描述函數(shù)法一．本質(zhì)非線(xiàn)性特性的諧波線(xiàn)性化1．諧波線(xiàn)性化具有本質(zhì)非線(xiàn)性的非線(xiàn)性元件在正弦輸入作用下在其非正弦周期函數(shù)的輸出響應(yīng)中假設(shè)只有基波分量有意義從而將本質(zhì)非線(xiàn)性特性在這種假設(shè)下視為線(xiàn)性特性的一種近似3．應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的前提a非線(xiàn)性特性具有奇對(duì)稱(chēng)心b非線(xiàn)性系統(tǒng)具有圖a所時(shí)的典型結(jié)構(gòu)c非線(xiàn)性部分輸出xt中的基波分量最強(qiáng)d非線(xiàn)性部分Gs的低通濾波效應(yīng)較好b非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)的求取方法二．典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)1飽和特性的描述函數(shù)2死區(qū)特性描述函數(shù)3間隙特性的描述函數(shù)1引言第七章非線(xiàn)性控制系統(tǒng)分析非線(xiàn)性指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線(xiàn)性規(guī)律變化非線(xiàn)性系統(tǒng)如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線(xiàn)性靜特性的元件或環(huán)節(jié)則稱(chēng)這類(lèi)系統(tǒng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)其特性不能用線(xiàn)性微分方程來(lái)描述一．控制系統(tǒng)中的典型非線(xiàn)性特性下面介紹的這些特性中一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的如飽和特性死區(qū)特性和滯環(huán)特性等這些特性一般來(lái)說(shuō)對(duì)控制系統(tǒng)的性能是不利的另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的如繼電器特性變?cè)鲆嫣匦栽诳刂葡到y(tǒng)中加入這類(lèi)特性一般來(lái)說(shuō)能使系統(tǒng)具有比線(xiàn)性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性非線(xiàn)性系統(tǒng)分析飽和特性2死區(qū)特性危害使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩危害使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩4繼電器特性功能改善系統(tǒng)性能的切換元件4繼電器特性特點(diǎn)使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的增益從而使系統(tǒng)響應(yīng)迅速而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的增益從而提高系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性同時(shí)抑制高頻低振幅噪聲提高系統(tǒng)響應(yīng)控制信號(hào)的準(zhǔn)確度質(zhì)非線(xiàn)性不能應(yīng)用小偏差線(xiàn)性化概念將其線(xiàn)性化 非本質(zhì)非線(xiàn)性可以進(jìn)行小偏差線(xiàn)性化的非線(xiàn)性特二?非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的特性1對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型量線(xiàn)性微分方程它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理而非線(xiàn)性系統(tǒng)其數(shù)學(xué)模型為非線(xiàn)性微分方程不能使用疊加原理由于兩種系統(tǒng)特性上的這種差別所以它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很不相同的目前還沒(méi)有像求解線(xiàn) 性微分方程那樣求解非線(xiàn)性微分方程的通用方法而對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過(guò)程通常是把討論問(wèn)題的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩計(jì)算機(jī)自持振蕩的振幅和頻率消除自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上 2在線(xiàn)性系統(tǒng)中系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)而與初始條件無(wú)關(guān)對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性?xún)H取決于特征根在s平面的分布但非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外還和初始條件有關(guān)在不同的初始條件下運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時(shí)是穩(wěn)定的而當(dāng)初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時(shí)則變?yōu)椴环€(wěn)定反之也町能初始值大時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定而初始值小畢低撤炊晃定甚至述會(huì)出現(xiàn)更為復(fù)雜的情況3在非線(xiàn)性系統(tǒng)中除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外往往即使無(wú)外作用存在系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩自持振蕩無(wú)外作用時(shí)非線(xiàn)性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩稱(chēng)為自持振蕩簡(jiǎn)稱(chēng)自振蕩 改變非系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以改變自持振蕩的振幅和頻率或消除自持振蕩 對(duì)線(xiàn)性系統(tǒng)圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩 4在線(xiàn)性系統(tǒng)中輸入為正弦函數(shù)時(shí)其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同因此可以用頻率響應(yīng)來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性而非線(xiàn)性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式 三?非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究方法現(xiàn)在尚無(wú)一般的通用方法來(lái)分析和設(shè)計(jì)非線(xiàn)性控制系統(tǒng)對(duì)非本質(zhì)非線(xiàn)性系統(tǒng)基于小偏差線(xiàn)性化概念來(lái)處理對(duì)本質(zhì)非線(xiàn)性系統(tǒng)二階系統(tǒng)相平面法高階系統(tǒng)描述函數(shù)法2相平面法相平面法是一種通過(guò)圖解法求解二階非線(xiàn)性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法一．基本概念二．線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡奇點(diǎn)相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)值單值地確定的點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn)6三相軌跡的繪制b直接積分法2圖解法a等傾線(xiàn)法等傾線(xiàn)在相平面內(nèi)對(duì)應(yīng)相軌跡上具有等斜率點(diǎn)的連線(xiàn)四由相軌跡求時(shí)間解五．非線(xiàn)性系統(tǒng)的相平面分析1．基本概念實(shí)奇點(diǎn)奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性工作區(qū)域內(nèi)虛奇點(diǎn)奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性工作區(qū)域外極限環(huán)極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)或從極限環(huán)卷出極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡總是不可能穿過(guò)極限環(huán)而進(jìn)入它的外部或內(nèi)部1穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂與該極限環(huán)這時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩2不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去在這種情況下如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)如果相軌跡起始于極限環(huán)外則該相軌跡發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)3半穩(wěn)定極限環(huán)如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)或者相反起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)一般非線(xiàn)性系統(tǒng)可用分段線(xiàn)性微分方程來(lái)描述在相平面的不同區(qū)域內(nèi)代表該非線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是線(xiàn)性的因而每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換區(qū)域的邊界線(xiàn)稱(chēng)為開(kāi)關(guān)線(xiàn)或轉(zhuǎn)換線(xiàn)因此一般非線(xiàn)性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線(xiàn)性系統(tǒng)相軌跡我們只需做好相軌跡在開(kāi)關(guān)線(xiàn)上的銜接工作用相平面法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的一般步驟1將非線(xiàn)性特性用分段的直線(xiàn)特性來(lái)表示寫(xiě)出相應(yīng)線(xiàn)段的數(shù)學(xué)表達(dá)式2首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)然后將相平面根據(jù)非線(xiàn)性特性分成若干區(qū)域使非線(xiàn)性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線(xiàn)性特性3確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類(lèi)別和在相平面上的位置4在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫(huà)出各自的相軌跡5將相鄰區(qū)域的相軌跡根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線(xiàn)上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來(lái)便得到整個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)的相軌跡6基于該相軌跡全面分析二階非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性例2非線(xiàn)性系統(tǒng)方框圖如圖所示試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào)例3式中線(xiàn)性區(qū)寬度線(xiàn)性區(qū)特性的斜率式中死區(qū)寬度-線(xiàn)性輸出的斜率式中間隙寬度間隙特性斜率變?cè)鲆嫣匦允街?變?cè)鲆嫣匦孕甭?切換點(diǎn)設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述 1如果以和作為變量則可有2用第一個(gè)方程除第二個(gè)方程有3這是一個(gè)以為自變量以為因變量的方程如果能解出該方程則可以用2式把的關(guān)系計(jì)算出來(lái)因此對(duì)方程1的研究可以用研究方程3來(lái)代替如果把方程1看作質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程則代表質(zhì)點(diǎn)的位置代表質(zhì)點(diǎn)的速度因而也代表了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量用和描述方程1的解也就是用質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)如位置和動(dòng)量來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在物理學(xué)中這種不直接用時(shí)間變量而用狀態(tài)變量表示運(yùn)動(dòng)的方法稱(chēng)為相空間法也稱(chēng)為狀態(tài)空間法在自動(dòng)控制理論中把具有直角坐標(biāo)的和的平面稱(chēng)為相平面相平面是二維的狀態(tài)空間設(shè)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為分別取和為相平面的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上述方程為則上式代表描述二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡各點(diǎn)處的斜率在及即坐標(biāo)原點(diǎn)00處的斜率為由此我們有奇點(diǎn)的定義1無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)形式積分有2欠阻尼運(yùn)動(dòng)形式1解析法繪制相軌跡的關(guān)鍵在于找出和的關(guān)系用求解微分方程的辦法找出的關(guān)系從而可在相平面上繪制相軌跡這種方法稱(chēng)為解析法解析法分為a消去參變量由直接解出通過(guò)求導(dǎo)得到在這兩個(gè)解中消去作為參變量的就得到的關(guān)系例設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為

其中M為常量已知初始條件求其相軌跡解積分有1 再積分一次有2 由12式消去有M1M-1上式可分解為則由 可找出得關(guān)系在上式中由可有積分有 可見(jiàn)兩種方法求出的相軌跡是相同的原理因故有式中為相軌跡在某一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率令則I滿(mǎn)足此方程的點(diǎn)出的斜率必為有上式確定的關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為等傾線(xiàn)相軌跡必然以的斜率經(jīng)過(guò)等傾線(xiàn)步驟a根據(jù)等傾線(xiàn)方程式I做出不同值的等傾線(xiàn)b根軌初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)c從起始點(diǎn)處的等傾線(xiàn)向相鄰的第二條等傾線(xiàn)畫(huà)直線(xiàn)它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線(xiàn)斜率的平均值再?gòu)脑撝本€(xiàn)與第二條等傾線(xiàn)的交點(diǎn)向相鄰的第三條等傾線(xiàn)畫(huà)直線(xiàn)這段直線(xiàn)的斜率等于第二第三等傾線(xiàn)斜率的平均值如此繼續(xù)下去即可作出相軌跡b法原理這里是單值連續(xù)函數(shù)式中適當(dāng)選擇值以使下面定義的函數(shù)值在所討論的取值范圍內(nèi)既不太大也不太小函數(shù)定義如下函數(shù)值取決于變量和而當(dāng)和變化很小時(shí)可以看作一個(gè)常量 積分有這是一個(gè)以為圓心以為半徑的圓弧附近的相軌跡可用這段圓弧來(lái)代替 做圖步驟①在平面上根據(jù)初始狀態(tài)的坐標(biāo)計(jì)算出②以為圓心過(guò)初始狀態(tài)作一小段圓弧使系統(tǒng)的狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到③根據(jù)和求出后以為圓心作過(guò)的一段圓弧系統(tǒng)狀態(tài)又以轉(zhuǎn)移到1根據(jù)求時(shí)間解在坐標(biāo)上在坐標(biāo)上 由圖可見(jiàn) 從相平面圖上橫坐標(biāo)上選取從相平面圖上縱坐標(biāo)上選取但應(yīng)是對(duì)應(yīng)的的平均值從相平面圖上橫坐標(biāo)上選取從相平面圖上縱坐標(biāo)上選取但應(yīng)是對(duì)應(yīng)的的平均值2．根據(jù)求時(shí)間解以為橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)則有如下軌跡便是陰影部分的面積3．根據(jù)圓弧近似求時(shí)間解相軌跡上由相軌跡上由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的時(shí)間為1 2 作用下的相軌跡并分析該系統(tǒng)的特性初始狀態(tài) 解死區(qū)特性的數(shù)字表達(dá)式為線(xiàn)性部分微分IIIII方程為而故有 根據(jù)死區(qū)特性系統(tǒng)可分為三個(gè)區(qū)I區(qū)II統(tǒng)的特性初始狀態(tài) 解死區(qū)特性的數(shù)字表達(dá)式為線(xiàn)性部分微分IIIII方程為而故