我所認(rèn)識的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變都是物體受到外界載荷產(chǎn)生的響應(yīng)。物體由于受到外界載荷后，在物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生互相之間的力的作用，由于受到力的作用就會產(chǎn)生相應(yīng)的變形；或者由于變形引起相應(yīng)的力的作用。則一定材料的物體其產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變也必然存在一定的關(guān)系。在力學(xué)上由于平衡方程僅建立了力學(xué)參數(shù)（應(yīng)力分量與外力分量）之間的關(guān)系，而幾何方程也僅建立了運動學(xué)參數(shù)（位移分量與應(yīng)變分量）之間的連系。所以平衡方程與幾何方程是兩類完全相互獨立的方程，它們之間還缺乏必要的聯(lián)系，這種聯(lián)系即應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。有了可變形材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系和力學(xué)參數(shù)及運動學(xué)參數(shù)即可分析具體的力學(xué)問題。由平衡方程和幾何方程加上一組反映材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的方程就可求解具體的力學(xué)問題。這樣的一組方程即所謂的本構(gòu)方程。討論應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系即可變?yōu)橐欢ǖ牟牧辖⒑线m的本構(gòu)方程。一.典型應(yīng)力■應(yīng)變關(guān)系圖1-1典型應(yīng)力-應(yīng)變曲線1）彈性階段（OC段）該彈性階段為初始彈性階段OC（嚴(yán)格講應(yīng)該為CA’），包括：線性彈性分階段OA段，非線性彈性階段AB段和初始屈服階段BC段。該階段應(yīng)力和應(yīng)變滿足線性關(guān)系，比例常數(shù)即彈性模量或楊氏模量，記作：。=E8，即在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的初始部分（小應(yīng)變階段），許多材料都服從全量型胡克定律。2） 塑性階段（CDEF段）CDE段為強化階段，在此階段如圖1中所示，應(yīng)力超過屈服極限，應(yīng)變超過比例極限后，要使應(yīng)變再增加，所需的應(yīng)力必須在超出比例極限后繼續(xù)增加，這一現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。CDE段的強化階段在E點達(dá)到應(yīng)力的最高點，荷載達(dá)到最大值，相應(yīng)的應(yīng)力值稱為材料的強度極限（ultimatestrength），并用ub表示。超過強度極限后應(yīng)變變大應(yīng)力卻下降，直到最后試件斷裂。這一階段試件截面積的減小不是在整個試件長度范圍發(fā)生，而是試件的一個局部區(qū)域截面積急劇減小。這一現(xiàn)象稱為“頸縮”（necking）。此時，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點以后荷載開始下降，直至在頸縮部位試件斷裂破壞。這種應(yīng)力降低而應(yīng)變增加的現(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化（簡稱為軟化）。該階段應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系：。二頓￡）。3） 卸載規(guī)律如果應(yīng)力沒有超過屈服應(yīng)力，即在彈性階段OC上卸載，應(yīng)力和應(yīng)變遵循原來的加載規(guī)律，沿CBO卸載。在應(yīng)力超過屈服應(yīng)力后，如果在曲線上任一點D處卸載，應(yīng)力與應(yīng)變之間將不再遵循原有的加載曲線規(guī)律，而是沿一條接近平行于OA的直線DO'變化，直到應(yīng)力下降為零，這時應(yīng)變并不為零，即有塑性應(yīng)變產(chǎn)生。如果用OD'表示總應(yīng)變切。'D'表示可以恢復(fù)的彈性應(yīng)變弭OO'表示不能恢復(fù)的塑性應(yīng)變m則有8=8e+￡P(guān) （1-1）即總應(yīng)變等于彈性應(yīng)變加上塑性應(yīng)變。該階段應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系滿足Aa=E安。4） 卸載后重新加載DO'段若在卸載后重新加載，則。一￡曲線基本上仍沿直線O'D變化，直全應(yīng)力超過D點的應(yīng)力之后，才會產(chǎn)生新的塑性變形。由此看來，在經(jīng)過前次塑性變形后，屈服應(yīng)力提高了，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變強化（簡稱為硬化）現(xiàn)象。為了與初始屈服相區(qū)別，我們把繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時材料的再度屈服稱為后繼

屈服，相應(yīng)的屈服點D稱為后繼屈服點，相應(yīng)的應(yīng)力稱為后繼屈服應(yīng)力，并。S，用表示。顯然，由于硬化作用，。S,>。S，而且與。S不同，。s/不是材料常數(shù)，它的大小與塑性變形的大小和歷史有關(guān)。5)卸載全部載荷后反向加載如果在完全卸載后施加相反方向的荷載，譬如由拉伸改為壓縮，則o—e曲線上彈性階段OC段沿曲線OA，變化，有G) )。DO,。，段沿DO'的延長線下降，開始是呈直線關(guān)系，但到達(dá)D〃點后又開始進(jìn)入屈服，此時C'^>C')，即出現(xiàn)反方向的屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為BauschingerS+ S—效應(yīng)。這個效應(yīng)說明材料在某一個方向的硬化將引起反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形之后，就變?yōu)楦飨虍愋?。雖然在多數(shù)情況下為了簡化而忽略Bauschinger效應(yīng)，但對有反復(fù)加載和卸載的情形，必須予以考慮。二.線性彈性體線性彈性體本構(gòu)方程的一般形式在單向應(yīng)力狀態(tài)下，理想彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系很簡單，即bx=EE疽即胡克定律。如果在三維應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力應(yīng)變之間仍然滿足類似的一一對應(yīng)的關(guān)系，則稱這類彈性體為線彈性體。對線彈性體，把單向應(yīng)力狀態(tài)下得胡克定律推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)下。其一般形式為：b=Ce+Ce+Ce+Cy+Cy+Cyx11x12y13z14xy15yz16zxTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b =C e +C e +C e +C y +C y +C yy 21 x 22 y 23 z 24 xy 25 yz 26 zxb =C e +C e +C e +C y +C y +C yz 31 x 32 y 33 z 34 xy 35 yz 36 zxt =c e +c e +c e +c y +C y +C yxy 41 x 42 y 43 z 44 xy 45 yz 46 zxt =C e +C e +C e +C y +C y +C yyz 51 x 52 y 53 z 54 xy 55 yz 56 zx(2-1)(2-2)t=Ce+Ce+Ce+Cy+(2-1)(2-2)zx61x62y63z64xy65yz6zx式(2-1)可簡寫為ij Cijkiki由于應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性，彈性張量具有對稱性：C閩=C網(wǎng)、Ck=Cjiki，從彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的概念出發(fā)，可以證明上述36個常數(shù)中，實際上獨立的彈性常數(shù)只有21個，即C閩="。滿足廣義胡克定律的線彈性體稱為各向異性彈性體，各向異性彈性體是線彈性體的最一般情況。各向同性彈性體的本構(gòu)方程各向同性彈性體在彈性狀態(tài)下，主應(yīng)力方向與主應(yīng)變方向重合容易證明。在主應(yīng)變空間里，由于應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合，各向同性彈性體體內(nèi)任意一點的應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足：b=C￡+C￡+C￡尤11尤12y13zb=C￡+C￡+C￡y21x22y23zTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b=C￡+C￡+C￡ （2-3）z31x32y33z￡對b的影響與￡對b以及￡對b的影響是相同的，即有C=C=C；￡xx yyzz 11 22 33y和￡對b的影響相同，即C=C，同理有C=C和C=C等，則可統(tǒng)一寫為：zx 12 13 21 23 31 32C=C=C=aC=C=C=C=C=C=b （2-4）所以在主應(yīng)變空間里，各向同性彈性體獨立的彈性常數(shù)只有2個。在任意的坐標(biāo)系中，同樣可以證明彈性體獨立的彈性參數(shù)只有2個。彈性應(yīng)變能密度函數(shù)彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要產(chǎn)生變化。根據(jù)熱力學(xué)的觀點，外力所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量。分析彈性體內(nèi)任一有限部分E的外力功和內(nèi)能的變化關(guān)系，設(shè)彈性體內(nèi)取出部分￡的閉合表面為S，它所包圍的體積為V。以SW表示外力由于微小位移增量在取出部分￡上所作的功，SU表示在該微小變形過程中取出部分￡的內(nèi)能增量，SK表示動能增量，SQ表示熱量的變化（表示為功的單位），根據(jù)熱力學(xué)第一定律，則有

6W=0K+6U-6Q (2-5)假設(shè)彈性體的變形過程是絕熱的，即假設(shè)在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得失。再假設(shè)彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中，荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽略不計(這樣的加載過程稱為準(zhǔn)靜態(tài)加載過程)，則根據(jù)上式表示的熱力學(xué)第一定律，外力在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲得的，稱之為彈性變形能或彈性應(yīng)變能。由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來。以X，y，z表示單位體積的外力，X，r，Z表示作用在彈性體內(nèi)取出部分￡表面上單位面積的內(nèi)力。對上述的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，認(rèn)為彈性體在外力作用下始終處于平衡狀態(tài)。外力所做的功W包含兩個部分：一部分是體力X，Y，Z所做的功W1；另一部分是面力X，r，Z所做的功W2，它們分別為嗎頊jXudV=jjj(Xu+Yv+Zw)dV (2-6)TOC\o"1-5"\h\zV Vff-一ff---一 、W^UXudS=明(Xu+Yv+Zw)dS (2-7)S S則：(2-8)(2-9)W=W+吃=BI(Xu+Yv+Zw)dV+皿(Xu+Yv(2-8)(2-9)V外力由于微小位移增量在取出部分￡上所做的功5W表示為:8W=5W+5W=jjjX5udV+UjX5udS1 2VS將平衡微分方程和靜力邊界條件代入上式，利用散度定理可得:

8W=jjj(-b5u)dV+皿(c8u)ldSTOC\o"1-5"\h\zii，ji iijV S(2-10)項(-c8u)dV+皿(c5u),dV頊(2-10)i,ii iij ii,iV S V因為c因為c8e_1——c8(uc ?- ??2 i i，j所以內(nèi)能增量8U為:所以內(nèi)能增量8U為:8U—8W-jjjc8udV-jjjc8￡dV

iji,j ijijVV(2-11)定義函數(shù)U0(8.)，使之滿足((2-12)把它代入(2-11)有:8U-jjjc88dV-jjj^oSEdV-jj』8UdV=8』jjUdV (2-13)ijij 88 ij 0 0V Vij V VU0(8.)表示單位體積的彈性應(yīng)變能，稱之為彈性應(yīng)變能密度函數(shù)(或彈性應(yīng)變比能函)，簡稱應(yīng)變能。對(2-12)取積分，得jU0(8j)dU=j%cd8—U(8)-U(0) (2-14)0 0 0ijij0ij0假如U0(8.)的具體函數(shù)形式能夠確定的話，彈性體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系也就完全確定了。這可表明，彈性應(yīng)變能密度函數(shù)是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式。假設(shè)U0(8i.)對8.有二階以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有式(2-12)可得

(2-15)(2-15)—j=—k-klij式（2-15）為廣義格林公式。(2-16)將式（2-2(2-16)W-Ckiij*-Cjki

kl ij即各向異性彈性體獨立的彈性常數(shù)只有21個。三.屈服條件研究材料的塑性特性時，首先要弄清楚材料什么時候進(jìn)入塑性變形階段，即什么時候達(dá)到屈服。固體在載荷作用下，最初處于彈性狀態(tài)，隨著載荷逐步增加至一定程度使固體內(nèi)應(yīng)力較大的部位出現(xiàn)塑性變形，固體由初始彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)的過程就是初始屈服。需要找到確定材料初始彈性狀態(tài)的界限的準(zhǔn)則，這個準(zhǔn)則就稱為初始屈服條件，簡稱屈服條件。1.屈服函數(shù)與屈服曲面在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，如前面所述的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可知，當(dāng)固體內(nèi)部應(yīng)力達(dá)到初始屈服極限時將產(chǎn)生初始屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，一般屈服條件可以表示為應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、時間t和溫度T的函數(shù)，它可寫成：f（七，七,t,T）=0 （3-1）不考慮時間效應(yīng)和接近常溫的情況下，時間t和溫度T對塑性狀態(tài)沒什么影響，在初始屈服之前，應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)變分量匕可以用應(yīng)力分量。表示，因此屈服條件就僅僅是應(yīng)力分量的函數(shù)了，它可表示為:ijf&）=0 （3-2）ij以應(yīng)力張量的六個分量為坐標(biāo)軸，就建立起一個六維應(yīng)力空間，屈服函數(shù)f9）=0表示應(yīng)力空間中的一個曲面，即屈服曲面（簡稱屈服面）。當(dāng)應(yīng)力點aij ij位于該曲面之內(nèi)時（即f（aj<0），材料處于彈性狀態(tài)；當(dāng)應(yīng)力點位于此曲面上時（即f（a..）=0），材料由初始彈性開始屈服；如果應(yīng)力進(jìn)一步增加，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。假設(shè)：1） 材料是初始各向同性的。屈服函數(shù)與坐標(biāo)的選取無關(guān)，它可寫成應(yīng)力張量不變量的函數(shù)TOC\o"1-5"\h\zf（I1，12,13）=0 （3-3）或?qū)懗芍鲬?yīng)力的函數(shù)f9*2,a3）=0 （3-4）2） 平均應(yīng)力（靜水應(yīng)力）不影響塑性狀態(tài)。屈服函數(shù)只應(yīng)與應(yīng)力偏量的不變量有關(guān)，即f（J2,J3）=0 （3-5）或者寫成只是應(yīng)力偏量主值的函數(shù)f（S],S2,S3）=0 （3-6）這個假設(shè)對金屬材料成立，但對于一些非金屬材料，如混凝土、巖石等則不成立。通過第一個假設(shè)，屈服面由六維空間中的一個超曲面簡化為三維主應(yīng)力空間中的一個曲面；通過第二個假設(shè)，屈服面簡化為一條曲線。在主應(yīng)力空間中，固體一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個矢量0P來描述（圖3-5）,矢量0P可寫為：TOC\o"1-5"\h\zOP=gi+bj+gk （3-7）分解成為偏量部分與球量部分有：OP=Si+Sj+Sk+（bi+bj+bk）=OQ+ON （3-8）12 3 mmm有上述第二個假定，ON與材料的塑性狀態(tài)無關(guān)。從幾何上看ON與氣，”203軸的夾角相等，且正交于過原點的一個平面，這個平面的方程為：b+b+b=0 （3-9）這個平面平均應(yīng)力等于0，習(xí)慣稱之為丸平面。根據(jù)第二個假定，在主應(yīng)力空間中，屈服面必定是一個垂直與兀平面的等截面的柱面，它的母線與矢量ON平行。屈服面是一個等截面的柱面，它在任意垂直與ON的平面上的投影曲線都是一樣的，研究這個柱面的特征，只要研究它在丸平面上的投影曲線即可，這條投影曲線稱為屈服曲線。圖3.5主應(yīng)力空間里的屈服面圖圖3.5主應(yīng)力空間里的屈服面圖3.6刀平面上的屈服曲線W弋廠\偵建林服曲線2.常用屈服條件（1）Tresca屈服條件1864年，法國人Tresca做了一系列的金屬擠壓試驗來研究屈服條件。根據(jù)實驗，他提出假設(shè)：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料發(fā)生屈服。這個條件稱為Tresca屈服條件，也稱為最大剪應(yīng)力條件。t=k （3-10）k是和屈服有關(guān)的材料常數(shù)，可由單向拉伸實驗或純剪切實驗確定。（2）Mises屈服條件Tresca屈服條件在兀平面上的幾何圖形是一個正六邊形，它的六個頂點是由試驗得到的，但是連接這六個點得直線卻是假設(shè)的，而且Tresca正六邊形的角點也給問題的數(shù)學(xué)處理帶來了不便。在1913年，Mises提出采用一個圓來連接Tresca正六邊形的六個頂點可能更加合理，它可以避免由于屈服曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)困難。Mises提出的屈服條件為：J2=C （3-11）其中，C也是和材料性質(zhì)有關(guān)的一個常數(shù)。它可通過實驗確定。若做簡單拉伸實1驗，則材料屈服時有。='Q=。=0,J=3（2=C，所以：1 / 、C=—（2 （3-12）3s若做純剪實驗，則材料屈服時有氣=92=Tsq3=0，J2=T2=C，所以C=T2 （3-13）s對大多數(shù)材料，實驗證明Mises屈服條件比Tresca屈服條件更接近實驗結(jié)果。四.加載條件加載和卸載準(zhǔn)則1.理想塑性材料加載和卸載

由于理想塑性材料的加載面和屈服面總是保持一致，所以，加載函數(shù)和屈服函數(shù)可以統(tǒng)一表示為藝并曠或/（%）二。它們均與塑性變形的大小和加載歷史無關(guān)。于是，在荷載改變的過程中，如果應(yīng)力點保持在屈服面上，即df=0，此時塑性變形可以任意增長，就稱為加載。當(dāng)應(yīng)力點從屈服面上退回屈服面內(nèi)，即df<0，就表示變形狀態(tài)從塑性變?yōu)閺椥?，此時不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載。理想塑性材料的上述加載和卸載準(zhǔn)則，可以用數(shù)學(xué)形式表示為（彈性狀態(tài)）.f6）=8宓=+d%）— =*如=0（加載）/（缶）二。序二/（缶+d缶）-7（㈤）二<0（卸載）2.強化材料加載、卸載力>0即da/z力>0即da/z>0（加載）=0姑,找二0（中性變載）<0即d<y-n<0（卸載）五.塑性本構(gòu)關(guān)系各種描述塑性變形規(guī)律的理論大致可以分為兩大類，即增量理論和全量理論。增量理論建立了塑性狀態(tài)下塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力及應(yīng)力增量之間的關(guān)系，屬于這類理論的主要有：Levy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論。全量理論則建立了塑性狀態(tài)下應(yīng)力全量與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，屬于這類理論的主要有：1924年Hencky提出的不考慮彈性變形和材料強化的理論；1938年Nadai提出的考慮有限變形和材料強化，但總變形中仍不計彈性變形的理論；1943年依留申提出的考慮彈性變形和材料強化的理論。1.增量理論兩個常用的增量理論：Levy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論。a.Levy-Mises理論:Levy在1871年提出假設(shè)，即應(yīng)變張量各分量與相應(yīng)的應(yīng)力偏量各分量成比例（VonMises在1913年又獨立地提出）。數(shù)學(xué)形式表示為:d8d8x=dXSxd8x=dXtyyxd8=dXSd8=dXtyyyzyzd8=dXSd8=dXtzzzxzx（4-1）式中的比例系數(shù)dX取決于質(zhì)點位置和載荷水平。最后可推得d8=07 3d8d8=isii2bi（4-2（4-2）d8=i23其中dsd8=i23，、一 ，、一 ，、3，， ，、—d8 )2+(d8 —d8 )2 +(d8—d8 )2 +— (dy 2+ dy 2+ dy 2)尤y yz z尤2 尤y yz yz（4-3）適用于理想剛塑性材料，即不考慮彈性變形b.Prandtl-Reuss理論：1924年，Prandtl將Levy-Mises關(guān)系式推廣應(yīng)用于塑性平面應(yīng)變的問題，他

考慮了塑性狀態(tài)的總應(yīng)變中的彈性應(yīng)變部分，認(rèn)為彈性應(yīng)變服從廣義胡克定律，并假定