第二章工業(yè)機器人運動學連桿坐標系固聯關節(jié)齊次坐標系正解反解機器人實際上可認為是由一系列關節(jié)連接起來的連桿所組成。我們把坐標系固連在機器人的每一個連桿關節(jié)上，可以用齊次變換來描述這些坐標系之間的相對位置和方向。齊次變換具有較直觀的幾何意義，而且可描述各桿件之間的關系，所以常用于解決運動學問題。已知關節(jié)運動學參數，求出手部運動學參數是工業(yè)機器人正向運動學問題的求解；反之，是工業(yè)機器人逆向運動學問題的求解。

機器人運動學主要是把機器人相對于固定參考系的運動作為時間的函數進行分析研究，而不考慮引起這些運動的力和力矩。就是要把機器人的空間位移解析地表示為時間的函數，特別是要研究關節(jié)變量空間和機器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)之間的關系。運動學就涉及到機器人空間位移作為時間函數的解析說明，特別是機器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關節(jié)變量空間之間的關系。

機器人的運動學可用一個開環(huán)關節(jié)鏈來建模，此鏈由數個剛體(桿件)以驅動器驅動的轉動或移動關節(jié)串聯而成。開環(huán)關節(jié)鏈的一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝著工具，用以操作物體或完成裝配作業(yè)。關節(jié)的相對運動導致桿件的運動，使手定位于所需的方位上。在很多機器人應用問題中，人們感興趣的是操作機末端執(zhí)行器相對于固定參考坐標系的空間描述。

1)對一給定的機器人，已知桿件幾何參數和關節(jié)角矢量求機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的位置和姿態(tài)。

2)已知機器人桿件的幾何參數，給定機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(tài)(位姿)，機器人能否使其末端執(zhí)行器達到這個預期的位姿?如能達到，那么機器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件?直角坐標式圓柱坐標式球坐標式1234561234561955年Denavit和Hartenberg提出了一種采用矩陣代數的系統(tǒng)而廣義的方法，來描述機器人手臂桿件相對于固定參考坐標系的空間幾何。這種方法使用4×4齊次變換矩陣來描述兩個相鄰的機械剛性構件間的空間關系，把正向運動學問題簡化為尋求等價的4×4齊次變換矩陣，此矩陣把手部坐標系的空間位移與參考坐標系聯系起來。并且該矩陣還可用于推導手臂運動的動力學方程。而逆向運動學問題可采用幾種方法來求解。最常用的是矩陣代數、迭代或幾何方法。必須建立機器人各連桿之間，機器人與周圍環(huán)境之間的運動關系，用于描述機器人的操作。要規(guī)定各種坐標系來描述機器人與環(huán)境的相對位姿關系。

{B}代表基坐標系，{T}是工具系，{S}是工作站系，{G}是目標系，它們之間的位姿關系可用相應的齊次變換來描述。

在選定的直角坐標系{A},空間任一點P的位置可用3×1的位置矢量AP表示。2.1齊次坐標及對象物的描述一、點的位置描述

如用四個數組成(4×1)列陣二、齊次坐標表示三維空間直角坐標系{A}中點p，則列陣[pxpypz1]T稱為三維空間點p的齊次坐標。

齊次坐標的表示不唯一：

i、j、k分別是直角坐標系中x、y、Z坐標軸的單位向量。若用齊次坐標來描述x、y、z軸的方向，則三、坐標軸方向的描述規(guī)定：(4×1)列陣[abco]T中第四個元素為零，且a2+b2+c2=1，則表示某軸(某矢量)的方向；

(4x1)列陣[abcw]T中第四個元素不為零，則表示空間某點的位置。

圖中矢量ν的方向用(4×1)列陣可表達為：

矢量ν坐落的點O為坐標原點，可用方向用(4×1)列陣可表達為：例：用齊次坐標寫出下圖矢量u、v、w的方向列陣：矢量u:cosα=0,cosβ=0.7071067,cosγ=0.7071067

u=[00.70710670.70710670]T

矢量u:cosα=0.7071067,cosβ=0,cosγ=0.7071067u=[0.707106700.70710670]T

矢量u:cosα=0.5,cosβ=0.5,cosγ=0.7071067u=[0.50.50.70710670]T

動坐標系位姿的描述就是對動坐標系原點位置的描述以及對動坐標系各坐標軸方向的描述：四、動坐標系位姿的描述1、剛體位置和姿態(tài)的描述機器人的一個連桿可以看成一個剛體。若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空間的姿態(tài)，則這個剛體在空間上是完全確定的。剛體Q在固定坐標系OXYZ中的位置可用齊次坐標形式的一個(4×1)列陣表示為：剛體的姿態(tài)可由動坐標系的坐標軸方向來表示。令n、o、a分別為X′、y′、z′坐標軸的單位方向矢量，每個單位方向矢量在固定坐標系上的分量為動坐標系各坐標軸的方向余弦，用齊次坐標形式的(4×1)列陣分別表示為：剛體的位姿可用下面(4×4)矩陣來描述：對剛體Q位姿的描述就是對固連于剛體Q的坐標系O`X`Y`Z`位姿的描述。例：固連于剛體的坐標系{B}位于OB點，xb=10，yb=5，zb=0。ZB軸與畫面垂直，坐標系{B}相對固定坐標系{A}有一個30o的偏轉，試寫出表示剛體位姿的坐標系{B)的(4×4)矩陣表達式：XB

的方向矩陣：n=[cos30ocos60ocos90o0]T

=[0.8660.5000.0000]TYB

的方向矩陣：o=[cos120ocos30ocos90o0]T

=[-0.5000.8660.0000]TZB

的方向矩陣：α=[cos90ocos90ocos0o0]T

=[0.0000.0001.0000]T坐標系的位置列陣：p=[10.05.00.01]T坐標系{B}的(4×4)矩陣表達式為：機器人手部的位置和姿態(tài)也可以用固連于手部的坐標系{B}的位姿來表示2、手部位置和姿態(tài)的表示關節(jié)軸為ZB，ZB軸的單位方向矢量α稱為接近矢量，指向朝外。二手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量0稱為姿態(tài)矢量，指向可任意選定。

XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法向矢量，且n=o×α。手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p，手部的方向矢量為n、o、α。于是手部的位姿可用(4×4)矩陣表示為：例：手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達該手部位姿的矩陣式。因為物體Q形心與手部坐標系0`X`y`z`的坐標原點0’相重合，所以手部位置的(4x1)列陣為：手部坐標系X`軸方向可用單位矢量n來表示：

Y`軸與Z`軸的方向可分別用單位矢量o和α來表示：手部位姿可用矩陣表達為：

剛體的運動是由轉動和平移組成的。為了能用同一矩陣表示轉動和平移，有必要引入(4×4)的齊次坐標變換矩陣。2.2齊次坐標及換算一、平移的齊次變換例：動坐標系{A}相對于固定坐標系的X。、y。、z。軸作(一1，2，2)平移后到{A`}；動坐標系{A}相對于自身坐標系(即動系)的X、y、Z軸分別作(一1，2，2)平移到{A``}。寫出坐標系{A`}{A``}的矩陣表達式動坐標系{A}的兩個平移坐標變換算子均為{A`}坐標系是動系{A}沿固定坐標系作平移變換得來的，因此算子左乘{A`}的矩陣表達式為{A″}坐標系是動系{A}沿自身坐標系作平移變換得來的，因此算子右乘，{A″}的矩陣表達式為:

空間某一點A，坐標為(x，y，z)，當它繞z軸旋轉θ角后至A′點，坐標為(z′y′z′),A′點和A點的坐標關系:二、旋轉的齊次變換A`點和A點的齊次坐標分別為[z`y`z`1]T和[xyz1]T，因此A點的旋轉齊次變換過程為:也可簡寫為:點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉θ角的情況kx,ky,kz,分別為k矢量在固定參考系坐標軸x、y、z上的三個分量，且：kx2+ky2+kz2=1其中:當kx=1，即ky=kz=0時當ky=1，即kx=kz=0時當kz=1，即kx=ky=0時若給出某個旋轉齊次變換矩陣:與平移變換一樣，旋轉變換算子一般旋轉變換算子不僅僅適用于點的旋轉變換，而且也適用于坐標系的旋轉變換計算。若相對于固定坐標系進行變換，則算子左乘；若相對于動坐標系進行變換，則算子右乘。例：已知坐標系中點U的齊次坐標u=[7321]T，將此點繞Z軸旋轉90。，再繞y軸旋轉90o，求旋轉變換后所得的點W。例：單臂操作手，并且手腕也具有一個旋轉自由度。手部起始位姿矩陣已知。若手臂繞Zo軸旋轉+90o，則手部到達G2；若手臂不動，僅手部繞手腕Z1軸旋轉+90o，則手部到達G3。寫出手部坐標系{G2}及{G3}的矩陣表達式。手臂繞定軸轉動是相對于固定坐標系作旋轉變換:手部繞手腕軸旋轉是相對于動坐標系作旋轉變換:

平移變換和旋轉變換可以組合在一個齊次變換中三、平移加旋轉的齊次變換點W若還要作4i一3j+7k的平移，只要左乘上平移變換算子，即可得到最后E點的列陣表達式:平移加旋轉的齊次變換也稱為復合齊次變換或一般齊次變換，它并不限定平移變換或旋轉變換的次數或先后次序。在運算時規(guī)則同前，凡相對固定坐標系進行變換則算子左乘，凡相對動坐標系進行變換則算子右乘。上面以點為例作平移和旋轉的一般齊次變換，當然同樣適用于坐標系的一般齊次變換。機器人運動學的重點是研究手部的位姿和運動，而手部位姿是與機器人各桿件的尺寸、運動副類型及桿間的相互關系直接相關聯的。因此在研究手部相對于機座的幾何關系時，首先必須分析兩相鄰桿件的相互關系，即建立桿件坐標系。2.3工業(yè)機器人連桿參數及其齊次變換矩陣一、連桿參數及連桿坐標系的建立連桿兩端有關節(jié)n和n+1。該