第39講斜率和積問題與定點定值問題一．解答題（共34小題）1．（2021?西陵區(qū)校級月考）已知橢圓經(jīng)過點，的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為．（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓上的兩個動點，是否存在這樣的直線，，使其滿足：①直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)；②線段的中點在直線上，若存在，求出直線和的方程；若不存在，請說明理由．2．（2021?鹽湖區(qū)校級月考）已知橢圓過點，且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）、是橢圓上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．3．（2021?漢陽區(qū)校級期末）已知橢圓經(jīng)過點，且兩個焦點、的坐標依次為和．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)、是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為，求當為何值時，直線與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程；4．（2021?楊浦區(qū)校級期末）已知橢圓，四點、、、中恰有三點在橢圓上．（1）求的方程：（2）橢圓上是否存在不同的兩點、關(guān)于直線對稱？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由；（3）設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為1，求證：過定點．5．（2021?新課標Ⅲ）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）證明：直線過定點；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積．6．（2013秋?臨川區(qū)校級月考）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為、，右焦點為，設(shè)過點的直線、與此橢圓分別交于點，、，，其中，，（1）設(shè)動點滿足，求點的軌跡方程；（2）設(shè)，，求點的坐標；（3）若點在點的軌跡上運動，問直線是否經(jīng)過軸上的一定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．7．（2010?江蘇）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為、，右焦點為．設(shè)過點的直線、與橢圓分別交于點，、，，其中，，．（1）設(shè)動點滿足，求點的軌跡；（2）設(shè)，，求點的坐標；（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關(guān)）．8．（2021?西安一模）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標為．（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，直線不與軸重合，求的值．9．（2021春?湖北期中）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為4．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．10．（2021春?湛江校級月考）如圖，橢圓經(jīng)過點，離心率，直線的方程為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是經(jīng)過的任一弦（不經(jīng)過點，設(shè)直線與直線相交于點，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得十？若存在，求的值．11．（2013?江西）如圖，橢圓經(jīng)過點，離心率，直線的方程為．（1）求橢圓的方程；（2）是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點，設(shè)直線與直線相交于點，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．12．（2021?新課標Ⅰ）已知，分別為橢圓的左、右頂點，為的上頂點，．為直線上的動點，與的另一交點為，與的另一交點為．（1）求的方程；（2）證明：直線過定點．13．（2021?懷化一模）如圖，已知點是軸左側(cè)（不含軸）一點，點為拋物線的焦點，且拋物線上存在不同的兩點，．（1）若中點為，且滿足，的中點均在上，證明：垂直于軸；（2）若點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標原點），且與的面積分別為和，求最小值．14．（2021?麗水月考）已知橢圓的離心率，，是橢圓的左右焦點，過且垂直于長軸的弦長為3．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，若以為直徑的橢圓經(jīng)過右焦點，求直線的方程．15．已知定理：如果二次曲線與直線有兩個公共點、，是坐標原點，則的充要條件是．（1）試根據(jù)上述定理，寫出直線與圓相交于，，坐標原點為，且的充要條件，并求的值；（2）若橢圓與直線相交兩點、，而且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．16．若直線與圓相交于，兩點，并且，求實數(shù)的值．17．（2021?朝陽區(qū)校級月考）在直角坐標系中，曲線與直線交于，兩點．（1）當時，分別求在點和處的切線方程；（2）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由．18．（2013秋?普寧市校級月考）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為8．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）若軌跡與圓相交于、、、四個點，求的取值范圍；（3）已知點，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，，若軸是的角平分線，證明直線過定點．19．（2021?金牛區(qū)校級期末）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為8．（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）已知點，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，，若軸是的角平分線，證明直線過定點．20．（2021?平頂山一模）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為8．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）已知點，長為的線段的兩端點在軌跡上滑動．當軸是的角平分線時，求直線的方程．21．已知橢圓離心率，過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且點分有向線段所成的比為3．（1）求該橢圓方程；（2），為橢圓上兩動點，滿足，探求是否為定值，并說明理由．22．（2014?江西一模）如圖，，是離心率為的橢圓的左、右焦點，直線將線段分成兩段，其長度之比為．設(shè)，是上的兩個動點，線段的中點在直線上，線段的中垂線與交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在點，使以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．23．（2021?沈陽一模）設(shè)為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過的直線與點的軌跡交于、兩點，過作與垂直的直線與點的軌跡交于、兩點，求證：為定值．24．（2021春?涼山州期末）為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且，直線過點且垂直于，求證：直線過定點．25．（2021?武漢月考）設(shè)為坐標原點，動點在橢圓上，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)，在軸上是否存在一定點，使總成立？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．26．（2021?武昌區(qū)校級期末）設(shè)點為坐標原點，動點在橢圓上，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且，過點作直線，使得．證明：直線過定點（記為點，并求出該點的坐標；當，兩點在直線同側(cè)時，求四邊形的面積的取值范圍．27．（2021?巨鹿縣校級期中）設(shè)，為曲線：上兩點，與的橫坐標之和為4．（1）求直線的斜率；（2）設(shè)為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．28．（2021?定遠縣三模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x＝﹣3于點D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|?|OE|，求證：直線l過定點．29．（2021?涪城區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形．（1）求的方程（2）若直線平行，且和有且只有一個公共點，證明直線恒過定點求的面積最小值．30．（2021春?合肥期末）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，，點是橢圓上位于第三象限的動點，直線、分別將軸、軸于點、，求證：為定值．31．（2021?黃浦區(qū)校級月考）已知拋物線關(guān)于軸對稱，且經(jīng)過點（1）求拋物線的標準方程及其準線方程（2）設(shè)為原點，過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點、，拋物線的準線分別交直線、于點和點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點32．在直角坐標系中，點到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點的軌跡為，直線與交于、兩點．（1）求的方程；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）當時，求的中點坐標．33．（2021?香洲區(qū)校級月考