2022-2023學(xué)年湖南省長沙市衛(wèi)東中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題中正確的是()A．若λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0B．若a·b＝0，則a∥bC．若a∥b，則a在b上的投影為|a|D．若a⊥b，則a·b＝(a·b)2參考答案：D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1參考答案：A【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．只需把n=1代入等式左邊即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法中的歸納奠基步驟，本題較簡單，容易解決．不要把n=1與只取一項(xiàng)混同．3.已知，且，則A.

B.

C.

D.參考答案：D4.設(shè)m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①②③④其中，真命題是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】對每一選支進(jìn)行逐一判定，不正確的只需取出反例，正確的證明一下即可．【解答】解：對于①利用平面與平面平行的性質(zhì)定理可證α∥β，α∥γ，則β∥γ，正確對于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此時(shí)A1B1∥面D1C，不正確對應(yīng)③∵m∥β∴β內(nèi)有一直線與m平行，而m⊥α，根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正確對應(yīng)④m有可能在平面α內(nèi)，故不正確，故選C【點(diǎn)評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．5.復(fù)數(shù)的值是 （

）A．2 B．

C． D．參考答案：D6.在程序框圖中，算法中間要處理數(shù)據(jù)或計(jì)算，可分別寫在不同的（

）A．處理框內(nèi)

B．判斷框內(nèi)

C．輸入、輸出框內(nèi)

D．終端框內(nèi)參考答案：A由處理框的意義可知，對變量進(jìn)行賦值，執(zhí)行計(jì)算語句，處理數(shù)據(jù)，結(jié)果的傳送等都可以放在處理框內(nèi)，∴選A.7.從20名男同學(xué)，10名女同學(xué)中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為．

.

.

參考答案：D8.若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則()A．15

B．12

C．－12

D．－15_xx參考答案：A略9.命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．?x∈R，|x|+x2＜0 B．?x∈R，|x|+x2≤0C．?x0∈R，|x0|+x02＜0 D．?x0∈R，|x0|+x02≥0參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定?x0∈R，|x0|+x02＜0，故選：C．10.已知雙曲線的離心率，則它的漸近線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，的夾角為60°，則k=______．參考答案：【分析】由，利用向量的夾角公式，求得，再由向量的數(shù)量積的公式，可得，即可求解．【詳解】由題意，向量，則，又由的夾角為，所以，解得，所以，又由向量的夾角為，則，即，所以實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，其中解答中熟記空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,過點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且的周長為．則橢圓C的方程為

．參考答案：13.若x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為．參考答案：8【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（3，2）將A（3，2）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值為8．故答案為：8．14.（5分）（理科）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=，則f（2013）的值為

．參考答案：由題意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010）而f（2010）=f（2009）﹣f（2008）=f（2008）﹣f（2007）﹣f（2008）=﹣f（2007）∴f（2013）=f（2007）=f（2001）=…=f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=0故答案為：0由題意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010），逐步代入可得f（2013）=f（2007），結(jié)合此規(guī)律可把所求的式子轉(zhuǎn)化為f（0），即可求解15.△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，則△ABC的面積等于

．參考答案：

或【考點(diǎn)】解三角形．【分析】由已知，結(jié)合正弦定理可得，從而可求sinC及C，利用三角形的內(nèi)角和公式計(jì)算A，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°當(dāng)C=60°時(shí)，A=90°，當(dāng)C=120°時(shí)，A=30°，故答案為：或16.如圖程序運(yùn)行后，輸出的值為

．參考答案：120【考點(diǎn)】偽代碼．【分析】本題所給的是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖，由圖模擬循環(huán)，即可得到正確答案．【解答】解：由題意，如圖，此循環(huán)程序S=1；i=2S=1×2=2；i=3S=2×3=6；i=4S=6×4=24；i=5S=24×5=120；i=6＞5結(jié)束．故輸出的值為：120．故答案為：120．17.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），化簡后z=．參考答案：1+i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化即可．【解答】解：復(fù)數(shù)===1+i，（i為虛數(shù)單位）．故答案為：1+i．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求函數(shù)f（x）的值域；（2）設(shè)a，b∈{y|y=f（x）}，試比較3|a+b|與|ab+9|的大?。畢⒖即鸢福嚎键c(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）利用絕對值的性質(zhì)，可得∴||x﹣2|﹣|x﹣5||≤=|x﹣2﹣（x﹣5）|=3，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的值域；（2）由a，b∈，可得﹣9≤ab≤9，即ab+9≥0，分a+b≥0時(shí)和a+b＜0時(shí)兩種情況，分析|ab+9|﹣3|a+b|的符號，可得結(jié)論．解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．∴||x﹣2|﹣|x﹣5||≤=|x﹣2﹣（x﹣5）|=3，故﹣3≤|x﹣2|﹣|x﹣5|≤3，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，?）∵a，b∈{y|y=f（x）}，∴a，b∈，則﹣9≤ab≤9，則ab+9≥0，|ab+9|=ab+9，當(dāng)a+b≥0時(shí)，|ab+9|﹣3|a+b|=ab+9﹣3a﹣3b=（a﹣3）（b﹣3）≥0，此時(shí)3|a+b|≤|ab+9|，當(dāng)a+b＜0時(shí)，|ab+9|﹣3|a+b|=ab+9+3a+3b=（a+3）（b+3）≥0，此時(shí)3|a+b|≤|ab+9|，綜上3|a+b|≤|ab+9|．點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是絕對值函數(shù)，作差法比較大小，是絕對值函數(shù)與不等式證明的綜合應(yīng)用，難度中檔．19.某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成。已知木工做一張甲、乙型桌子分別需要小時(shí)和小時(shí)，漆工油漆一張甲、乙型桌子分別需要小時(shí)和小時(shí)，又木工、漆工每天工作分別不得超過小時(shí)和小時(shí)，而家具廠制造一張甲、乙型桌子分別獲利潤元和元.試問家具廠每天生產(chǎn)甲、乙型桌子各多少張，才能獲得最大利潤？參考答案：解：設(shè)家具廠每天生產(chǎn)甲型桌子張，乙型桌子張，獲得的利潤為元，

由題意，得，其中，滿足約束條件且x、y,畫出可行域，如圖所示，作直線，即，將直線向右上方平移，當(dāng)平移至直線與直線的交點(diǎn)M時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

解方程組

得M點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以，當(dāng)時(shí)，.

答：家具廠每天生產(chǎn)甲型桌子2張，乙型桌子3張，才能獲得最大利潤.略20.（本題12分）如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，且OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)。（1）證明：直線MN//平面OCD；（2）求點(diǎn)N到平面OCD的距離。參考答案：……………４分（2）點(diǎn)N到平面OCD的距離即為A點(diǎn)到平面OCD距離的一半……………６分……９分……………１１分所以N到平面OCD的距離為.

……………１２分

略21.(本小題滿分13分)已知x，y滿足條件，求z＝x2＋y2的最大值與最小值．參考答案：解得點(diǎn)A的坐標(biāo)(9,8)．所以因?yàn)樵c(diǎn)O到直線BC的距離為所以22.（滿分14分）中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100ml(不含80)之間，屬于酒后駕車；在80mg/100ml(含80)以上時(shí)，屬醉酒駕車，對于酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員公安機(jī)關(guān)將給予不同程度的處罰．某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了250輛機(jī)動車，查出酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員20人，下圖是對這20人血液中酒精含量進(jìn)行檢查所得結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求此次抽查的250人中，醉酒駕車的人數(shù)；(2)從血液酒精濃度在[70,90)范圍內(nèi)的駕駛員中任取2人，求恰有1人屬于醉酒駕車的概率．參考答案：（1）酒精含量（單位：mg/100ml）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）人數(shù)3441酒精含量（單位：mg/100ml）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)2321所以醉酒駕車的人數(shù)為2+1=3人

故此次抽查的250人中，醉酒駕車的人數(shù)為3人．…（6分）（2）因?yàn)檠壕凭珴舛仍赱70，80）內(nèi)范圍內(nèi)應(yīng)抽3人，記