高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加法，.故選：A2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為則（）A.18 B.21 C.39 D.42【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為所以，故選：C3.如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為，記次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)方差的計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】解：伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，因?yàn)槌霈F(xiàn)“成功”的概率為，所以，因?yàn)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，所以.故選：.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.5.某學(xué)校對(duì)高二學(xué)生是否喜歡閱讀進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡閱讀不喜歡閱讀總計(jì)男學(xué)生302050女學(xué)生401050總計(jì)7030100根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列對(duì)該校高二學(xué)生的說法正確的是（）P（x2≥k）k2072A.沒有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，再與臨界值表對(duì)照，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：A.因?yàn)椋杂?5%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，所以沒有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，不能認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋栽诜稿e(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”，故D正確；故選：D6.若的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用求出，然后再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，則展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D.7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，，則（）A.64 B.62 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到，，，，相加得到答案.【詳解】，，則，，，.故.故選：B8.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，從而得到新函數(shù)的單調(diào)性，然后再對(duì)要求的不等式變形，變成“”的形式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“”，從而解得答案.【詳解】因?yàn)槎x在上，所以中的式子要有意義，需滿足，解得.因?yàn)?，所以，即，設(shè)函數(shù)，則在定義域上單調(diào)遞減.要求，則當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，解得或，所以；當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，當(dāng)時(shí)，有，顯然成立；綜上，的解集為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)r越小，說明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱B.若P（B|A）=P（B），且P（B）>0，則事件A，B相互獨(dú)立C.回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，且至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)D.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線性回歸直線的相關(guān)知識(shí)可判斷選項(xiàng)A，C，D；利用相互獨(dú)立事件的概念即可判斷選項(xiàng)B.【詳解】線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)镻（B|A）=P（B），且P（B）>0，所以事件A，B相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確；回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)，當(dāng)不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；殘差平方和越小的模型，線性回歸模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為或D可能有四個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)的圖象，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念和單調(diào)性，逐項(xiàng)判定.【詳解】根據(jù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以A正確；而B錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，或，解得或，所以C正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的圖象與軸最多有三個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.故選：AC11.圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（）A.乙連勝三場(chǎng)的概率是B.C.D.的最大值是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對(duì)照選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】乙連勝三場(chǎng)時(shí)比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5，若比賽局?jǐn)?shù)為3時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為4時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為5時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為，則；；故選項(xiàng)B正確；;故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，所以的最大值是，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.12.給定無(wú)窮數(shù)列，若無(wú)窮數(shù)列滿足:對(duì)任意，都有，則稱與“接近”，則（）A.設(shè)則數(shù)列與“接近”B.設(shè)，，則數(shù)列與“接近”C.設(shè)數(shù)列的前四項(xiàng)為，，，，是一個(gè)與接近的數(shù)列，記集合，則中元素的個(gè)數(shù)為3或4D.已知是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與接近，且在，，，中至少有100個(gè)為正數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算，A錯(cuò)誤，確定得到B正確，計(jì)算的范圍，考慮相等的情況得到C正確，考慮，，和四種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故，故，，，，故可能和相等，和相等，但不能同時(shí)成立，與不相等，故中元素的個(gè)數(shù)為3或4，正確；對(duì)選項(xiàng)D：是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與接近，可得，①若，取，，，則，，，中有200個(gè)正數(shù)，符合題意；②若，取，則，，可得，則，，，中有200個(gè)正數(shù)，符合題意；③若，可令，，滿足，，則，，，中恰有100個(gè)正數(shù)，符合題意；④若，若存在數(shù)列滿足：與接近，即為，，可得，，，，中無(wú)正數(shù)，不符合題意.綜上所述：的范圍是，正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將等差數(shù)列的公差討論四種情況，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.要安排4位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲不能第一個(gè)出場(chǎng)，則不同的安排方法共有____________種.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，由特殊元素優(yōu)先處理，先安排甲，然后其他同學(xué)順序沒有限制，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧撞荒艿谝粋€(gè)出場(chǎng)，則甲可以排在第二，三，四的位置，共3種，剩下3名同學(xué)的排序?yàn)椋圆煌陌才欧椒ü灿蟹N.故答案為:14.已知函數(shù)在取得極值，則_____________【答案】0【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合求參數(shù)a，注意驗(yàn)證是否取得極值.【詳解】，由題意，此時(shí)，故，所以上，上，即上遞減，上遞增，則取得極小值，所以.故答案為：15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足：①?gòu)牡?項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于;②當(dāng)時(shí)，S取得最大值.則____________.（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，數(shù)列的公差，要使當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為取得最大值，則，則滿足條件，故答案為：（答案不唯一）.16.將字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每個(gè)格子各放一個(gè)字母.①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為____________；②若表格中一行字母完全相同的行數(shù)為ξ，則ξ的均值為____________.【答案】①.②.【解析】【分析】運(yùn)用排列中的倍縮法求出9個(gè)字母的排列數(shù)，當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時(shí)，分三列依次討論9個(gè)字母的排列情況，進(jìn)而求出概率；行數(shù)可能取值為0,1,3，進(jìn)而求出分?jǐn)?shù)為1和3的概率，然后通過分布列的性質(zhì)求出行數(shù)為0的概率，最后求出均值.【詳解】當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時(shí)，第一列a，b，c三個(gè)字母全排列，有種方法，第二列剩下的a，b，c三個(gè)字母的排列方法有種，第三列剩下的a，b，c三個(gè)字母的排列方法有種,所以共有種排列方法，9個(gè)字母在的表格中進(jìn)行排列，共有種排列方法，所以所求概率為．由題意知，行數(shù)的可能取值為0,1,3，，，，所以行數(shù)的均值為．故答案為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知曲線在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線經(jīng)過的點(diǎn)列方程求解；（2）求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值然后求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，和極值比較大小，從而得到函數(shù)的值域【小問1詳解】，由題意得.，解得【小問2詳解】由（1）知，令，即，解得或；令，即，解得.所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則的極大值為，極小值為又因?yàn)?，即在上的最大值，最小值分別為.故在上的值域?yàn)?8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系可得，再結(jié)合等差數(shù)列定義證明；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；顯然當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以.當(dāng)n≥2時(shí)，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，，則，可得，所以數(shù)列前n項(xiàng)和為.19.第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.（1）求摸出的球是黑球的概率；（2）若已知摸出的球是黑球，請(qǐng)用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【答案】（1）（2）該球取自乙箱的可能性更大【解析】【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用貝葉斯公式求黑球來(lái)自甲、乙箱的概率，比較它們的大小，即可得結(jié)論.【小問1詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得：.【小問2詳解】該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率該球取自乙箱的概率因?yàn)樗栽撉蛉∽砸蚁涞目赡苄愿?20.已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）已知數(shù)列滿足求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出公比和即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別用累加法和錯(cuò)位相減法求.【小問1詳解】解：因?yàn)槭?，的等差中?xiàng)，所以，所以，解得，所以，所以，由可解得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由題意知，所以………累加得，設(shè)，所以整理得又，所以21.從傳統(tǒng)旅游熱點(diǎn)重現(xiàn)人山人海場(chǎng)面，到新興旅游城市異軍突起；從“特種兵式旅游”出圈，到“味蕾游”興起；從文博演藝一票難求，到國(guó)風(fēng)國(guó)潮熱度不減……2023年“五一”假期旅游市場(chǎng)傳遞出令人振奮的信息.這個(gè)“五一”假期，您在游玩時(shí)的滿意度如何?您對(duì)景區(qū)在“吃住行游購(gòu)?qiáng)省钡确椒矫婷嬗心男┰u(píng)價(jià)和感受?為此，某市文旅局對(duì)市內(nèi)各景區(qū)進(jìn)行了游客滿意度測(cè)評(píng)（滿分100分）.（1）本市一景區(qū)隨機(jī)選取了100名游客的測(cè)評(píng)成績(jī)作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表.成績(jī)[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]頻率01按照分層抽樣的方法，先從樣本測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)赱0，20），[80，100]的游客中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送紀(jì)念品，記這3人中成績(jī)?cè)赱80，100]的人數(shù)為X，求X的分布列及期望；（2）該市文旅局規(guī)定游客滿意度測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)?0分及以上為“好評(píng)”，并分別統(tǒng)計(jì)了該市7個(gè)景區(qū)滿意度測(cè)評(píng)的平均成績(jī)x與“好評(píng)”率y，如下表所示：x32415468748092y根據(jù)數(shù)據(jù)初步判斷，可選用作為回歸方程.（i）求該回歸方程;（ii）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)分析，可以認(rèn)為本市各景區(qū)滿意度測(cè)評(píng)平均成績(jī)x~N（μ，400），其中μ近似為樣本平均數(shù)a，估計(jì)該市景區(qū)“好評(píng)”率不低于的概率為多少?參考公式與數(shù)據(jù)：若，則，線性回歸方程中，若隨機(jī)變量，則【答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知X的取值范圍是{1，2，3}，然后算出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入均值的計(jì)算公式即可求解；（2）（i）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法即可求解方程；（ii）利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】按照分層抽樣的方法，測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)赱0，20）的游客有2人，[80，10