數(shù)學(xué)仿真模擬卷（七）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

2

1.復(fù)數(shù)高（i為虛數(shù)單位）的共枕復(fù)數(shù)是（）

A.—1+iB.1—iC.1+iD.—1—i

2

C[因為畝=1—i,所以其共軌復(fù)數(shù)是1+i,故選C.]

2.已知集合P={xeN|l<A<10],Q={xGR*+x—6=0},則PDQ等于

（）

A.{1，2,3}B.{2,3}

C.{1，2}D.{2}

D[2={%GR|x2+x—6=0}={-3,2},.，.PnQ={2}.故選D.]

3.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，

則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）

A.|B.3C.gD.4

C[取出的2張卡片上的數(shù)字、之和為奇數(shù)的抽取方法是一奇一偶，宣CiC=i東2

故選C.]

4.曲線y=x.lnx在點（1,0）處的切線的方程為（）

A.lx—1=0B.lx—y—1=0

C.x-y+l=0D.彳一廠1=0

D[Vy=x-lnx,x+x-~=lnx+1,帶入x=1得切線的斜率女=1,

切線方程為），-0=lx（x—l）,整理得x—y—l=0.故選D.]

5.圓d+y—dnO與圓x2+y2—4x+4y—12=0的公共弦長為（）

A.y[2B.仍C.2啦D.3小

C[兩圓的方程相減可得，兩圓公共弦所在的直線方程為x-y+2=0,圓

X2+/-4=0的圓心到公共弦的距離為"」?？?|二隹所以公共弦長為1=

2^22—(啦)=2&.故選C.］

JT7T

6.已知△ABC中，AB=2,B=~7,C=y,AO為BC邊的中線，P為A。的

4o

中點，則成?證=()

A.0B.1C.3D.4

B［如圖所示:

由正弦定理得境焉=總缶，'：AB=2,B=^,C=^,：.AC=-^-=2y/2,

sin6

：.APBC=^AC+AB)iAC-AB)=^AC2-AB2)=l.

故選B.]

7.已知奇函數(shù)/(x),且g(x)=4"(x^[0,+oo)上是增函數(shù).若<7=^(—log25.1),

b=g(203),c=g(3),則。，4c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

C［因為/(x)是奇函數(shù)，從而g(x)=j/(x)是R上的偶函數(shù)，且在［0,+oo)

上是增函數(shù)，

08

a=g(—log25.1)=g(log25.1),2<2,又4<5.1<8,貝"2<log25.1<3,所以

8

0<20-<log25.1<3,g(20-8)<g(log25.1)<g(3),所以*a<c,故選C.]

8.點A,B,C,。在同一個球的球面上，AB=BC=AC=y[3,若四面體ABCD

體積的最大值為小，則這個球的表面積為()

289兀-°—169兀25兀

A.%B?8兀C.“D.-TT

16lolo

A［根據(jù)題意知，△ABC是一個等邊三角形，其面積為斗，由正弦定理

2廠=北=2知，外接圓的半徑為r=l.設(shè)小圓的圓心為Q,若四面體ABC。的體

sin3

積有最大值，由于底面積SAABC不變，高最大時體積最大，所以，OQ與面ABC

垂直時體積最大，最大值為gs“BcxOQ=小，設(shè)球心為0,半徑為R,

17

則在直角△A。。中，Q42=AQ2+OQ2,g|J7?2=12+(4—H)2,??.R=k，則這個

球的表面積為S=4兀(#)2=甯，故選A.]

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3

分)

9.下表是某電器銷售公司2019年度各類電器營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)

計表：

空調(diào)類冰箱類小家電類其它類

營業(yè)收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%

凈利潤占比95.80%-0.48%3.82%0.86%

則下列判斷中正確的是()

A.該公司2019年度冰箱類電器銷售虧損

B.該公司2019年度小家電類電器營業(yè)收入和凈利潤相同

C.該公司2019年度凈利潤主要由空調(diào)類電器銷售提供

D.剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2019年度空調(diào)類電器銷售凈利潤

占比將會降低

ACD[根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，該公司2019年度冰箱類電器銷售凈利潤所占比為

—0.48,是虧損的，A正確；

小家電類電器營業(yè)收入所占比和凈利潤所占比是相同的，但收入與凈利潤不

一定相同，B錯誤；

該公司2019年度凈利潤空調(diào)類電器銷售所占比為95.80%,是主要利潤來源,

C正確；

所以剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2019年度空調(diào)類電器銷售凈利潤

占比將會降低，D正確.故選ACD.]

10.下列敘述中不正確的是（）

A.%<1”是“方程/+無+。=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件

B.若a,b,cGR,則“a/8戶，的充要條件是%>c”

C.%>1"是的充分不必要條件

D.若a,h,cWR,則“加+fec+cXF的充要條件是“。2一4女柳”

ABD[A.令/（九）=尤2+犬+0,方程_?+》+4=0有一個正根和一個負根，

貝1」/（0）<0,則有。<0,是“方程/+x+a=0有一個正根和一個負根”的必

要不充分條件，錯誤.

B.當(dāng)/?=0時，若"a>c”成立，而ab2=o=M2,充分性不成立，錯誤.

C.=...““>1”是1<1"的充分不必要條件，正確；

D.當(dāng)a=0,b=0,cVO時，滿足〃=4。區(qū)0,但此時加十力尤+介。不成立，

故a,b,cER,則“a?+法+它0”的充要條件是*2—40區(qū)0”錯誤.故選ABD.]

11.已知函數(shù)/（x）=asinx—小cosx的一條對稱軸為*=普，函數(shù)/（x）在區(qū)

間（XI，也）上具有單調(diào)性，且/（月）=一/（2），則下述四個結(jié)論正確的是（）

A.實數(shù)a的值為1

B.（XI,4川））和（X2,7（X2））兩點關(guān)于函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸對稱

C.X2-X\的最大值為71

Orr

D.歸+刈的最小值為可

ACD「.”=系是函數(shù)/（x）的一條對稱軸，（x）=/（苧-x）,令尤=0,

得/（。）=/用，即一小=一冬一小xg,解得”=1,.?.將。=1代入可得/㈤

=sinx-geosx=2sin（x-§,

又???函數(shù)/（X）在區(qū)間（如，X2）上具有單調(diào)性，，X2—XI的最大值為彳=兀，

且/（XI）=—/（X2），二（XI，./（XI））和（X2，X^2））兩點關(guān)于（“妻,0）對稱，

7171.2兀

Xl-^+X2-^尤1+X2-g~2

?二-----2-=2—攵兀(2￡Z),Xi+x2=2kn+"^(^eZ),當(dāng)攵=0時,

恒+刈的最小值為胃..?.A,C,D項正確，B項錯誤.綜上可知，故選ACD.]

12.如圖，等邊三角形ABC的中線AF與中位線。E相交于G,已知△4EO

是△ADE繞。E旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，正確的是()

A.動點4在平面ABC上的射影在線段AR上

B.恒有平面AGF_L平面BCEO

C.三棱錐4-EH)的體積有最大值

D.旋轉(zhuǎn)過程中二面角A'-DE-C的平面角始終為NA，GF

ABCD[\'A'D=A'E,△ABC是正三角形，：.A'G±DE,GF±DE,DEI.

平面A'GF,

因為DEu平面BCED,所以平面平面BCEO,.'.A，在平面ABC上的

射影在線段AF上，故A正確；由A知，平面4GF,OEu平面3CEO,

...恒有平面4GHL平面BCED,故B正確；

三棱錐A\FE。的底面積是定值，體積由高即A到底面的距離決定，故當(dāng)平

面4DE，平面8CED時,三棱錐4一正。的體積有最大值，故C正確;平面4?？?

平面CDE=0E,且4GLOE,GFLDE,則二面角A\DE-C的平面角為N4GF,

故D正確；故選ABCD.]

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若雙曲線/一*=1的焦點到漸近線的距離為2啦，則實數(shù)k的值為

K

8[由雙曲線X2—亍=1得其中一個焦點為?k+1,0),其中一條漸近線方

程為所以焦點到直線的距離為^^^"=2/，所以％=81

14.若(ax—y)(x+2y)4的展開式中fy3的系數(shù)為8,則a—.

I［(分-y)(x+2y)4的展開式中含x2/的項為(a-Clx-(2y)3+(-y)-Cir(2y)2=

(32a—24)fy3,根據(jù)題意可得32a—24=8,解得a=L］

15.已知數(shù)列｛a”｝的通項公式a”=一層+io”—21,前幾項和為S,若〃>瓶,

則S—S”的最大值是.

10［數(shù)列｛?。耐椆叫?一/+10〃-21=一(〃一3)(〃一7),

當(dāng)3<?<7時a?>0,當(dāng)n<2或論8時a?<0,Sn最大值為S6或

S”最小值為S2或8,S〃一S”的最大值為S6—53=。4+紡+。6=3+4+3=10］

1—|x+l|,—2,0］

16.已知函數(shù)/(%)=，，則/(3)=

2f(x—2)，xW(0,+co)

若方程f(x)=x+a在區(qū)間［-2,4］有三個不等實根，實數(shù)a的取值范圍為

.(本題第一空2分，第二空3分)

1一|x+l|,2,0］

4｛l｝U(-2,0)［由/(x)=/八工\’則/(3)=2f

3x-2),xe(0，+8)

(3—2)=2/(l)=2x2/(I-2)=4/(—l)=4x(l—0)=4；

作出函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,4］上的圖象，如圖所示，

設(shè)y=x+a,由圖象可知要使方程/。)=無+。在區(qū)間［-2,4］有3個不等實

根，

則直線y=x+a應(yīng)位于/1與/2之間或直線h的位置，所以實數(shù)a的取值范圍

為一2<a<0或a=1.］

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知△ABC內(nèi)接于單位圓，且(l+tanA)(l+tanB)=

2.

(1)求角C；

(2)求△ABC面積的最大值.

［解］(l)V(l+tanA)(H-tan5)=2,

tanA+tanB=1—tanA-tanB,

/一ztanA+tanB/八、3兀

AtanC=-tan(A+B)=-1_tan^anB=-l,VCG(O,^).,-,C=T，

(2)4ABC的外接圓為單位圓，其半徑H=l,由正弦定理可得c=2RsinC

=也，由余弦定理可得/=/+〃一2a"cosC,代入數(shù)據(jù)可得2=層+》2+也

ab>2ab+yl2ab=(2+yl2)ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時"="成立，:.ab^；巾‘?'.△ABC

的面積S=%Ain%&乎=嚀^

△ABC面積的最大值為與L

18.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列｛z｝的前〃項和為S,｛a｝是各項均為

正數(shù)的等比數(shù)列，0=兒，,歷=8,4一3加=4,是否存在正整數(shù)匕

使得數(shù)列焉的前后項和叫!?若存在，求出人的最小值；若不存在，說明理

由.

從①§4=20,②S3=203,③3a3—。4=82這三個條件中任選一個，補充到上

面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

［解］設(shè)等差數(shù)列｛&“｝的公差為d,等比數(shù)列｛加｝的公比為夕(9>0),則從=*

q

力3=8q,于是?一3x8q=4,

q

19

即6才+夕一2=0,解得4=］,q=一§(舍去).

若選①：則。1=從=2,S4=4ai+2d=20,解得d=2,所以Sa=2〃+

x2=/+〃，*=疝而=；_市，于是/產(chǎn)而+而+…+瓦=(l_5)+(r~N

令1一士〉得，解得心15,因為左為正整數(shù)，所以k的最小值為16.

左十116

3x2

若選②：則。1=歷=2,341+方力=231+24，解得ai=d=2.

下同①.

4

若選③：則。1=人4=2,3(ai+2(/)—(ai+3J)=8,解得.于是S,=2〃+

〃（〃一1）42,,4

-^―x-=-?2+-n

131311

&；=2X^+2)=4(?-^+2),

于是八二永1一$+《5)+…+(吉一^f)+(9出)]4I+；一^7

9311

--^T令

女++

8-J&2

注意到Z為正整數(shù)，解得后7,所以女的最小值為7.

19.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P—A8CO中，底面ABCD為菱形，PA±

底面ABC。，AC=2y［2,PA=2,E是PC上的一點，PE=2EC.

(1)證明：PC_L平面BED；

(2)設(shè)二面角A-PB-C為90。，求PD與平面PBC所成角的大小.

［解］(1)證明：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,設(shè)。(啦，b,0),則C(2/，0,0),

x

p(o,0,2),《竽，0,1],B(y[2,~b,0),PC=(2yj2,0,一2),BE=

停,b,3,魂二惇,~b,目,‘PCBE=^-^=0,PCDE=0,：.PC±BE,

PCLDE,BECDE=E,

.,.PC_L平面BED.

(2)AP=(0,0,2),AB=(y[2,~b,0),設(shè)平面PAB的法向量為m=

mAP=2z=0

(x,y,z),貝ijj,

m-AB=y/2x—by=0

取m=(h,yj2,0),設(shè)平面PBC的法向量為n=(p，q，r),則

nPC=2y[2p-2r=0

■加4Jc'

nBE='^~p+bq+^r=Q

取〃=（1，一半，啦）’;平面布8,平面PBC,/.mn=b-l=0,故b

=啦，

/.n=（L—LA/2）,DP=^—\[2,—y[2,2）,

.,^7^、n,DP1

.?cos\DP,n）=—:----7=7，

I?I|D>|2

「兀]1

設(shè)P。與平面PBC所成角為仇夕w[o,引，則sine=],二。：3。。，

：.PD與平面PBC所成角的大小為30°.

20.（本小題滿分12分）某土特產(chǎn)超市對90位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到

如下人數(shù)分布表.

購頭金額

[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

（元）

人數(shù)101520152010

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為購買金額

是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元少于60元合計

男40

女18

合計

(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3

次，每次中獎概率為p(每次抽獎互不影響，且〃的值等于人數(shù)分布表中購買金額

不少于60元的頻率)，中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若

游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期

望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：

〃(ad-bc)2

〃=a+b+c+d.

(a+/?)(c+t/)(?+c)(/?+J)

附表:

ko2.0722.7063.8416.6357.879

0.1500.1000.0500.0100.005

［解］(1)2x2列聯(lián)表如下:

不少于60元少于60元合計

男124052

女182038

合計306090

90x(12x20—40x18)2=事

人―30x60x52x38—247〉"討'

因此有95%的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

(2)X可能取值為65,70,75,80,且〃=嚙型=/.

32

P(X=65)=C'g)=2J,P(X=7O)=C3(g[x|=1,

23

P(X=75)=C4X；X6)=1,P(X=80)=C(|)=探

所以X的分布列為:

X65707580

1248

P(X)279927

I248

E(X)=65x近+70xg+75x§+80x近=75.

r2v2、八

21.體小題滿分12分)已知橢圓C：3+*=1(。?>°)的離心率為竽，其右

頂點為4下頂點為8,定點。(0,2),△ABC的面積為3,過點。作與y軸不

重合的直線/交橢圓。于P,Q兩點，直線BP,8。分別與x軸交于M,N兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)試探究M,N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，說明理由.

［解］(1)由已知A,B的坐標(biāo)分別是A(a，0),B(0,~h),由于△ABC的面

積為3,，g(2+b)a=3,又由e=坐得a=2A,解得/?=1或/?=-3(舍去)，

v2

=2,8=1,二橢圓方程為4+^=1.

(2)設(shè)直線PQ的方程為>=日+2,P,Q的坐標(biāo)分別為尸(xi，V),2(x2,”),

則直線8P的方程為y="4—l,令y=0,得點M的橫坐標(biāo)XM=一上，

直線3。的方程為y=*x—1,令y=0,得點N的橫坐標(biāo)刈=由，

.________—2________________X1X2____________________X1X2__________

..XMXN(yi+Ds+l)(依|+3)(依2+3)lcX\X2+3k.(x\+%2)+9*

把直線>=自+2代入橢圓3+尸=1得(l+4d)f+16"+12=0,由根與系

12

加王至殂12,16k?1+4后

數(shù)天余待X1X2-]+43，XI十X2——]+43'??XMXN—]24248女？一

1+4R—1+4女2+9

123-483+9+363=§'是正值

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+tu2—(2a+i)x+m+l).

(1)若a=T