烏魯木齊市第61中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（新教材老高考不分文理）總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共40分）1．在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(

)①若是虛數(shù)，則；②若復(fù)數(shù)滿足，則；③若復(fù)數(shù)，，且對應(yīng)的復(fù)數(shù)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；④若，則.A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合，，且，則（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的為（

）A．某高中為了解在校學(xué)生對參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生數(shù)之比為5:4:3，則應(yīng)從高三年級(jí)中抽取14名學(xué)生B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg4．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且對任意的有，當(dāng)時(shí)，，則（

）．A．11 B．5 C． D．5．已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).若橢圓的離心率不大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）9．在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時(shí)，D．當(dāng)矩形ABCD的周長取得最小值時(shí)，10．已知拋物線：的焦點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，滿足軸，，則（

）A． B．直線的傾斜角為C． D．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為11．使得的數(shù)稱為方程的解，也稱為函數(shù)的零點(diǎn).即的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).已知二次函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且.下列說法正確的有（

）A．且B．C．D．和至少有一個(gè)小于12．若，，則（

）A．若，為互斥事件， B．C．若，相互獨(dú)立， D．若，則，相互獨(dú)立三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．向量滿足：，與的夾角為，則＝；14．已知正四棱臺(tái)的上底邊長為4，下底邊長為8，側(cè)棱長為，則其體積為.15．圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直線被圓C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦長為.16．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足，當(dāng)時(shí)，，則．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請根據(jù)答題卡題號(hào)及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：且______在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在前面橫線中，求滿足條件的個(gè)數(shù).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答得分.18．已知數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．近年來隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，舊貨交易市場也得以快速發(fā)展.某網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺(tái)對2018年某種機(jī)械設(shè)備的線上交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設(shè)備的使用時(shí)間，（單位：萬元）表示其相應(yīng)的平均交易價(jià)格.（1）已知2018年在此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺(tái)成交的該種機(jī)械設(shè)備為100臺(tái)，現(xiàn)從這100臺(tái)設(shè)備中，按分層抽樣抽取使用時(shí)間的4臺(tái)設(shè)備，再從這4臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求這2臺(tái)設(shè)備的使用時(shí)間都在的概率.（2）由散點(diǎn)圖分析后，可用作為此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺(tái)上該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價(jià)格關(guān)于其使用時(shí)間的回歸方程.5.58.71.9301.479.75385表中，（i）根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（ii）根據(jù)上述回歸方程，求當(dāng)使用時(shí)間時(shí)，該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價(jià)格的預(yù)報(bào)值（精確到0.01）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為參考數(shù)據(jù)：，，.20．如圖，在水平放置的四棱錐中，平面，，，.（1）為線段上動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使并證明；（2）求二面角的正弦值.21．已知點(diǎn)及圓．（1）若直線過點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求以為直徑的圓的方程；（3）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)：）月考答案解析1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)所在象限對命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，若與無法比較大小，①錯(cuò)誤.②，若，但，②錯(cuò)誤③，，則，③正確.④，時(shí)，，④錯(cuò)誤.所以正確的命題個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B2．C【分析】先求出集合，再利用集合間的包含關(guān)系列出不等式組，求出的取值范圍即可．【詳解】解：由，，解得，所以，集合，因?yàn)椋?，解得．故選：C．3．C【分析】對A，結(jié)合分層抽樣按比例分配原則可判斷錯(cuò)誤；對B，結(jié)合超幾何分布公式可求解對應(yīng)概率；對C，結(jié)合正態(tài)分布對稱性可判斷；對D，線性回歸方程只能做出預(yù)測.【詳解】對于A．應(yīng)從高三年級(jí)中抽取名學(xué)生，A錯(cuò)誤；對于B．所求概率，B錯(cuò)誤；對于C，，所以，C正確；對于D，用回歸方程計(jì)算得到是估計(jì)值，故不能斷定其體重為62.5kg，D錯(cuò)誤．故選：C4．C【分析】根據(jù)即可得出，即得出的周期為6，再根據(jù)是偶函數(shù)，以及時(shí)，，從而可求出．【詳解】解：∵，∴的周期為6．又是偶函數(shù)，且時(shí)，，∴．故選：C5．D【分析】由題意可得a>1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，直徑所對的圓周角為直角，化為，化簡整理，結(jié)合離心率公式和不等式的解法，可得a的范圍．【詳解】橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，可得a>1，由聯(lián)立橢圓方程可得，設(shè),可得，線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，可得OM⊥ON，即有，可得，化為，則，化為，由,可得，即,可得，即有,解得，可得，故選：D.6．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，說明函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，從而求出a的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，由函數(shù)f（x）恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，得f′（x）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴3ax2﹣6x+1＝0滿足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故選D．7．D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．8．D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，列方程求出，進(jìn)而可求出，列不等式組可求出的取值范圍【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得，故選：D9．AC【分析】由題意分別表示兩個(gè)圓錐的側(cè)面積與矩形面積建立方程，對選項(xiàng)一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設(shè)，，則圓錐M的側(cè)面積為，圓錐N的側(cè)面積為，則，則，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤，C正確.矩形ABCD的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的周長的最小值為，此時(shí)，所以A正確，D錯(cuò)誤.故選：AC10．AC【分析】計(jì)算焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得的值，判斷選項(xiàng)A，再由已知條件分析可得為等邊三角形，從而得，即可判斷選項(xiàng)B，在，計(jì)算的值，即可得，判斷選項(xiàng)C，利用點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離列式計(jì)算點(diǎn)的橫坐標(biāo)判斷選項(xiàng)D.【詳解】依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在準(zhǔn)線上，軸，，又，為等邊三角形，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，得，即直線的傾斜角為，若點(diǎn)在第四象限，同理可得直線的傾斜角為，B錯(cuò)誤；在中，，，C正確；所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D錯(cuò)誤.故選：AC．11．AD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合二函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷【詳解】對于A，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，即，所以A正確，對于B，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則，此時(shí)，則，所以C錯(cuò)誤，對于D，當(dāng)時(shí)，，即，所以和中至少有一個(gè)小于1，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以D正確，故選：AD12．AC【分析】利用互斥事件的定義及性質(zhì)判斷A選項(xiàng)；利用和事件的關(guān)系判斷B選項(xiàng)；利用相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì)判斷C選項(xiàng)；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據(jù)獨(dú)立事件關(guān)系確定A、B的獨(dú)立性可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：若A，B為互斥事件，則，，故A正確；選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若A，B相互獨(dú)立，，故C正確；選項(xiàng)D：，則A，B不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.13．【分析】根據(jù)模的計(jì)算公式可直接求解.【詳解】故填：.14．112【分析】根據(jù)已知條件，分別計(jì)算出上、下底面面積以及棱臺(tái)的高，代入棱臺(tái)體積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底邊長為4，下底邊長為8，側(cè)棱長為，所以棱臺(tái)的下底面積，上底面積，高，所以正四棱臺(tái)的體積.故答案為：112.15．.【解析】先求出圓C1和圓C2公共弦所在的直線方程，再由直線與圓相交求出圓心到直線的距離，然后由勾股定理求解答案.【詳解】由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1，1)，其到直線l的距離為d=，設(shè)圓C3的半徑為r，由條件知，，所以弦長為2×.故答案為：16．【分析】由已知條件可得函數(shù)的周期，再由周期性和偶函數(shù)的性質(zhì)求值．【詳解】由題意，所以是周期函數(shù)，周期是，又是偶函數(shù)，所以．故答案為：．17．選①,有兩個(gè)解；若選②，有一個(gè)解；若選③，無解.【分析】由可得，，再根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷的大小關(guān)系，從而即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，即有為，所以，所以，所以，即有，若選①：，因?yàn)椋?，即，故?個(gè)解；若選②：，因?yàn)?，即，故?個(gè)解；若選③：，因?yàn)?，即，故無解；18．(1)(2)【分析】（1）推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，且，在等式兩邊同時(shí)乘以可得，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，.（2）解：由（1）可得，所以，，①可得，②①②可得，因此，.19．（1）；（2）（ii）【分析】（1）由分層抽樣確定的設(shè)備有3臺(tái)，分別記為，，；使用時(shí)的設(shè)備有1臺(tái)，記為，由古典概型列舉求解即可（2）（i）由題意得，由公式求解即可求解（ii）將x=15代入方程求解即可【詳解】（1）由圖1中頻率分布直方圖可知，從2018年成交的該種機(jī)械設(shè)備中使用時(shí)間的臺(tái)數(shù)為，使用時(shí)間的臺(tái)數(shù)為，按分層抽樣所抽取4臺(tái)中，使用時(shí)間的設(shè)備有3臺(tái)，分別記為，，；使用時(shí)的設(shè)備有1臺(tái)，記為，從這4臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺(tái)的結(jié)果為，，，，，，共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這2臺(tái)設(shè)備的使用時(shí)間都在結(jié)果為，，，共有3種，：所求事件的概率為；（2）（i）由題意得，，關(guān)于的線性回歸方程為關(guān)于的回歸方程為，（ii）由（i）當(dāng)使用時(shí)間時(shí)，該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價(jià)格的預(yù)報(bào)值為萬元.，20．（1）為線段的中點(diǎn)，證明見解析；（2）【分析】（1）為線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，證明，再證明，，可得面，即面，即可求證；（2）以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角公式即可求夾角余弦值，再求正弦值即可.【詳解】（1）為線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，則，且，因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以面，面，所以，因?yàn)?，，，所以面，所以面，因?yàn)槊妫?；?）因?yàn)閮蓛纱怪保詾樵c(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由則，解得可得，所以因?yàn)槊妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為.21．（1），；（2）；（3）不存在，理由詳見解析.【分析】（1）設(shè)出直線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算參數(shù)，即可得出所求直線方程，注意分斜率存在與否兩種情況討論；（2）求出點(diǎn)P與圓心C之間的距離，再根據(jù)逆用弦長公式求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)，則點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，故以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍，再計(jì)算的斜率，求出a的值，即可.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為．依題意得，解得.所以直線的方程為，即．當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.（2）由于，而弦心距，所以．所以為的中點(diǎn)．故以為直徑的圓的方程為．（3）直線，即，代入圓的方程，消去，整理得．由于直線交圓于，兩點(diǎn)，故，解得．則實(shí)數(shù)的取值范圍是．若存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦，則圓心