§3空間點、直線、平面之間的位置關系第2課時空間圖形的基本事實4及等角定理自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑一題多解

自主預習·新知導學一、基本事實4與等角定理【問題思考】1.觀察圖6-3-6中電線桿所在直線、電線所在直線的位置關系.回答下列問題.(1)在同一平面內(nèi),兩直線有怎樣的位置關系?(2)圖中兩根電線桿所在直線具有怎樣的位置關系?電線所在直線與電線桿所在直線又具有怎樣的位置關系?(3)觀察一下,教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線,是什么樣的位置關系?圖6-3-6提示:(1)平行或相交.(2)兩根電線桿所在直線互相平行,電線所在直線與電線桿所在直線相交或異面.(3)異面直線.2.(1)基本事實4表6-3-3(2)空間兩條直線的位置關系表6-3-4(3)定理(又稱為等角定理)文字語言:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.符號表示:OA∥O'A',OB∥O'B'?∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.作用:判斷或證明兩個角相等或互補.3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,則∠PQR等于

.解析:由題意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根據(jù)等角定理,如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°.答案:30°或150°二、異面直線所成的角【問題思考】1.如圖6-3-7,已知兩條異面直線a,b,如何作出這兩條異面直線所成的角?提示:如答圖6-3-5,在空間任取一點O,過點O作直線a'∥a,b'∥b,則兩條相交直線a',b'所成的銳角或直角θ即為兩條異面直線a,b所成的角.圖6-3-7答圖6-3-52.異面直線a,b所成角的范圍是什么?大小與什么有關?與點O的位置有關嗎?提示:(0°,90°];a'與b'所成角的大小只由a,b的相互位置確定;與點O的選擇無關.3.表6-3-54.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AA1與BC1所成的角的大小為

.

解析:∵BB1∥AA1,∴∠B1BC1即為異面直線AA1與BC1所成的角,其大小為45°.答案:45°

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

基本事實4的應用【例1】

如圖圖6-3-8,E,F分別是長方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中點.求證:四邊形B1EDF是平行四邊形.圖6-3-8證明:如答圖6-3-6,設Q是DD1的中點,連接EQ,QC1.∵E是AA1的中點,∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1

B1C1,∴EQB1C1.∴四邊形EQC1B1為平行四邊形.∴B1EC1Q.又Q,F分別是邊DD1,C1C的中點,∴QDC1F.∴四邊形QDFC1為平行四邊形.∴C1QDF.∴B1EDF.∴四邊形B1EDF為平行四邊形.答圖6-3-6反思感悟空間中證明兩直線平行的方法:(1)借助平面幾何知識證明,如三角形中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、用成比例線段證平行等.(2)利用基本事實4證明,即證明兩直線都與第三條直線平行.探究二

等角定理的應用【例2】

如圖6-3-9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為邊A1C1,AC和AB的中點.圖6-3-9求證:∠PNA1=∠BCM.證明:因為P,N分別為AB,AC的中點,所以PN∥BC.在三棱柱ABC-A1B1C1中,因為M,N分別為A1C1,AC的中點,所以A1M

NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形,故A1N∥MC.因為∠PNA1與∠BCM的兩條邊分別平行,且對應邊方向都相同,所以∠PNA1=∠BCM.反思感悟1.要明確等角定理中兩角相等的兩個條件,即兩個角的兩條邊分別對應平行,并且方向都相同或都相反,這兩個條件缺一不可.2.空間中證明兩個角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,還可以利用平行四邊形的對角相等.在利用等角定理時,關鍵是弄清楚兩個角對應邊的關系.探究三

求異面直線所成的角【例3】

如圖6-3-10,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點,若EF=

,求異面直線AD,BC所成角的大小.圖6-3-10分析:根據(jù)求異面直線所成角的方法,將異面直線AD,BC平移到同一平面內(nèi)解決.解:如答圖6-3-7,取BD的中點M,連接EM,FM.因為E,F分別是AB,CD的中點,從而∠EMF或其補角就是異面直線AD,BC所成的角.因為AD=BC=2,所以EM=MF=1.在等腰三角形MEF中,過點M作MH⊥EF于點H,則H是EF的中點.答圖6-3-7故∠EMF=2∠EMH=120°.所以異面直線AD,BC所成的角為∠EMF的補角,即異面直線AD,BC所成的角為60°.反思感悟求兩條異面直線所成的角的一般步驟:(1)構造:根據(jù)異面直線的定義,用平移法(常用三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等)作出異面直線所成的角.(2)證明:證明作出的角就是要求的角.(3)計算:求角度,常放在三角形內(nèi)求解.(4)結論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補角就是所求異面直線所成的角.一題多解【典例】

如圖6-3-11,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析:要求異面直線所成角的大小,關鍵是作出異面直線所成的角,把它歸結到三角形中,通過解三角形就可以得出答案.同時在解題時要注意異面直線所成角的范圍.圖6-3-11解:(方法一:直接平移法)如圖6-3-12,連接A1C1,B1D1交于點O,取DD1的中點G,連接GA1,GC1,OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其補角就是異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.圖6-3-12(方法二:中位線平移法)如圖6-3-13,連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,∵HE∥DB1,且HE=

DB1,∴∠HEF或其補角就是異面直線DB1與EF所成的角.連接HF,設AA1=1,圖6-3-13∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.(方法三:補形法)如