軸對稱柱面鏡成像的物像關系

在生活中，一些常見的物理現象需要很難解釋。例如，酒店大廳中的磚縫是在不銹鋼上形成的，這是所有人可以看到的幾何光學現象。然而，從統(tǒng)計學上講，垂直觀察者的方向到圓柱形的方向上的直線是什么？這一問題在現有的光學教材中是找不到具體答案的。經過進一步的分析，我們知道這是一個非近軸柱面鏡成像問題，包括高階方程的解決方案。作者提出了這樣一個問題的解決方案，給出了圓柱面和拋物面的物像關系方法，并采用了數值模擬方法。計算機繪制了直方面的直線和圓形成像的關系圖。確定柱面成像中的物像關系有多種方法,下面僅以斜率法為例.將各反射點看作是與該點切面重合的平面鏡上的一點,然后根據反射定律,以及物、像關于平面鏡對稱的特點確定像點位置.1般物像關系取柱的軸向為z軸,設xOy平面與柱面的截線方程為y=f(x),物點、反射點、觀察者、像點的坐標分別是S(x,y),P(x0,y0),M(mx,my),S′(x′,y′),則入射光線、反射光線的斜率分別為k1=y-y0x-x0?k2=y0-myx0-mx,鏡面上反射點處的切線斜率k=dydxx=x0,如圖1所示.由光的反射規(guī)律可知,入射光線、反射光線與P點切線的夾角相等,即k-k11+kk1=k2-k1+kk2,將k1、k2的表示式代入其中并整理,可得到物點與反射點的坐標關系式y(tǒng)20-x20+k2-12k[-2x0y0+(x+mx)y0+(y+my)x0-(myx+mxy)]+(x+mx)x0-(y+my)y0+(myy-mxx)=0(1)由于M(mx,my)是定點,且y0=f(x0)?k=dydxx=x0=k(x0),因此對任意的物點都可以求出反射點的坐標(x0,y0).在圖1中,α=arctank?0≤α≤π.SΡ=√(x-x0)2+(y-y0)2,由于物點、像點關于P點的切線對稱,故有S′Ρ=SΡ?x′=x0+S′Ρ?cosα?y′=y0+ˉS′Ρ?sinα.對于xOy平面內的入射光線,像點S′與物點S等高.因此,像點的坐標可以記作:x′=x0+SP·cosα,y′=y0+SP·sinα,z′=z(2)這就是柱面鏡成像的一般物像關系.2用數值計算方法求解高階方程對圓柱型鏡面,沿圓心與觀察點連線方向取x軸,如圖2所示,設觀察點為M(L,0),反射點P的法線與x軸正向的夾角為β.將x0=Rcosβ?y0=Rsinβ?k=dydxx=x0=-x0y0=-cotβ?mx=L?my=0代入式(1),即得(2xsinβ+RLy)cosβ=-2ysin2β+(1+1Lx)Rsinβ+y令f=sinβ(0≤f≤1)并整理上式,則有f4+bf3+cf2+df+e=0(3)其中:b=-Ryx2+y2?c=(x+L)2+y24(x2+y2)(RL)2-1d=Ry(1-x/L)2(x2+y2)?e=1-(R/L)24(x2+y2)y2方程(3)的解析解比較復雜,我們可以運用數值計算方法求解此高階方程,令F=f4+bf3+cf2+df+e,編寫一個簡單的C語言程序,用計算機可以非?？旖莸厍蟪鯢→0時方程的f值.考慮到鏡面成像的特點,程序中對物點坐標S(x,y)的取值范圍是有一定要求的.由于柱面鏡具有對稱性,這里只給出第一象限物點的取值條件:過M(L,0)點作圓的切線l,求出切點坐標N(m,n),對應的切線方程為yl=R√L2-R2(L-xl).當x≤m時,y≥R√L2-R2(L-x);當x>m時,y＞√R2-x2.求出對應于入射點的β值(f=sinβ)之后,由x0=Rcosβ?y0=Rsinβ?tanγ=y0L-x0?S′Ρ=SΡ=√(x-x0)2+(y-y0)2,由圖2很容易求出像點坐標.圖3是用計算機繪制出的直線、圓的成像圖,鏡面上方是下邊物線所成的像,其結果與實際觀察一致.由此可知,垂直于觀察者到圓柱方向的直線在柱面中的像不是二次方拋物線.3x.4py+table所含對拋物柱面,以z方向為軸,垂直于軸的平面與鏡面的截線方程設為x2=2py,觀察點在M(0,-L)處,將y0=x202p?k=dydxx=x0=x0p代入式(1),可得3x50-2(x+mx)x40-2p(y+my)x30+[4p(mxy+myx)-2p2(x+mx)]x20+4p2[p(y+my)-(myy-mxx)]x0-4p3(myy+mxy)=0(4)取p=1,代入mx=0,my=-L,則有3x50-2x·x40-2(y-L)x30-2(2L+1)x·x20+4(y-L+Ly)x0+4L