2.3直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)給定的直線方程、圓的方程,通過(guò)幾何法或代數(shù)法能夠判定直線與圓的位置關(guān)系,提高邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究知識(shí)探究問(wèn)題:如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系呢?提示:轉(zhuǎn)化為它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解,利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷.位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

個(gè)

個(gè)

個(gè)判斷方法幾何法:設(shè)圓心到直線的距離為

.

.

.代數(shù)法:由方程組消元得到一元二次方程,可得方程的判別式Δ

.

.

.1.直線與圓的位置關(guān)系210d<rd=rd>rΔ>0Δ=0Δ<02.圓的切線問(wèn)題如圖,直線l與圓C相切,切點(diǎn)為P,半徑為r.則:①CP⊥l;②點(diǎn)C到直線l的距離d=|CP|=

;③切點(diǎn)P在直線l上,也在

.r圓上(2)代數(shù)法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系[例1](2021·天津西青區(qū)期末)直線2x-y+2=0與圓C:(x-1)2+(y-2)2=4的位置關(guān)系為(

)A.相交且直線過(guò)圓心B.相切C.相離D.相交且直線不過(guò)圓心方法總結(jié)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.(3)直線系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn),可通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系.探究點(diǎn)二圓的切線問(wèn)題[例2](2021·江蘇通州高二期中)已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,2),B(-1,4),且

.

在①經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-1,0);②與x軸有公共點(diǎn),半徑為2;③被直線y=2平分這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中,并加以解答.(1)求圓M的方程;[例2](2021·江蘇通州高二期中)已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,2),B(-1,4),且

.

在①經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-1,0);②與x軸有公共點(diǎn),半徑為2;③被直線y=2平分這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中,并加以解答.(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,6)的直線l與圓M相切,求直線l的方程.方法總結(jié)②如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=x0.(2)點(diǎn)(x0,y0)在圓外.①設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程(組),可求得k,也就得切線方程.②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí),另一個(gè)方程應(yīng)為x=x0,因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r.③過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條.[針對(duì)訓(xùn)練](2021·福建三明高二期中)已知以點(diǎn)C(-1,1)為圓心的圓與直線m:3x+4y+4=0相切.(1)求圓C的方程;[針對(duì)訓(xùn)練](2021·福建三明高二期中)已知以點(diǎn)C(-1,1)為圓心的圓與直線m:3x+4y+4=0相切.(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,3)作圓C的切線,求切線方程.探究點(diǎn)三圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)求直線l的方程;(2)若直線l與圓x2+y2=9相交于點(diǎn)P,Q,求弦PQ的長(zhǎng).方法總結(jié)(1)求直線與圓的弦長(zhǎng)的三種方法:代數(shù)法、幾何法及弦長(zhǎng)公式.(2)利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí),應(yīng)注意斜率不存在的情況.當(dāng)堂檢測(cè)BADCD備用例題[例1]已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦長(zhǎng)為4,則實(shí)數(shù)a的值是(

)A.-2 B.-4 C.-6 D.-8[例4](2021·江蘇江都高二期中)已知圓C的圓心在直線2x-y=0上,且與y軸相切于點(diǎn)(0,2).(1)求圓C的方程;解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r,因?yàn)閳A心C在直線2x-y=0上,所以2a=b.又圓C與y軸相切于點(diǎn)(0,2),所以b=2,r=|a-0|,所以圓C的圓心坐