基于分形的《超級畫板》的兩種制作方法

自然界的大多數(shù)圖案都是不規(guī)則的。面對這種不規(guī)則，歐里德幾何和微分方程幾何是無用的。分形幾何作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支,它以不規(guī)則幾何為研究對象,是描述不規(guī)則現(xiàn)象的新的幾何語言,其重要理論和巨大價值在很多學(xué)科領(lǐng)域中得到了具體的體現(xiàn),應(yīng)用也越來越廣泛。美國著名物理學(xué)家惠勒曾說:“在將來,一個人如果不熟悉分形,他就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人?！边@也從一個側(cè)面反映了分形的重要性及具有的科學(xué)價值、文化價值和美學(xué)價值。《超級畫板》是我國自主研發(fā)的一款優(yōu)秀的具有一定智能性的動態(tài)幾何軟件。利用該動態(tài)幾何軟件能形象生動地展示幾何圖形之間的內(nèi)在關(guān)系,使學(xué)生非常直觀地了解分形幾何,能在觀察中進(jìn)行積極的思考,并探索其存在的規(guī)律,從而有助于學(xué)生更好地理解分形幾何,同時對于對學(xué)生的空間思維能力、探索能力、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和提高等都具有積極的促進(jìn)作用。基于此,本文以自然界中常見的雪花為例,利用分形的基本思想方法,借助《超級畫板》談?wù)勓┗ǚ中螆D的兩種制作方法,以期對學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐動手及自主創(chuàng)新意識等方面有所啟示。1分形幾何的特點分形(Fractal)這個詞,是由B.B.Mandelbrot提出來的。其意思是:“不規(guī)則、支離破碎”。分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形狀為研究對象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界中是普遍存在的。因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。與傳統(tǒng)的幾何學(xué)相比,分形幾何有具有以下特點:1)不規(guī)則性。即從整體上看,分形圖形處處不規(guī)則的。2)自相似性。即在不同尺度上,分形圖形具有自相似性。所謂自相似性是指局部與整體具有相似的性質(zhì)。雪花是自然界中常見的一個現(xiàn)象。其局部細(xì)節(jié)是不規(guī)則的,其輪廓是六角形的。當(dāng)然,這只是描述性的。這就象什么叫點,什么叫直線一樣,都沒有嚴(yán)格的定義。雪花圖形的這種特點與分形圖形特性的高度一致性,使得我們可以利用分形理論的思想來繪制雪花圖形。2圖形分形圖的制作分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展與計算機(jī),尤其是計算機(jī)圖形學(xué)發(fā)展密切相關(guān)。分形圖制作也主要是指用計算機(jī)去模擬繪制。計算機(jī)處理數(shù)據(jù)的依據(jù)是程序算法。程序算法都是可構(gòu)造性的。在構(gòu)造的生成圖形算法中,所用的主要思想就是根據(jù)構(gòu)造的作圖規(guī)則重復(fù)構(gòu)造新的圖形,即迭代的思想。因此,分形圖制作的基本思想就是:可構(gòu)造性和可迭代性。可構(gòu)造性,就是根據(jù)要處理圖形的特點,從設(shè)定的條件出發(fā),給出具體的作圖方法。它是分形作圖的前提。可迭代性是分形圖制作的基本思想。在代數(shù)學(xué)上,迭代就是把初值代入已知的公式計算出新值,再把所得新值作為已知值代入公式求得新值,這樣重復(fù)進(jìn)行計算直至滿足一定的條件時終止。在幾何作圖上,則是以已知的點、線作為相應(yīng)的初始條件,根據(jù)設(shè)定的作圖規(guī)則進(jìn)行重復(fù)作圖,直至符合給定的條件(迭代次數(shù))時終止。3雪晶塊的分辨率圖在超級圖的紙上的實現(xiàn)基于上面分析,下面利用《超級畫板》軟件給出兩種雪花分形圖的制作方法。3.1圖1雪晶13.1.1提取系數(shù)首先,從一個簡單的圖形:直線段(源圖形)出發(fā),然后按照一定的生成規(guī)律不斷進(jìn)行變形,最后可以得到VonKock曲線。如果源圖形為一等邊三角形,生成的曲線形狀與雪花類似,此時該曲線又稱為Koch雪花曲線。3.1.2生成分形圖Step1:構(gòu)造圖形生成方法1)單擊【畫筆】工具;任作兩點A,B;2)單擊【選擇】工具;選中A,B兩點,單擊菜單項“作圖|點|線段的定比分點…”,在彈出的對話框,輸入比值:1/2,生成點C;重復(fù)(2),輸入比值:2,生成點D(目的:三等分線段AB);3)單擊【選擇】工具;選中點C,單擊菜單項“變換|指定旋轉(zhuǎn)或放縮中心”;并指定旋轉(zhuǎn)角或放縮倍數(shù)參數(shù)為:PI/3;選中點D,單擊菜單項“變換|旋轉(zhuǎn)對象”,生成點E(目的:是以三等分的中間線段CD為邊,逆時針旋轉(zhuǎn)60度,得到等邊三角形△CDE);如圖1所示。4)為使生成的雪花分形圖形象地顯示為白色,這里,要逐個對選中各點,把畫點的顏色其屬性都設(shè)為白色;Step2:創(chuàng)建宏:保存圖形生成方法便于以后重復(fù)使用1)單擊【選擇】工具,把A、C、D、B、E五點全部選中;單擊菜單項“作圖|宏或迭代|新建宏或迭代…”,彈出“迭代對話框”,如圖2所示。2)在圖2左上方輸入迭代名稱:snow_1;在左下方設(shè)置迭代次數(shù):4;在“新產(chǎn)生對象”及“入口點”列表框中,依次雙擊點A、點C、點C、點E、點E、點D、點D、點B,將其增加到“迭代點”列表框(迭代的入口是有兩個點組成的,所以迭代的入口點須成對出現(xiàn),這里增加了四個入口點,按照指定作圖次序每兩個點組成一個迭代入口);設(shè)置完成,單擊【確定】按鈕退出。Step3:應(yīng)用宏生成雪花分形圖1)新建一個文檔,作任意點A和點B;以點A為中心,點B為旋轉(zhuǎn)對象逆時針旋轉(zhuǎn)60度,生成點C(其中每條邊將作為生成圖形的初始入口);2)選中點A、點C,單擊“作圖|宏或迭代|snow_1”命令后,就會生成一個曲線圖;同樣的方法,選中點C、點B和點B、點A,依次分別執(zhí)行“作圖|宏或迭代|snow_1”菜單命令,就生成了Koch雪花分形圖,最后通過菜單項“查看|背景顏色”將背景設(shè)為黑色即可,如圖3所示。3.2圖2雪平方圖3.2.1生成等分點首先,從一直線段(源圖形)出發(fā),其中一端點繞另一端點旋轉(zhuǎn)一周,并生成6個等分點;然后按照一定的生成規(guī)律不斷生成新圓的6等分點,最后可以得一個類似的雪花曲線。3.2.2g2、[3]及其他構(gòu)造Step1:構(gòu)造圖形生成方法1)單擊【畫筆】工具;任作兩點A,B;2)單擊【選擇】工具;選中A點,單擊菜單項“變換|指定旋轉(zhuǎn)中心”將點A設(shè)為旋轉(zhuǎn)中心;單擊菜單項“變換|指定旋轉(zhuǎn)角或放縮倍數(shù)參數(shù)”將旋轉(zhuǎn)角度設(shè)為PI/3;之后,選中點B,再單擊菜單項“變換|旋轉(zhuǎn)幾何對象”命令,生成點C;3)重復(fù)步驟(2)依次進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到點D、點E、點F、點G((2)、(3)兩步的目的是得到圓的六等分點);4)依次作線段AB、AC、AD、AE、AF、AG定比分點,其比值為2;如圖4所示;5)為使生成的雪花分形圖顯示為白色,須逐個把各點顏色屬性設(shè)為白色;Step2:創(chuàng)建宏,保存圖形生成方法便于以后重復(fù)使用1)單擊【選擇】工具,把圖4中的13點全部選中;然后單擊菜單項“作圖|宏或迭代|新建宏或迭代…”,彈出“迭代對話框”,如圖5所示。2)在圖5左上方輸入迭代名稱:snow_2;在左下方設(shè)置迭代次數(shù):3;在“新產(chǎn)生對象”及“入口點”列表框中,依次雙擊點B、點H、點C、點I、點D、點J、點E、點K、點F、點L、點G、點M,將其增加到“迭代點”列表框(迭代的入口仍然是有兩個點組成,所以迭代的入口點須成對出現(xiàn),這里增加了六個入口點,按照指定作圖次序每兩個點組成一個迭代入口);設(shè)置完成后,單擊【確定】按鈕退出。Step3:應(yīng)用宏生成雪花分形圖1)新建一個文檔,作任意兩點A、點B(作為生成圖形的初始入口);2)選中點A、點B,單擊“作圖|宏或迭代|snow_2”命令后,就會生成一個類似雪花狀的分形圖;3)單擊“查看|背景顏色”菜單命令,將背景設(shè)為黑色就得到雪花曲線圖6。4生成三種分形圖雪花分形圖的兩種實現(xiàn)方法,實質(zhì)上都是轉(zhuǎn)化為簡單的迭代作圖問題,其過程可分為兩個步驟:1)從假定的源圖形出發(fā),給出生成圖形的規(guī)則。這一步就類似代數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)公式。2)選擇合適的初始幾何對象(如點、線等),然后,利用1)中的生成圖形的方法,重復(fù)給定的迭代次數(shù),就