PAGEPAGE5專題17統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例文【命題熱點(diǎn)突破一】抽樣方法某工廠生產(chǎn)的甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品分別有150件、120件、180件、150件．為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這600件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為100的樣本，若采用分層抽樣法，設(shè)甲產(chǎn)品中應(yīng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)為x，某件產(chǎn)品A被抽到的概率為y，則x，y的值分別為()A．25，eq\f(1,4)B．20，eq\f(1,6)C．25，eq\f(1,600)D．25，eq\f(1,6)【答案】D【特別提醒】三種抽樣方法均是等概率抽樣，當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．【變式探究】從編號(hào)分別為0，1，2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為10的樣本，若編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為_(kāi)_______．【答案】74【解析】每8件產(chǎn)品抽取一件，編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為58＋16＝74.【命題熱點(diǎn)突破二】用樣本估計(jì)總體【2016高考山東】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【變式探究】(1)將某市8所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示(如圖18-3所示)，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()圖18-3A．91，91.5B．91，92C．91.5，91.5D．91.5，92(2)2014年6月，一篇關(guān)于“鍵盤俠”(“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象)的時(shí)評(píng)引發(fā)了大家對(duì)“鍵盤俠”的熱議．某地區(qū)新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可度做出調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度．若該地區(qū)有9600人，則估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有________人．【答案】（1）C（2）6912【解析】（1）中位數(shù)為eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)為90＋eq\f(－2－3＋1＋7＋4＋2＋0＋3,8)＝91.5.（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，可知該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的概率約為eq\f(36,50)，所以該地區(qū)9600人中對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的大約有9600×eq\f(36,50)＝6912（人）.【特別提醒】統(tǒng)計(jì)的基本思想之一就是以樣本估計(jì)總體．以樣本的頻率估計(jì)總體的概率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)．【變式探究】(1)某學(xué)校隨機(jī)抽查了本校20個(gè)同學(xué)，調(diào)查他們平均每天在課外進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間(分鐘)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為八組，分別是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出的頻率分布直方圖如圖18-4所示，則原始的莖葉圖可能是()圖18-4圖18-5(2)高三年級(jí)上學(xué)期期末考試中，某班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖18-6所示，數(shù)據(jù)分組依次如下：[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]．估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)為()圖18-6A．112B．114C．116D．120【答案】（1）B（2）B【命題熱點(diǎn)突破三】統(tǒng)計(jì)案例例3、某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間情況，采用分層抽樣的方法，收集了300名學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))．(1)應(yīng)收集多少名女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖18-7所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估計(jì)該校學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí)的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60名女生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與性別有關(guān)”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)【解析】：（1）300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90名女生的樣本數(shù)據(jù).（2）由頻率分布直方圖得每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)超過(guò)4小時(shí)的頻率為1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率約為0.75.（3）由（2）知，300名學(xué)生中有300×0.75＝225（名）學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，其余75名學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不超過(guò)4小時(shí).又因?yàn)槌槿〉?00名學(xué)生中有210名男生、90名女生，所以每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)453075每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間超過(guò)4小時(shí)16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(300×（165×30－45×60）2,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762>3.841.所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與性別有關(guān)”.【特別提醒】在計(jì)算K2時(shí)要注意公式中各個(gè)字母的含義，分子上是總量乘2×2列聯(lián)表中對(duì)角線數(shù)字乘積之差的平方，分母上是四個(gè)分和量的乘積．【變式探究】為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球的時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系.時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4(1)求小李這5天的平均投籃命中率；(2)用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率．設(shè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則由公式可得eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(（－2）×（－0.1）＋（－1）×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×（－0.1）,（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22)＝0.01，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝0.5－0.01×3＝0.47，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝0.01x＋0.47.當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.53，故小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率約為0.53.【特別提醒】回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x，y)，當(dāng)已知回歸直線方程兩個(gè)系數(shù)中的一個(gè)時(shí)，可以直接代入樣本點(diǎn)中心的坐標(biāo)求得另一個(gè)系數(shù)．正相關(guān)和負(fù)相關(guān)是根據(jù)回歸直線方程的斜率判斷的：正相關(guān)時(shí)回歸直線方程的斜率為正值；負(fù)相關(guān)時(shí)回歸直線方程的斜率為負(fù)值．回歸直線方程斜率的符號(hào)與相關(guān)系數(shù)的符號(hào)是一致的．【高考真題解讀】1.【2016年高考四川】（本小題滿分12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12．由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000．（Ⅲ）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)．2.【2016高考山東】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由頻率分布直方圖知，自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)為后三組，有（人），選D.1．(2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A．167 B．137 C．123 D．93【答案】B【解析】由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故選B.2．(2015·安徽，6)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為()A．8B．15C．16D．32【答案】C3．(2015·重慶，3)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()01228925800033812A．19 B．20 C．21.5 D．23【答案】B【解析】從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個(gè)數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B.4．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，31)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是()A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo)．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D5．(2015·福建，4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝y(tǒng)－x．據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元【答案】B【解析】回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得當(dāng)x＝15萬(wàn)元時(shí)，＝11.8萬(wàn)元．故選B.6．(2014·山東，7)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組．如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6 B．8 C．12 D．18【答案】C7．(2014·陜西，9)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1，2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為()A．1＋a，4 B．1＋a，4＋aC．1，4 D．1，4＋a【答案】A【解析】8．(2014·湖南，2)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3【答案】D【解析】因?yàn)椴扇『?jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等，故選D.9．(2014·廣東，6)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【答案】A【解析】由題圖可知，樣本容量等于(3500＋4500＋2000)×2%＝200；抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20，故選A.10．(2014·天津，9)某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生．【答案】60【解析】eq\f(4,20)×300＝60(名)．11．(2015·江蘇，2)已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．【答案】6【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.12．(2015·湖南，12)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：1314150034566889111222334455566780122333若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則