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第03講解一元一次不等式組

知識點一：一元一次不等式組的概念

由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組

知識點二：一元一次不等式組的解法

1．分別求出不等式組中各個不等式的解集；

2．利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集

3.不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類型（設a>b）（重難點）

不等式組圖示解集

（同大取大）

（同小取?。?/p>

（大小交叉取中間）

無解（大小分離解為空）

知識點三：一元一次不等式組的整數(shù)解

知識點四：一元一次不等式組含參數(shù)問題

【題型1：一元一次不等式組的定義】

【典例1】

（2022豐順縣校級開學）

1．下列不等式組為一元一次不等式組的是（）

A．B．

C．D．

【變式1-1】

（春磁縣期末）

2．下列不等式組為一元一次不等式組的是（）

A．B．

C．D．

【變式1-2】

（春平昌縣期末）

3．下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（）

A．B．

C．D．

【變式1-3】

（2023春畢節(jié)市月考）

4．下列是一元一次不等式組的是（）

A．B．C．D．

【題型2：解一元一次不等式組】

【典例2】

（2023建湖縣一模）

5．解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．

【變式2-1】

（2023天寧區(qū)校級模擬）

6．解方程組和不等式組：

(1)；

(2)．

【變式2-2】

（2023淮陰區(qū)一模）

7．解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．

【變式2-3】

（2023春江漢區(qū)校級月考）

8．解不等式組：請按下列步驟完成解答．

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

(4)原不等式組的解集是．

【題型3：一元一次不等式組的整數(shù)解】

【典例3】

（2023濟陽區(qū)一模）

9．解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．

【變式3-1】

（2023鼓樓區(qū)校級模擬）

10．解關于x的不等式組：，并求出它所有整數(shù)解的和．

【變式3-2】

（2023春雁塔區(qū)校級月考）

11．解不等式組．并把解集在數(shù)軸上表示出來，寫出該不等式組的所有整數(shù)解．

【變式3-3】

（2023雁塔區(qū)校級模擬）

12．求不等式組：的最大整數(shù)解．

【題型4：一元一次不等式組的含參數(shù)問題】

【典例4】

（2023饒平縣校級模擬）

13．若關于的不等式組無解，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【變式4-1】

（2022春漳州期末）

14．若不等式組有解，則m的值可以是（）

A．3B．4C．5D．6

【變式4-2】

（2023春錦江區(qū)校級期中）

15．若不等式組無解，則m的取值范圍是．

【典例5】

（2023廬陽區(qū)二模）

16．若不等式組的解集為x＞3，則m的取值范圍．

【變式5】

（2022秋港南區(qū)期末）

17．不等式組的解集是x＞1，則m的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【典例6】

18．已知關于x的不等式組恰有4個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A．﹣1＜a＜﹣B．﹣1≤a≤﹣C．﹣1＜a≤﹣D．﹣1≤a＜﹣

【變式6-1】

（2022秋鄞州區(qū)期末）

19．關于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則a滿足（）

A．B．C．D．

【變式6-2】

（2022秋常德期末）

20．關于x的不等式組有且只有三個整數(shù)解，求a的最大值是．

（2023湘西州）

21．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

（2023眉山）

22．關于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023鄂州）

23．已知不等式組的解集是，則（）

A．0B．C．1D．2023

（2023遂寧）

24．若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023大慶）

25．若關于的不等式組有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為．

（2023北京）

26．解不等式組：．

（2023武漢）

27．解不等式組請按下列步驟完成解答．

(1)解不等式①，得________；

(2)解不等式②，得________；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

(4)原不等式組的解集是________．

（2023春巴彥縣校級期末）

28．若方程組的解，滿足，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023春寶清縣校級期末）

29．不等式組的非負整數(shù)解的個數(shù)是（）

A．1個B．0C．2個D．無數(shù)個

（2023山西模擬）

30．一個不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式組可能是（）

A．B．C．D．

（2023春興義市校級期末）

31．若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023春丹徒區(qū)期末）

32．已知不等式組的解集中共有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023春威海期末）

33．若不等式組有解，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

（2023春涼州區(qū)期末）

34．已知某程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入實數(shù)x”到“結果是否大于95”為一次操作如果該程序進行了兩次操作停止，那么實數(shù)x的取值范圍是

A．B．C．D．

（2022秋寧波期末）

35．對于任意實數(shù)p、q，定義一種運算：，如：，請根據(jù)以上定義解決問題：若關于x的不等式組有2個整數(shù)解，則m的取值范圍為是（）

A．B．C．D．

（2023春宣化區(qū)期末）

36．如圖是測量一顆玻璃球體積的過程：

（1）將300ml的水倒進一個容量為500ml的杯子中；

（2）將四顆相同的玻璃球放入水中，結果水沒有滿；

（3）再加一顆同樣的玻璃球放入水中，結果水滿溢出．

根據(jù)以上過程，推測這樣一顆玻璃球的體積在（）

A．20cm3以上，30cm3以下B．30cm3以上，40cm3以下C．40cm3以上，50cm3以下D．50cm3以上，60cm3以下

（2023郊區(qū)校級模擬）

37．不等式組的解集是x＞1，則m的取值范圍是（）

A．B．C．D．

（2023春霍邱縣期末）

38．關于x的不等式組的解集為x＜2，那么a的取值范圍為（）

A．a(chǎn)＝2B．a(chǎn)＞2C．a(chǎn)＜2D．a(chǎn)≥2

（2023黃岡一模）

39．解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

（2023春石嘴山校級期末）

40．已知方程組中為非正數(shù)，為負數(shù)．

(1)求的取值范圍；

(2)在的取值范圍中，當為何整數(shù)時，不等式的解集為？

（2023春鐵西區(qū)期末）

41．解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

參考答案：

1．A

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義：含有相同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組，逐個判斷即可．

【詳解】解：A、是一元一次不等式組，故本選項符合題意；

B、是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

C、是一元二次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

D、是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，能熟記一元一次不等式組的定義是解此題的關鍵．

2．A

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義：含有相同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組，逐個判斷即可．

【詳解】解：A、是一元一次不等式組，故本選項符合題意；

B、是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

C、是一元二次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

D、是二元一次不等式組，不是一元一次不等式組，故本選項不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，能熟記一元一次不等式組的定義是解此題的關鍵．

3．A

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的概念逐一辨析．

【詳解】A.是一元一次不等式組，故正確；

B.是二元一次不等式組，故不正確；

C.是一元二次不等式組，故不正確；

D.是分式不等式組，故不正確；

故選A．

【點睛】本題考查了對一元一次不等式組概念的理解，深刻理解基本定義是解決這類問題的關鍵．

4．B

【分析】利用一元一次不等式組的定義判斷即可．

【詳解】解：是一元一次不等式組．

故選：B．

【點睛】本題考查一元一次不等式組，掌握一元一次不等式組定義，會根據(jù)定義識別一元一次不等式組是解題關鍵．

5．，數(shù)軸表示見解析

【分析】根據(jù)解不等式組的步驟即可得到正確的解集．

【詳解】解：，

解不等式①，得：，

解不等式②，得：，

則不等式組的解集為，

該不等式組的解集在數(shù)軸上表示為

．

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．

6．(1)

(2)

【分析】（1）用加減消元法即可求解；

（2）先分別解出兩個不等式，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”寫出不等式組的解集即可．

【詳解】（1）解：，

得：，

解得：，

把代入得：，

解得：，

則方程組的解為：；

（2）解：，

由①得：，

由②得：，

則不等式組的解集為：．

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握解二元一次方程組的核心思想為消元，求一元一次不等式組的解集口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”．

7．，數(shù)軸見解析

【分析】分別求出兩個不等式的解集，即可求解．

【詳解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式組的解集為，

把它的解集在數(shù)軸上表示出來如下：

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關鍵．

8．(1)

(2)

(3)見解析

(4)

【分析】（1）先去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可；

（2）先去分母，去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可；

（3）根據(jù)大于折線向右，小于折線向左，有等于用實心點，沒有等于用空心圈，在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集即可；

（4）利用數(shù)軸確定兩個解集的公共部分即可．

【詳解】（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如下：

（4）原不等式組的解集為．

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組是解法，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關鍵．

9．，

【分析】求出每個不等式的解集，找出不等式組的解集，找出整數(shù)解即可．

【詳解】解：

解不等式①得，，

解不等式②得，，

∴不等式組的解集是；

∴不等式組的整數(shù)解是．

【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．

10．不等式組的解集為，所有整數(shù)解的和為

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后寫出范圍內(nèi)的整數(shù)求其和即可．

【詳解】解：，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

所以不等式組的解集為，

所以原不等式組的整數(shù)解是、、0、1，

所以所有整數(shù)解的和為．

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．

11．，數(shù)軸見解析，整數(shù)解為：

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解集，然后確定這個范圍內(nèi)的整數(shù)解即可．

【詳解】解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式組的解集為：；

在數(shù)軸上表示不等式的解集如圖，

∴整數(shù)解為：

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組的基本技能，準確求出每個不等式的解集是解題的根本，將不等式解集表示在數(shù)軸上從而確定不等式組得解集及其整數(shù)解是關鍵．

12．0

【分析】首先解不等式組求得不等式的解集，在解集中確定最大整數(shù)解即可．

【詳解】解：解第一個不等式得：，

解第二個不等式得：，

∴不等式組的正整數(shù)解是：，

則最大整數(shù)解是：0．

【點睛】此題考查的是一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，根據(jù)x的取值范圍，得出x的整數(shù)解是解題關鍵．

13．D

【分析】利用不等式組取解集的方法：大大小小找不到即可得到a的范圍．

【詳解】∵關于的不等式組無解，

∴a-1≥2,

∴a≥3.

故選:D.

【點睛】考查了一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．

14．A

【分析】先求出第一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解可得的取值范圍，由此即可得．

【詳解】解：，

解不等式①得：，

這個不等式組有解，

，

觀察四個選項可知，只有選項A符合，

故選：A．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關鍵．

15．

【分析】求得第一個不等式的解集，借助數(shù)軸即可求得m的取值范圍．

【詳解】解不等式，得x>2

因不等式組無解，把兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來如下：

觀察圖象知，當m≤2時，滿足不等式組無解

故答案為：

【點睛】本題考查了根據(jù)不等式組解的情況確定參數(shù)的取值范圍，借助數(shù)軸數(shù)形結合是關鍵．

16．m≤3

【分析】先將每一個不等式解出，然后根據(jù)不等式的解集是x＞3求出m的范圍．

【詳解】解：解不等式x＋8＜4x1，得：x＞3，

∵不等式組的解集為x＞3，

∴m≤3，

故答案為：m≤3．

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，解題的關鍵是正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則．

17．A

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大并結合不等式組的解集可得答案．

【詳解】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式組的解集為，

，

解得，

故選：A．

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

18．D

【分析】先分別求得每個一元一次不等式的解集，再根據(jù)題意得出2a的取值范圍即可解答．

【詳解】解：解不等式組得：，

∵該不等式組恰有4個整數(shù)解，

∴－2≤2a＜－1，

解得：﹣1≤a＜﹣，

故選：D．

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，得出2a的取值范圍是解答的關鍵．

19．B

【分析】先分別求出每一個不等式的解集，然后根據(jù)口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”并結合不等式組有3個整數(shù)解，得出關于a的不等式求解即可．

【詳解】解：由得：，

由得：，

∵不等式組恰好有3個整數(shù)解，

∴不等式組的整數(shù)解為3、4、5，

∴，解得，

故選：B．

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、不等式組的整數(shù)解等知識點，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關鍵．

20．5

【分析】先解兩個不等式得到，，由于不等式組有解，則，由不等式組有且只有三個整數(shù)解，所以，然后即可得出答案．

【詳解】解：，

解①得，

解②得，，

依題意得不等式組的解集為，

又∵此不等式組有且只有三個整數(shù)解，整數(shù)解只能是，3，4，

∴，

∴a的最大值為5，

故答案為：5．

【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，正確理解題意是解題的關鍵．

21．A

【分析】分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出來即可．

【詳解】解：由，得：；

由，得：；

∴不等式組的解集為：；

在數(shù)軸上表示如下：

故選A．

【點睛】本題考查求不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出解集．解題的關鍵是正確的求出每一個不等式的解集．

22．A

【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個，確定出m的范圍即可．

【詳解】解：，

由②得：，

解集為，

由不等式組的整數(shù)解只有4個，得到整數(shù)解為2，1，0，，

∴，

∴；

故選：A．

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點的理解和掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到是解此題的關鍵．

23．B

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得，再結合已知可得，，然后進行計算可求出，的值，最后代入式子中進行計算即可解答．

【詳解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式組的解集為：，

∵不等式組的解集是，

∴，，

∴，，

∴，

故選：B．

【點睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．

24．D

【分析】分別求出各不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集是求出a的取值范圍即可．

【詳解】解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∵關于的不等式組的解集為，

∴，

故選：D．

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

25．

【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據(jù)不等式組有三個整數(shù)解，確定整數(shù)解，則可以得到一個關于的不等式組求得的范圍．

【詳解】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式組有三個整數(shù)解，

不等式組的整數(shù)解為，0、1，

則，

解得．

故答案為：．

【點睛】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

26．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

【詳解】

解不等式①得：

解不等式②得：

不等式的解集為：

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．

27．(1)

(2)

(3)見解析

(4)

【分析】（1）直接解不等式①即可解答；

（2）直接解不等式①即可解答；

（3）在數(shù)軸上表示出①、②的解集即可；

（3）數(shù)軸上表示的不等式的解集，確定不等式組的解集即可．

【詳解】（1）解：，

．

故答案為：．

（2）解：，

．

故答案為：．

（3）解：把不等式和的解集在數(shù)軸上表示出來：

（4）解：由圖可知原不等式組的解集是．

故答案為：．

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集和在數(shù)軸上表示不等式的解集是解答本題的關鍵．

28．B

【分析】理解清楚題意，運用二元一次方程組的知識，解出k的取值范圍．

【詳解】∵0＜x+y＜1，

觀察方程組可知，上下兩個方程相加可得：4x+4y=k+4，

兩邊都除以4得，x+y=，

所以＞0，

解得k＞-4；

＜1，

解得k＜0．

所以-4＜k＜0．

故選B．

【點睛】當給出兩個未知數(shù)的和的取值范圍時，應仔細觀察找到題中所給式子與它們和的關系，進而求值．

29．C

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而得出答案．

【詳解】解：解不等式3-2x＞0，得：x＜，

解不等式2x-7≤4x+7，得：x≥-7，

則不等式組的解集為-7≤x＜，

∴不等式組的非負整數(shù)解有0、1，共2個，

故選：C．

【點睛】本題考查的是一元一次不等式組整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

30．D

【分析】首先由數(shù)軸得出不等式的解集，然后分別求解不等式和進而判斷即可．

【詳解】由數(shù)軸上不等式組的解集可得，，

解不等式得，，

解不等式得，，

∴則這個不等式組可能是，

故選：D．

【點睛】此題考查了解一元一次不等式組以及在數(shù)軸上的表示，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組的方法．

31．D

【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式組無解得出，再求出a的取值范圍即可．

【詳解】解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得，

∵不等式組無解，

∴，

∴，

故選：D．

【點睛】本題考查解一元一次不等式組和解一元一次不等式，能得出a的不等式是解題的關鍵．

32．A

【分析】根據(jù)不等式組的解集中共有3個整數(shù)解，列出關于a的不等式，求出a的范圍即可．

【詳解】解：∵不等式組的解集中共有3個整數(shù)解，

∴不等式組的整數(shù)解為2、3、4，

∴a的范圍為4≤a＜5，

故選：A．

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得到關于a的不等式是解本題的關鍵．

33．B

【分析】不等式組整理后，利用有解的條件確定出m的范圍即可．

【詳解】不等式組整理得：，

由不等式組有解，得到3m＜3，

解得：m＜1．

故選：B．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．

34．C

【分析】表示出第一次、第二次的輸出結果，再由第二次輸出結果可得出不等式，解出即可．

【詳解】第一次的結果為：，沒有輸出，則，

解得：；

第二次的結果為：，輸出，則，

解得：；

綜上可得：．

故選C．

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)結果是否可以輸出，得出不等式．

35．A

【分析】先根據(jù)已知新運算變形，再求出不等式組的解，根據(jù)已知得出關于m的不等式組，求出m的范圍即可．

【詳解】解：∵，

∴，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式組的解集是，

∵不等式組有2個整數(shù)解，

∴，

解得：，

故選：A．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，能得出關于m的不等式組是解此題的關鍵．

36．C

【詳解】設玻璃球的體積為x，根據(jù)題意可得

不等式