專題19等腰三角形【專題目錄】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用【題型】一、等腰三角形的定義【題型】二、根據(jù)等邊對(duì)等角求角度【題型】三、根據(jù)三線合一求解【題型】四、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【題型】五、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)【題型】八、含30°角的直角三角形【考綱要求】1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定．2.了解等邊三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定．3.掌握線段中垂線的性質(zhì)及判定．【考點(diǎn)總結(jié)】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）.【考點(diǎn)總結(jié)】二、等邊三角形等邊三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。等邊三角形性質(zhì)和判定（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60o。（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個(gè)角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（4）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。（補(bǔ)充：（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過(guò)中點(diǎn)做平行線【考點(diǎn)總結(jié)】三、直角三角形直角三角形直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.直角三角形判定有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個(gè)三角形是直角三角形.【技巧歸納】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法【類型】一、作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC，且AE＝AF.求證：DE＝DF.【類型】二、作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，當(dāng)P，Q在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE，ED，CD中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類型】三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.【類型】四、加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.參考答案1．證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F.∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，F(xiàn)P＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(2)解：線段ED的長(zhǎng)度保持不變．理由如下：如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝eq\f(1,2)BC，∴線段ED的長(zhǎng)度保持不變．3．證明：如圖，延長(zhǎng)BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是線段BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可設(shè)∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，則∠C＝20°.5．證明：如圖，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AE，,∠BEF＝∠AEC，,EF＝EC，))∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中線，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF與△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CB，,∠CBF＝∠CBD，,BF＝BD，))∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形【類型】一、直接運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的長(zhǎng)．【類型】二、連線段構(gòu)造含30°角的直角三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的長(zhǎng)．4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.求證：CE＝2BE.【類型】三、延長(zhǎng)兩邊構(gòu)造含30°角的直角三角形5．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長(zhǎng)．【類型】四、作垂線構(gòu)造含30°角的直角三角形6．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求證：AD＝2BC.參考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8cm.∴BC＝BD＋CD＝12cm.3．解：連接AD，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．證明：如圖，連接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等邊三角形．設(shè)CD＝CE＝DE＝a，則有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的長(zhǎng)為2.6．證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠DEB＝90°.∵∠BAD＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝eq\f(1,2)AB.點(diǎn)撥：由結(jié)論AC＝eq\f(1,2)AB和條件∠BAD＝30°，就想到能否找到或構(gòu)造直角三角形，而顯然圖中沒(méi)有含30°角的直角三角形，所以過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，這樣就得到了直角三角形ABE，這是解決本題的關(guān)鍵．技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用【類型】一、當(dāng)頂角或底角不確定時(shí)，分類討論1．若等腰三角形中有一個(gè)角等于40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一個(gè)外角為64°，則底角的度數(shù)為_(kāi)_______．【類型】二、當(dāng)?shù)缀脱淮_定時(shí)，分類討論4．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和9，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______．6．若實(shí)數(shù)x，y滿足|x－4|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【類型】三、當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時(shí)，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個(gè)三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數(shù)．【類型】五、由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長(zhǎng)差為3cm的兩部分．求腰長(zhǎng)．【類型】六、點(diǎn)的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有()A．7個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．4個(gè)11．如圖，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點(diǎn)，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．參考答案1．D2.C3.32°4.C5.23或256.207．解：設(shè)AB＝AC，BD⊥AC；(1)高與底邊的夾角為25°時(shí)，高一定在△ABC的內(nèi)部，如圖①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)當(dāng)高與另一腰的夾角為25°時(shí)，如圖②，高在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如圖③，高在△ABC的外部時(shí)，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.點(diǎn)撥：由于題目中的“另一邊”沒(méi)有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進(jìn)行分類討論，另外，還要結(jié)合圖形，分高在三角形內(nèi)還是在三角形外．8．解：此題分兩種情況：(1)如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點(diǎn)D，∠ADE＝40°，則∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠ADE＝40°，則∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小為65°或25°.9．分析：由于題目中沒(méi)有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”為3cm，還是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”為3cm，因此必須分兩種情況討論．解：∵BD為AC邊上的中線，∴AD＝CD，(1)當(dāng)(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm時(shí)，有AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)當(dāng)(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm時(shí)，有BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是當(dāng)AB＝2cm時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為2cm，2cm，5cm.而2＋2＜5，不能構(gòu)成三角形，舍去．故腰長(zhǎng)為8cm.[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]10．B11．解：(1)當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且都在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且點(diǎn)D在D′的位置，E在E′的位置時(shí)，如圖②，與(1)類似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且E點(diǎn)在E′的位置時(shí)，如圖③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且點(diǎn)D在D′的位置時(shí)，如圖④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.綜上所述，∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°.【題型講解】【題型】一、等腰三角形的定義例1、已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【答案】D【提示】分類討論腰為4和腰為9，再應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行取舍即可．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時(shí)，，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：．故選：D．【題型】二、根據(jù)等邊對(duì)等角求角度例2、如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作□BCDE，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【提示】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠E=∠C=70°．故選：D．【題型】三、根據(jù)三線合一求解例3、如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可．【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，而AB=AC，由等腰三角形的三線合一知D為BC重點(diǎn)，BD=3，故選B【題型】四、根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長(zhǎng)為14【答案】C【提示】根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算角的度數(shù)，判斷三角形中是否有相等的角；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)計(jì)算是否有相等的邊即可判斷.【詳解】A.

∠C=180°?40°?50°=90°，沒(méi)有相等的角，則不是等腰三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵∠A=2∠B=70°，

∴∠B=35°，

∴∠C=75°，沒(méi)有相等的角，則不是等腰三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、∠C=180°?40°?70°=70°，有相等的角，則是等腰三角形，本選項(xiàng)正確；

D、∵AB=3，BC=6，周長(zhǎng)為14，

∴AC=14?6?3=5，沒(méi)有相等的邊，則不是等腰三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C．【題型】五、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)例5、如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】先證明再求解利用軸對(duì)稱可得答案．【詳解】解：由對(duì)折可得：矩形，BC=8由對(duì)折得：故選C．【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【提示】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)例7、如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【提示】根據(jù)題意可以判斷四個(gè)小三角形是全等三角形,即可判斷一個(gè)的面積是．【詳解】∵分別是，，的中點(diǎn),且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【題型】八、含30°角的直角三角形例8、如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上，連接，則的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得出為等邊三角形，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知，∴cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，且，∴為等邊三角形，∴．故選：B．等腰三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長(zhǎng)是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．2．如圖，在中，，，，用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊上確定一點(diǎn)．則的周長(zhǎng)為（

）．A．12 B．14 C．16 D．21【答案】B【分析】根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是的垂直平分線，可得，從而得到的周長(zhǎng)為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴的周長(zhǎng)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．下列命題，錯(cuò)誤的是（）A．有一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B．如果∠A和∠B是對(duì)頂角，那么∠A＝∠BC．等腰三角形兩腰上的高相等D．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、對(duì)頂角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解：A、有一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，正確，不符合題意；B、如果∠A和∠B是對(duì)頂角，那么∠A＝∠B，正確，不符合題意；C、等腰三角形兩腰上的高相等，正確，不符合題意；D、三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，故原命題錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的判定、對(duì)頂角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)性知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．4．如圖，點(diǎn)，在上，，．添加一個(gè)條件，不一定能證明的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】A：∵，∴，∵在和中，，∴，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B：∵，∴，∵在和中，，∴，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：∵在和中，，∴，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D：根據(jù)，，不能推出，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，若，則EF的長(zhǎng)為（

）A．8 B．15 C．16 D．24【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO,根據(jù)ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】連接AF，CE，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，,∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形，∴AE=CE，設(shè)AE=CE=x，∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE=x，DE=16-x，在Rt△CDE中，,，解得，∴AE=,∵,∴=10,∴,∴EF=2OE=15,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形AECF是菱形是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，在中，，平分，，點(diǎn)到的距離為5.6，則___．【答案】【分析】過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD＝DE，再求出BD長(zhǎng)，即可得出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵D到AB的距離等于5.6cm，∴CD＝DE＝5.6cm，又∵BD＝2CD，∴BD＝11.2cm，∴BC＝5.6＋11.2＝cm，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．7．如圖，在中，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，請(qǐng)你添加一個(gè)條件__________，使（填一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】?jī)蓚€(gè)三角形全等已具備的條件是：，，根據(jù)三角形全等的判定方法即可確定添加的條件．【詳解】解：添加的條件是，，，，，，，在和中，，．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題8．如圖，E、F分別是矩形ABCD對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析；【分析】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，用可直接證明出，即可證明出．【詳解】證明：是矩形，,，在和中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．等腰三角形（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，CFBA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DEBC，DE=BC，證明；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算（相似三角形的面積比等于相似比的平方），可求得SABC的面積；根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)定理，證明ADECFE，可得SADE=SCFE，從而可得S四邊形BCFD=SABC即可．【詳解】解：∵D，E分別是ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)∴DE是ABC的中位線∴AE=CE，DEBC，DE=BC∴∴SADE=∵SADE=2∴SABC=8又∵CFBA∴∠A=∠FCE在ADE和CFE中，∴ADECFE（ASA）∴SADE=SCFE∴SADE+S四邊形BCED=SCFE+S四邊形BCED∴S四邊形BCFD=SABC=8故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、相以三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（

）A．10 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】如圖：過(guò)D作DF⊥AB于F,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=CD=3,然后再根據(jù)中點(diǎn)的定義求得BE的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖：過(guò)D作DF⊥AB于F,∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴DF=CD=3∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝12∴BE=AB=6∴△DBE的面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定理、中點(diǎn)的定義、三角形的高等知識(shí)點(diǎn)，作出△DBE的高并運(yùn)用角平分線定理求出成為解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD=5，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最小．再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP=CD解決問(wèn)題；【詳解】解：當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最小．由作圖可知：AE平分∠BAC，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵DP⊥AB，∴DP=CD=5，∴PD的最小值為5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，基本作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問(wèn)題．4．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD邊上，，AG交BF于點(diǎn)H，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)．【答案】B【分析】先證明△AHE≌△BCF（AAS），即可判斷①，由三角形的中位線定理可證GEBF，即可判斷②，由勾股定理可求BF的長(zhǎng)，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判斷③，由相似三角形的性質(zhì)可求FH，CH，AO的長(zhǎng)，即可求出，即可判斷④．【詳解】解：如圖，設(shè)BF與AE的交點(diǎn)為O，設(shè)AB＝4a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，∴∠AOB＝90°＝∠AOH，又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，∴△AOH≌△AOB（ASA），∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，∴AE垂直平分BH，∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正確；∵AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABH，∵ABCD，∴∠ABF＝∠CFB，∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，∴FG＝GH，∵HE＝BE＝CE，∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝90°，∴∠GHC＝∠GCH，∴CG＝GH，∴F