圓柱殼方程的奇性解

圖1中所示的圓形殼體廣泛應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)。對(duì)于t-r較低的情況，可以通過(guò)薄殼理論獲得分析公式。圓柱薄殼的定解方程是用中面法向位移un或者切面內(nèi)力的Airy應(yīng)力函數(shù)ue001φ表示的八階偏微分方程,由于殼中幾何量與力學(xué)量之間滿足靜力-幾何比擬關(guān)系,un與ue001φ滿足的方程形式相同,因此這兩個(gè)方程可以化為復(fù)位移-應(yīng)力函數(shù)χ(ξ?φ)=un+i4μ2EΤRφ表示的四階偏微分方程(?4+?2-4μ2iο2οξ2)χ=16μ4[R2qnEΤ-?α?2(11-νRΘ0+iR24μ2ΤΘ1)].(1)式中:ξ=x/R,φ是圓柱殼的量綱1主坐標(biāo)系,4μ2=[12(1-ν2)]1/2R/T,qn為法向分布面力,?α為熱膨脹系數(shù)。假設(shè)圓柱殼的溫度Θ(ξ,φ,ζ)沿厚度線性分布,即表示為Θ0(ξ,φ)+ζΘ1(ξ,φ)。方程(1)稱為Morley方程,它具有薄殼理論本身的精度O(T/R)。通常將其一般解分解為一個(gè)特解疊加對(duì)應(yīng)的齊次方程通解,由于方程左端項(xiàng)的四階偏微分算子無(wú)法分解,在量綱1極坐標(biāo)系(α=√ξ2+φ2?β=arctan(φ/ξ))中很難求得通解。當(dāng)α(或φ)很小時(shí),方程(1)可簡(jiǎn)化為Donnell扁殼方程,其齊次形式為(?4-4μ2iο2οξ2)χ=(?2+2μ√iοοξ)(?2-2μ√iοοξ)χ=0.(2)式中:?2=ο2οξ2+ο2οφ2=ο2οα2+οαοα+ο2α2οβ2。Donnell扁殼方程易于求解,但只適用于αR～√RΤ時(shí),且只具有Ο(√Τ/R)量級(jí)的精度。Lekkerkerker、錢令希等得到了方程(2)的通解,但不包含集中載荷作用下的解;Flügge、Doré、Sanders、鐘萬(wàn)勰和Jahanshahi等用不同方法得到了在坐標(biāo)原點(diǎn)有集中力或點(diǎn)熱載荷作用下扁殼方程的奇異解。由于數(shù)學(xué)上的困難,精確的圓柱殼方程(1)的極坐標(biāo)解,至今沒有得到。關(guān)于圓柱殼受分布面載荷作用下的特解,對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的閉合圓柱殼,Bijlaard給出了在中部矩形區(qū)域受線性分布的法向面載荷作用時(shí)主坐標(biāo)系中圓柱殼Timoshenko方程的雙三角級(jí)數(shù)解。但是當(dāng)載荷作用區(qū)域很小或者載荷分布函數(shù)不充分光滑時(shí),這種三角級(jí)數(shù)解很難收斂或者不收斂。為解決扁殼方程的局限性及Morley方程不易求解的問(wèn)題,張丕辛等對(duì)Morley方程提出修正:Lχ=(?4+?2+14-4μ2iο2οξ2)χ=L1L2χ=(?2+12+2μ√iοοξ)?(?2+12-2μ√iοοξ)χ=0.(3)并證明該方程保持了O(T/R)量級(jí)的精度。式中L為4階偏微分算子,L=L1L2?L1=?2+12+2μ√iοοξ?L2=?2+12-2μ√iοοξ。文將極坐標(biāo)系中方程(3)的解展開為關(guān)于β的Fourier級(jí)數(shù),其解集為Bessel函數(shù)、Hankel函數(shù)與三角函數(shù)的乘積,但是這個(gè)解集不完備,缺少奇異解。薛明德、黃克智等將文的解進(jìn)一步發(fā)展并成功地將其應(yīng)用于圓柱殼大開孔接管問(wèn)題,分別得到了內(nèi)壓、主殼受力矩以及受支管力矩作用下的解,解的范圍可擴(kuò)大至開孔率0.8,其中,在支管載荷作用下取雙三角級(jí)數(shù)解作為主殼方程的一個(gè)特解。當(dāng)開孔率很小時(shí)雙三角級(jí)數(shù)解收斂困難,解精度較差。本文的目的就是尋求修正的Morley方程(3)的奇異解,可替換雙三角級(jí)數(shù)特解,尤其是小開孔時(shí)效果顯著。1變異解的生成文中給出的分別滿足L1χ1=0和L2χ2=0的兩族線性無(wú)關(guān)的解集為:(χ1)n=e-μξ√iΗn(ηα)einβ?(χ2)n=eμξ√iΗn(ηα)einβ?n=0?±1?±2???±∞.(4)其中:Hn(x)為n階的第二類Hankel函數(shù),η=(1/2-iμ2)1/2。在原點(diǎn)(0,0)處,(χi)n(i=1,2)→∞。可以證明,若沿繞原點(diǎn)的某一閉合曲線(如:α=α0)切割圓柱殼,由式(4)得到圓柱殼的相應(yīng)各內(nèi)力分量在孔邊緣的合力,除Fx以外都為零。因此此解集不能包含在原點(diǎn)o處等效作用除Fx外的集中載荷的解。本節(jié)首先以文所給解集為基礎(chǔ),構(gòu)造方程(3)的兩個(gè)奇異解χ*1、χ*2,過(guò)程如下。假設(shè)可以找到C2類函數(shù)χ*1滿足L1χ*1=0且L2χ*1=(χ1)0,則由L1(χ1)0=0可知Lχ*1=L1L2χ*1=0是滿足方程(3)的一個(gè)特解,而χ*1可以由下列方法構(gòu)造:(L2-L1)χ*1=-4μ√iοχ*1οξ=(x1)0.(5)由(χ1)0的表達(dá)式及第二類Hankel函數(shù)的漸進(jìn)展開式Η0(z)=1-i2π(lnz2+γ)+Ο(z2ln|z|)?(6a)Η0(z)=(2πz)12e-i[z-π4](1+Ο((z)-2))?(6b)可知積分∫ξ0(χ1)0(σ?φ)dσ存在,故χ*1=-14μ√i∫ξ0(χ1)0(σ?φ)dσ+f(φ).(7)代入L1χ*1=0,可得d2f(φ)dφ2+12f(φ)=L1f(φ)=[14μ√iο(χ1)0(ξ?φ)οξ+12(χ1)0(ξ?φ)]|ξ=0.(8)根據(jù)常微分方程常數(shù)變易方法可以構(gòu)造方程(8)的特解如下:f(φ)=∫φ01-√2i[e√1/2(t-φ)i-e-√1/2(t-φ)i]=[14μ√iο(χ1)0(ξ,t)οξ+12(χ1)0(ξ,t)]|ξ=0dt.(9)按同樣的方法對(duì)(χ2)0,構(gòu)造特解χ*2,將(χ1)0、(χ2)0的表達(dá)式代入有:χ*1=-14μ√i∫ξ0Η0(ηρ)e-μσ√idσ+f1(φ)?(10a)χ*2=14μ√i∫ξ0Η0(ηρ)eμσ√idσ+f2(φ).(10b)式中:f1(φ)=f2(φ)=-√24∫φ0sin((t-φ)/√2)Η0(η|t|)dt?ρ=√σ2+φ2.2偏微分方程基本解的證明集中載荷作用下圓柱殼的解應(yīng)滿足:1)應(yīng)力場(chǎng)在原點(diǎn)奇異;2)應(yīng)力場(chǎng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有限。令χ*=i4(χ*1+χ*2)=√i16μ∫ξ0Η0(ηρ)(eμ√iσ-e-μ√iσ)dσ+i2f1(φ)?(11)它仍然是修正的Morley方程(1)的解。由第二種Hankel函數(shù)的漸近表達(dá)式(6a,b),可知χ*滿足在原點(diǎn)奇異和無(wú)窮遠(yuǎn)處有限這兩個(gè)條件。本節(jié)將基于Schwartz廣義函數(shù)理論證明,將式(11)代入方程(3)左端,可得到δ函數(shù)。先給出χ*在原點(diǎn)附近的漸近展開式:χ*=14π∫ξ0[π2i+ln(ηρ2)+γ]σdσ+14π∫φ0(φ-t)[π2i+ln(η|t|2)+γ]dt+Ο(α3lnα).(12)求上式中的積分得到χ*=χ*0(ξ?φ)+Ο(α3lnα)?(13a)其中:χ*0=18πα2lnα-116((1-2γ)ξ2+(3-2γ)φ2-iπα2).(13b)顯然,χ*0的表達(dá)式中第一項(xiàng)反映了圓平板在集中力作用下的撓度。因而可知解χ*物理上與圓柱殼圓點(diǎn)受法向集中力的解對(duì)應(yīng),下面本文基于偏微分方程理論對(duì)此從數(shù)學(xué)上加以證明。下面證明χ*是偏微分方程Lχ=0的基本解,即在廣義函數(shù)弱偏導(dǎo)數(shù)的意義下滿足Lχ*=δ(0,0)。利用在二維域上定義的具有緊支集的C∞類函數(shù)Φ(Φ∈D(R2))作為泛函的自變函數(shù),χ*的廣義函數(shù)弱偏導(dǎo)數(shù)意義下的偏微分運(yùn)算Lχ*按如下泛函定義:(Lχ*)Φ=?R2χ*LΦ(ξ?φ)dA?Φ∈D(R2).(14)根據(jù)式(13a,b)及Φ在二維域上具有緊支集,存在包含原點(diǎn)的有界閉集ΩΦ,在域ΩΦ外部(含ΩΦ的邊界)Φ≡0。因此?R2χ2LΦ(ξ?φ)dA=?ΩΦχ*LΦ(ξ?φ)dA=limε→0?ΩΦ\d(ε)χ*LΦ(ξ?φ)dA.(15)上式中d(ε)={(ξ,φ):α=√ξ2+φ2≤ε}且d(ε)?ΩΦ。又根據(jù)χ*在域Ω=R2(0,0)}內(nèi)為齊次方程(3)的解,有?ΩΦ\d(ε)Φ(Lχ*)dA=0.(16)應(yīng)用Green公式將域ΩΦ\d(ε)上的面積分?ΩΦ\d(ε)[Φ(Lχ*)-χ*(LΦ)]dA化為邊界上的曲線積分,得到?ΩΦ\d(ε)Φ(Lχ*)dA-?ΩΦ\d(ε)χ*(LΦ)dA=∮α=ε?2Φοχ*οnds+∮α=ε{Φ[ο(?2χ*)οn+(οχ*οn)-4μ2iοχ*οξnξ]}ds-∮α=ε[?2χ*οΦοn+χ*ο(?2Φ)οn+χ*οΦοn-4μ2iχ*οΦοξnξ]ds.(17)將式(16)代入上式左端,并對(duì)右端積分項(xiàng)利用中值定理可知上式中:οχ*οξ=i16μ(eμξi-e-μξi)Η0(ηα)?(19a)οχ*οφ=i16μ∫0ξοΗ0(ηρ)οφ(eμiσ-e-μiσ)dσ+i4∫0φcos((t-φ)/2)Η0(η|t|)dt?(19b)?2χ*=-12χ*+i8(eμξi+e-μξi)Η0(ηα).(19c)考慮到Hankel函數(shù)在原點(diǎn)處的漸近展開式(11a),有:limα→0(αοχ*οα)=limα→0(αοχ*οξ)=limα→0(α?2χ*)=limα→0(αχ*)=0?(20a)limα→0(αο(?2χ*)οα)=limα→0(i8αοοα[(eμξi+e-μξi)Η0(ηα)])=12π.(20b)將式(19)、(20)代入式(18),得到?R2χ*LΦdA=limε→0?ΩΦ\d(ε)χ*LΦ(ξ?φ)dA=Φ(0?0)=δ(0?0)Φ.(21)將上式代回式(14),有Lχ*=δ(0,0)。證得χ*為四階偏微分算子L的基本解。因此,圓柱殼在原點(diǎn)作用法向集中力P,即qn(ξ,φ)=Pδ(0,0)/R2,集中溫升Θ0(x,y)=Θ*0δ(0,0)/R2以及集中溫度矩Θ1(x,y)=Θ*1δ(0,0)/R2的解依次為:χqn*=16μ4ΡEΤχ*?(22a)χΤ0*=-16α?μ41-νΘ0*?2χ*?(22b)χΤ1*=-16α?μ4iRΤ4μ2Θ1*?2χ*.(22c)3量綱應(yīng)力所采用的計(jì)算用有限元法驗(yàn)證了本文提出的圓柱殼的奇異解。計(jì)算模型為兩端簡(jiǎn)支的圓柱殼中部受法向集中力,殼的徑厚比D/T=200,長(zhǎng)度2L=10R。有限元計(jì)算采用ANSYS軟件中的八結(jié)點(diǎn)平面殼元,網(wǎng)格圖見圖2。本文理論解與有限元解的比較見圖3、4,圖中量綱1應(yīng)力所采用的基本應(yīng)力為σ0=PL/(2πR2T)。顯示在集中力作用區(qū)域附近,理論解與有限元解能夠吻合。4變分迭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