立體幾何中的外接內(nèi)切球如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球。有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點?？疾閷W(xué)生的空間想象能力及歸納能力。研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識。并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作業(yè)。本專題主要討論補形法和軸截面法。補形法：情況一：若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.情況二：若出現(xiàn)對邊相等，一般也是構(gòu)造長方體，再利用。此類題重點要找出三邊。例1：已知點A、B、C、D在同一個球面上，則外接球的體積是______。解析：如圖，易得，，，則此球內(nèi)接長方體三條棱長為AB、BC、CD（CD的對邊與CD等長），從而球外接圓的直徑為，即.例2.如圖，已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于___________。解析：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體體積計算問題。其關(guān)鍵是找出球心，從而確定球的半徑。由題意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜邊。所以DC邊的中點就是球心（到D、A、C、B四點距離相等），所以球的半徑就是線段DC長度的一半。例3.在正三棱錐中，、分別是棱、的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．解析：正三棱錐對棱互相垂直，即，又SB∥MN，且，∴，從而.∴，以為頂點，將三棱錐補成一個正方體，故球的直徑，即，∴。例4.在四面體中,,則四面體的外接球的表面積為________________.【答案】解析:構(gòu)造一個長方體,使得它的三條面對角線分別為4、5、6,設(shè)長方體的三條邊分別為,則,而長方體的外接球就是四面體的外接球,所以練習(xí)題：1.一個三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3，則這個三棱錐的外接球的表面積為（）A、16πB、32πC、36πD、64π答案：A2.在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為（）3.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，如果此三棱錐外接球的表面積為9π，那么PA?PB+PA?PC+PB?PC的最大值為（）A.B.C.9D.18軸截面法：A． B． C． D．4．球的表面積與它的內(nèi)接正方體的全面積之比為（）A． B． C． D．15．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（）A．2π B．4π C．8π D．16π6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1A． B． C． D．7．已知三棱錐P－ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱錐外接球的表面積為S＝9π，則實數(shù)aA．1 B．2 C.eq\r(2) D.eq\f(1,2)8．半徑為5eq\r(2)的球面上有三個點A，B，C，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，經(jīng)過這3個點作截面，那么球心到截面的距離為()A．4 B．4eq\r(2) C．5 D．99．已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為()A．16π B．8π C．4π D．2π10．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：1．如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于．2．已知點A、B、C在球心為O的球面上，△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝eq\r(3)，球心O到截面ABC的距離為eq\r(2)，則該球的表面積為________．3．過正四面體外接球球心的平面截正四面體所得截面如圖所示，圖中三角形面積為2eq\r(2)，則正四面體棱長為____________．4．給出下列命題：①一個球與棱長為eq\r(2)的正方體的所有棱都相切，則此球的體積為eq\f(4π,3)；②若eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))(eq\f(1＋a＋…＋an－1,1－a))＝2，則實數(shù)a＝1＋eq\f(\r(2),2)；③已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，則方程f(x)＝0在(1，2)內(nèi)必有實根；④圓(x－2)2＋y2＝2外的點M對該圓的視角為90°時，則點M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4.其中正確的命題序號是______．5．過半徑為2的球O表面上一點A，作球O的截面，若OA與該截面所成的角為30°，則該截面的面積為________．6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長AB＝6，側(cè)棱長AA1＝2eq\r(7)，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷：(1)PE長的最大值是9；(2)三棱錐P－EBC體積的最大值是eq\f(32,3)；(3)存在過點E的平面，截球O的截面面積是8π；(4)三棱錐P－AEC1體積的最大值是20.正確的是________．7．已知球面上有S