試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁天津市和平區(qū)部分校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知向量，，則A． B． C． D．2．如圖所示，在中，D為AB的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．某市通過統(tǒng)計50個大型社區(qū)產(chǎn)生的日均垃圾量，繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：，，，，，，.為了鼓勵率先實施垃圾分類回收，將日均垃圾量不少于14噸的社區(qū)劃定為試點(diǎn)社區(qū)，則這樣的試點(diǎn)社區(qū)個數(shù)是（

）.A．4 B．10 C．19 D．404．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則等于A． B． C．或 D．或5．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，則6．已知正方體的棱長為2，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．4 D．67．若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值等于（

）A．0或2 B．2或 C． D．28．若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．非等邊的等腰三角形 D．等腰直角三角形9．在中，，，，若，則實數(shù)A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)______.11．若向量，則與平行的單位向量是________．12．已知向量，，且，則的坐標(biāo)是___________.13．甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為，乙同學(xué)一次投籃命中的概率為，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲?乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率是___________.14．如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為______.15．是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則最大邊c的取值范圍是____________．評卷人得分三、解答題16．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，．(1)求a的長；(2)求的面積．17．已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．（?。┤粲帽硎緲颖军c(diǎn)“抽取的2名同學(xué)為A和B”試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ⅱ）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．18．天津市某中學(xué)高三年級有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測試，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求第四個小矩形的高，并估計本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)；(2)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的近似值（保留1位小數(shù)）；(3)估計這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分．19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【詳解】因為，所以=（5，7），故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.2．B【解析】【分析】由為的中點(diǎn)，可得，再利用三角形法則求解．【詳解】解：在中，為的中點(diǎn)，，故選：B．3．B【解析】【分析】求出日均垃圾量不少于14噸的頻率和，用50乘以頻率和，即可選出正確答案.【詳解】解：日均垃圾量不少于14噸的組為和，頻率和為，則個，故選:B.4．D【解析】【詳解】由正弦定理得或，選D.5．C【解析】【分析】在中，與相交或平行；在中，與相交或平行；在中，由線面垂直的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理得；在中，或n在平面內(nèi).【詳解】若，，則或γ與β相交，排除；若，，，則與平行或相交，排除；若，，則或n在平面內(nèi)，排除.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中平面與平面的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握判斷兩平面平行和直線與平面平行的方法.6．B【解析】【分析】如圖三棱錐是由正方體截去四個小三棱錐，從而可得答案.【詳解】如圖三棱錐是由正方體截去四個小三棱錐又所以故選：B7．C【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義計算得解.【詳解】因為是純虛數(shù)，所以，解得；故選：C.8．B【解析】【分析】化簡，結(jié)合余弦定理可得，再利用正余弦定理對化簡可得，從而可判斷出的形狀【詳解】由，得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正余弦定理得，化簡得，所以，所以為等邊三角形，故選：B9．D【解析】將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.10．【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，由此可得出.【詳解】，因此，.故答案為：.11．或【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)，可得，計算即可得出與平行的單位向量的坐標(biāo).【詳解】因為，所以，則與平行的單位向量的坐標(biāo)是：或，故答案為：或.12．或【解析】【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)，由，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示得出，由，得出，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得出，即可求出和，從而求得的坐標(biāo).【詳解】解：由題可知，，可設(shè)，則，由于，且，則，即：，即：，解得：或，所以的坐標(biāo)是：或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的模和向量垂直的坐標(biāo)表示，考查計算能力.13．【解析】【分析】考慮兩個人都不命中的概率，從而可求至少有一個人命中的概率.【詳解】兩個都不命中的概率為，故至少有一人命中的概率是，故答案為：.14．【解析】【分析】作出直觀圖，結(jié)合斜二測畫法概率計算【詳解】如圖，，到軸的距離為．故答案為：．15．【解析】【分析】由題意可得，由余弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】因為是鈍角三角形，最大邊為，所以角為鈍角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因為，所以，所以最大邊的取值范圍是：，故答案為：.16．(1)3(2)【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得，然后結(jié)合余弦定理可求，.（2）先求得，再利用三角形的面積公式即可求解．(1)由結(jié)合正弦定理得，即，因為，，由余弦定理可得，，解得，，，(2)，則的面積．17．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合人數(shù)的比值求解即可；（2）（?。┯深}意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種．（ⅱ）由題意結(jié)合（?。┲械慕Y(jié)果和古典概型計算公式求解即可(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)（ⅰ）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為共21種．（ⅱ）由（?。?，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．18．(1)0.028；700.(2)126.7(3)126.2【解析】【分析】（1）設(shè)第四個小矩形的高為a，由各矩形的面積之和為1求解；然后再得到數(shù)學(xué)成績不低于120分的概率，進(jìn)而得到其人數(shù)；（2）設(shè)中位數(shù)為x，利用中位數(shù)的公式求解；（3）利用平均數(shù)公式求解.(1)解：設(shè)第四個小矩形的高為a，則，解得，則在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的概率為：，所以在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)為；(2)設(shè)中位數(shù)為x，則，解得；(3)這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為：.19．（I）見解析；（II）見解析；（III）.【解析】【分析】（I）連接，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果；（II）取棱的中點(diǎn)，連接，依題意，得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果；（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果.【詳解】（I）證明：連接，易知，，又由，故，又因為平面，平面，所以平面.（II