，半徑為r22，圓心到直線的距離為2，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于2，所以選C．練習(xí)4、過(guò)點(diǎn)P3，4作直線l，當(dāng)斜率為什么值時(shí)，直線l與圓C：x12y224有公共點(diǎn)，以以下圖．分析：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路．解：設(shè)直線l的方程為yy4kx3即Oxkxy3k40依據(jù)dr有Ek23k421k2P整理得3k24k0解得40k．3種類五：圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓地點(diǎn)關(guān)系如何確立例14、判斷圓C1:x2y22x6y260與圓C2:x2y24x2y40的地點(diǎn)關(guān)系，例15：圓x2y22x0和圓x2y24y0的公切線共有條。解：∵圓(x1)2y21的圓心為O1(1,0)，半徑r11，圓x2(y2)24的圓心為O2(0,2)，半徑r22，∴O1O25,r1r23,r2r11.∵r2r1O1O2r1r2，∴兩圓訂交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓x2y22mxm240與圓x2y22x4my4m280相切，則實(shí)數(shù)m的取值會(huì)合是.解：∵圓(x)2y24的圓心為O1(m,0)，半徑r12，圓(x1)2(y2m)29的m圓心為O2(1,2m)，半徑r23，且兩圓相切，∴O1O2r1r2或O1O2r2r1，∴(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21，解得m12或m2，或m0或5，∴實(shí)數(shù)m的取值會(huì)合是{12,5,0,2}.5m2522：求與圓x2y25外切于點(diǎn)P(1,2)，且半徑為25的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為O1(a,b)，則所求圓的方程為(xa)2(yb)220.∵兩圓外切于點(diǎn)P，∴OP1OO1，∴(1,2)1(a,b)，∴a3,b6，∴所求圓的方程為33(x3)2(y6)220.種類六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題例16、圓x2y22x6y90對(duì)于直線2xy50對(duì)稱的圓的方程是例17自點(diǎn)A3，3發(fā)出的光芒l射到x軸上，被x軸反射，反射光芒y所在的直線與圓C：x2y24x4y70相切M（1）求光芒l和反射光芒所在的直線方程．AC（2）光芒自A到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的行程．分析、略解：觀察動(dòng)畫(huà)演示，分析思路．依據(jù)對(duì)稱關(guān)系，第一求出N點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為3，3，其次設(shè)過(guò)A的圓C的切線方程為GOBxykx33依據(jù)dr，即求出圓C的切線的斜率為A43或k’k43進(jìn)一步求出反射光芒所在的直線的方程為圖4x3y30或3x4y30最后依據(jù)入射光與反射光對(duì)于x軸對(duì)稱，求進(jìn)出射光所在直線方程為4x3y30或3x4y30A'M，可由勾股定理求得2AC2CM2光路的距離為AM7．說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到x軸下方，再求解．種類七：圓中的最值問(wèn)題例18：圓x2y24x4y100上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離與最小距離的差是解：∵圓(x2)2(y2)218的圓心為（2，2），半徑r32，∴圓心到直線的距離102r，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是d52(dr)(dr)2r62.例19(1)已知圓(3)2(y4)21，P(x,y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求dx2y2O1：x的最大、最小值．(2)已知圓(2)2y21，P(x,y)為圓上任一點(diǎn)．求y2的最大、最小值，O2：xx1求x2y的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都波及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形聯(lián)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x3)2(y4)21．可設(shè)圓的參數(shù)方程為x3cos,是參數(shù)）．y4sin（,則dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos()（此中tan4）．3所以dmax261036，dmin261016．(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離'd1加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2等于圓心到原點(diǎn)的距離d1'減去半徑1．所以d1324216．d2324214．所以dmax36．dmin16．(2)(法1)由(x2)2y21得圓的參數(shù)方程：x2cos,是參數(shù)．ysin,則y2sin2．令sin2t，x1cos3cos3得sintcos23t，1t2sin()23t23tsin()133t331t244．所以tmax33334，tmin4．即y2的最大值為33，最小值為33．x144此時(shí)x2y2cos2sin25cos()．所以x2y的最大值為25，最小值為25．(法2)設(shè)y2k，則kxyk20．因?yàn)镻(x,y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交x1點(diǎn)時(shí)，以以下圖，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由d2kk21，得k33．1k24所以y2的最大值為33，最小值為33．x144令x2yt，同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值．由d2m1，得m25．5所以x2y的最大值為25，最小值為25．例20：已知A(2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P在圓(x3)2(y4)24上運(yùn)動(dòng)，則PA22PB的最小值是.解：設(shè)P(x,y)，則PA22(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP2PB8.設(shè)圓心為C(3,4)，則OPmin2232OCr523，∴PAPB的最小值為2826.練習(xí)：1：已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2(y1)21上運(yùn)動(dòng).（1）求y1的最大值與最小值；（2）求2xy的最大值與最小值.x2解：（1）設(shè)y1k，則k表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)（2，1）連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，x2k獲得最大值與最小值.由2k1，解得k3，∴y1的最大值為3，最小k213x23值為3.3（2）設(shè)2xym，則m表示直線2xym在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，m獲得最大值與最小值.由1m115，∴2xy的最大值為15，最小，解得m5值為15.2設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2y21是任一點(diǎn)，求uy2的取值范圍．x1分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)取代x、y，轉(zhuǎn)變?yōu)槿菃?wèn)題來(lái)解決．解法一：設(shè)圓x2y21上任一點(diǎn)P(cos,sin)則有xcos，ysin[0,2)sin2，∴ucosusin2∴u1cos∴ucossin(u2)．即u21sin()u2（tanu）∴sin()(u2)．u21又∵sin()1∴u21u21解之得：u3．4分析二：uy2的幾何意義是過(guò)圓x2y21上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(1,2)的連線的斜x1率，利用此直線與圓x2y21有公共點(diǎn)，可確立出u的取值范圍．解法二：由uy2得：y2u(x1)，此直線與圓x2y21有公共點(diǎn)，故點(diǎn)x1(0,0)到直線的距離d1．∴u21u213解得：u．4其余，直線y2u(x1)與圓x2y21的公共點(diǎn)還能夠這樣來(lái)辦理：y2u(x1)消去y后得：(u21)x2(2u24u)x(u24u3)0，由y21x2此方程有實(shí)根，故(224)24(u21)(u243)0，uuu解之得：u3．4從而將求變量u的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿钦f(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解．或許是利用其幾何意義轉(zhuǎn)變?yōu)樾甭蕘?lái)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷方便．3、已知點(diǎn)A(2,2),B(2,6),C(4,2)，點(diǎn)P在圓x2y24222上運(yùn)動(dòng)，求PAPBPC的最大值和最小值.種類八：軌跡問(wèn)題例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)

M

與兩個(gè)定點(diǎn)

O(0,0)

，

A(3,0)

的距離的比為

1，求點(diǎn)

M

的軌跡2方程.例22、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（43A在圓(x1)2y24上運(yùn)動(dòng)，求，），端點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例23以以下圖，已知圓O：x2y24與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B做圓O的切線，切點(diǎn)為C，求ABC垂心H的軌跡．分析：按常例求軌跡的方法，設(shè)H(x,y)，找x,y的關(guān)系特別難．因?yàn)镠點(diǎn)隨B，C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮

H

，B，

C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．解：設(shè)H(x,y)，

C(x'

,

y')

，連接

AH

，CH

，則AH

BC，CH

AB，

BC是切線

OC

BC，所以O(shè)C//AH，CH//OA，OAOC，所以四邊形AOCH是菱形．所以CHOA2，得y'y2,x'x.又C(x',y')滿足x'2y'24，所以x2(y2)24(x0)即是所求軌跡方程．說(shuō)明：題目奇妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的有關(guān)知識(shí)．采納代入法求軌跡方程．做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)系的點(diǎn)，如有關(guān)系點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法．種類九：圓的綜合應(yīng)用例24、已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30訂交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OPOQ，務(wù)實(shí)數(shù)m的值．分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解．解法一：如圖，在矩形APBQ中，連接AB，交于M，明顯OMAB，ABPQ，PQ在直角三角形AOM中，若設(shè)Q(x,y)，則M(xa,yb)．22222由OMAMOA，即(xa)2(yb)21[(xa)2(yb)2]r2，224也即x2y22r2(a2b2)，這即是Q的軌跡方程．解法二：設(shè)Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x12y12r2，x22y22r2．22又PQAB，即(xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2)．①又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故xax1x2，yby1y2，即(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2)②①＋②，有x2y222(a2b2)．r這就是所求的軌跡方程．解法三：設(shè)A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y)，因?yàn)锳PBQ為矩形，故AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有xarcosrcos，①ybrsinrsin，②又由PAPB有rsinbrsinb1③rcosarcosa聯(lián)立①、②、③消去、，即可得Q點(diǎn)的軌跡方程為x2y22r2(a2b2)．說(shuō)明：本題的條件許多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清楚，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，不然，將使解題墮入窘境之中．本題給出三種解法．此中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)目關(guān)系．而解法二與解法三，從實(shí)質(zhì)上是相同的，都能夠稱為參數(shù)方法．解法二波及到了x1、x2、y1、y2四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，因?yàn)榻柚藞Ax2y2r2的參數(shù)方程，只波及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程即可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特色，借助數(shù)形聯(lián)合的思想方法求解．練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2y21引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.解：設(shè)P(x,y).∵APB=600，∴OPA=300.∵OAAP，∴OP2OA2，∴x2y22，化簡(jiǎn)得x2y24，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2y24.練習(xí)堅(jiān)固：設(shè)A(c,0),B(c,0)(c0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a0)，求P點(diǎn)的軌跡.PA(xc)2y2a，解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y).由a(a0)，得c)2y2PB(x化簡(jiǎn)得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.當(dāng)a1時(shí)，化簡(jiǎn)得x2y22c(1a2)xc20，整理得(x12a2c)2y2(2ac2)2；1a2a1a1當(dāng)a1時(shí)，化簡(jiǎn)得x0.所以當(dāng)a1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以1a2c,0)為圓心，2ac為半徑的圓；(a21a21當(dāng)a1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.2、已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，假如動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y).由PA2PB，得(x2)2y22(x1)2y2，化簡(jiǎn)得(x2)2y24，∴點(diǎn)P的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為4.4、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且AM1MB，問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是什么31MB，∴(xx1,y1(3x,解：設(shè)M(x,y),A(x1,y1).∵AMy1)y)，33xx11x141(3x)x∴3，∴3.∵點(diǎn)A在圓x2y22y121，1y4y1上運(yùn)動(dòng)，∴x1yy1y133∴(4x1)2(4y)21，即(x3)2y29，∴點(diǎn)M的軌跡方程是(x3)2y29.33416416例5、已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，AOB的均分線交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是.解：設(shè)M(x,y),A(x,y1).∵OM是AOB的均分線，∴AMOA1，∴AM1.MBOB33由變式1可得點(diǎn)M的軌跡方程是(x3)2y29.416練習(xí)堅(jiān)固：已知直線ykx1與圓x2y24訂交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點(diǎn)P的軌跡方程.解：設(shè)P(x,y)，AB的中點(diǎn)為M.∵OAPB是平行四邊形，∴M是OP的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，且OMAB.∵直線ykx1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C(0,1)，∴OMCM，∴22OMCM(x,y)(x,y1)(x)2y(y1)0，化簡(jiǎn)得x2(y1)21.∴點(diǎn)P的軌2222222跡方程是x2(y1)21.種類九：圓的綜合應(yīng)用例25、已知圓x2y2x6ym0與直線x2y30訂交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OPOQ，務(wù)實(shí)數(shù)m的值．分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2)，則由kkOQ1，可得OPx1x2y1y20，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因?yàn)榻?jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為y，由直線l與圓的方程結(jié)構(gòu)以y為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出xxkOPkOQ的值，從而使問(wèn)題得以解決．解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2)．一方面，由OPOQ，得kkOQ1，即y1y21，也即：x1x2y1y20．①OPx1x2另一方面，(x1,y1)、(x2,y2)是方程組x2y30的實(shí)數(shù)解，即x1、x2x2y2x6ym0是方程5x210x4m270②的兩個(gè)根．∴x1x22，x1x24m27．③5又P、Q在直線x2y30上，∴y1y21(3x1)1(3x2)1[93(x1x2)x1x2]．224將③代入，得y1y2m125．④將③、④代入①，解得m3，代入方程②，檢驗(yàn)0成立，∴m3．解法二：由直線方