第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值第三章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義,會判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性.2.掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法.3.理解函數(shù)最值的概念,會求簡單函數(shù)的最值.4.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.1.判斷或證明函數(shù)單調(diào)性2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間3.求函數(shù)的最值4.利用函數(shù)單調(diào)性解決相關(guān)問題數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義當(dāng)x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的微點(diǎn)撥函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的

.

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)區(qū)間

微思考如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?提示

若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),否則為減函數(shù),簡稱“同增異減”.2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

;

(2)?x0∈D,使得

(3)?x∈D,都有

;

(4)?x0∈D,使得

結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值

最大值是所有函數(shù)值中最大的一個M是函數(shù)y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=M

f(x)≥Mf(x0)=M常用結(jié)論1.若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若f(x),g(x)分別是區(qū)間A上的增函數(shù)和減函數(shù),則f(x)-g(x)是區(qū)間A上的增函數(shù).2.若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反.3.閉區(qū)間上的圖象連續(xù)的函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時,最值一定在端點(diǎn)處取到.對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增.(

)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+∞).(

)××××2.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=-2x B.y=(x-1)2C.y=

D.y=|x+2|答案D

解析

y=-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯誤;y=(x-1)2在(0,+∞)上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,故B錯誤;y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故C錯誤;y=|x+2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意.答案

3

解析

由單調(diào)性的定義可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,因此f(x)在區(qū)間[2,b]上的最大值與最小值分別為f(b),f(2),所以有

,解得b=3.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間(多考向探究)考向1.證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性典例突破例1.(1)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.f(x)=lnx

B.f(x)=e-x(2)判斷并證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-1,+∞)上的單調(diào)性.答案(1)B

(2)

解

函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增.方法總結(jié)利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=x2-,則f(x)(

)A.是偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減答案B

考向2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例突破例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=x2+4x-1;(2)f(x)=|x+1|+|x-2|;(3)f(x)=log3(4x-x2).解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,其圖象是開口向上的拋物線,拋物線的對稱軸是直線x=-2,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)=|x+1|+|x-2|=該函數(shù)的大致圖象如圖:由圖象可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].(3)由4x-x2>0,解得0<x<4,所以函數(shù)f(x)的定義域為(0,4).令t=4x-x2,則y=log3t,由于y=log3t是定義域(0,+∞)上的增函數(shù),t=4x-x2在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2],單調(diào)遞減區(qū)間是(2,4).方法總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法及注意點(diǎn)(1)求單調(diào)區(qū)間的常用方法:①定義法;②圖象法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③依據(jù)“同增異減”確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式或集合表示,當(dāng)函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間時,不能用并集符號“∪”表示.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)(2)函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

A.(-∞,-3],[0,3] B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5),[0,1) D.(-1,0],(5,+∞)答案(1)C

(2)(-∞,-1]

考點(diǎn)二函數(shù)的最值典例突破例3.求下列函數(shù)的最值:方法總結(jié)求函數(shù)最值的常見方法(1)單調(diào)性法:若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(a),f(b)分別是f(x)在區(qū)間[a,b]上取得的最小(大)值、最大(小)值.(2)圖象法:對于由基本初等函數(shù)變化而來的函數(shù),通過觀察函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定函數(shù)的最值.(3)換元法:形如y=ax+b±型的函數(shù),可用此法求其最值.(4)基本不等式法:注意應(yīng)用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”.(5)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)函數(shù)y=,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是(

)A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)答案

(1)D

(2)(-∞,2]f(x)min=f(1)=5.因為函數(shù)g(x)=2x+a-1在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(2)=3+a.由5≥3+a,得a≤2.故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用單調(diào)性比較大小典例突破例4.(2022西北工業(yè)大學(xué)附中模擬)若a=ln3,b=lg5,c=log126,則(

)A.a>b>c

B.b>c>aC.c>b>a

D.a>c>b答案D

又0<log25<log26,∴f(log25)<f(log26),即lg

5<log126.∴a>c>b.技巧點(diǎn)撥利用單調(diào)性比較大小的方法步驟(1)確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)比較自變量的大小,若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、對稱性、周期性)轉(zhuǎn)換為同一個單調(diào)區(qū)間;(3)由單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系.對點(diǎn)訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,則(

)A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(a)<f(b)<f(c)答案

D

考向2.利用單調(diào)性解不等式典例突破例5.設(shè)f(x)的定義域為R,已知f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,f(x+1)是奇函數(shù),則使得不等式f(log2(x-3))+f(log2x)>0成立的x的取值范圍為

.

答案

(3,4)

解析

因為f(x+1)是奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,因此f(1-x)+f(1+x)=0.又因為f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x1)+f(x2)>0等價于x1+x2<2,因此不等式f(log2(x-3))+f(log2x)>0等價于log2(x-3)+log2x<2,即log2[x(x-3)]<log24,即x2-3x<4且x-3>0,解得x的取值范圍為(3,4).名師點(diǎn)析

對點(diǎn)訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)=