第五章最優(yōu)投資組合選擇《投資學(xué)》本章導(dǎo)讀

現(xiàn)代投資組合理論的核心是測算各類資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益并進(jìn)一步構(gòu)造投資組合，使得構(gòu)建的投資組合在風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)實(shí)現(xiàn)預(yù)期收益最大或者在預(yù)期收益一定時(shí)使得投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。本章的主要內(nèi)容構(gòu)成分為四節(jié)。第一節(jié)為非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。第二節(jié)為資產(chǎn)組合的效率邊界。第三節(jié)為馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型。第四節(jié)介紹資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)與分散化的相關(guān)原理。在學(xué)習(xí)本章之前，同學(xué)們需要具備相關(guān)微積分、線性代數(shù)、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、貨幣銀行學(xué)以及金融工程學(xué)等方面的相關(guān)知識。當(dāng)前，由于受到一系列金融危機(jī)事件的沖擊，如東南亞金融危機(jī)、美國次貸危機(jī)和歐債危機(jī)等，全球范圍內(nèi)的金融市場波動(dòng)加劇，各類投資工具價(jià)格的日間波動(dòng)顯著增大，為投資者的投資決策帶來了困難。在上述環(huán)境下，對金融工具內(nèi)在價(jià)值的準(zhǔn)確評估尤為重要。對投資者而言，投資工具代表著一定時(shí)期內(nèi)獲得未來收入的權(quán)利，投資工具內(nèi)在價(jià)值取決于該工具能夠帶來的未來現(xiàn)金流入、資金時(shí)間價(jià)值以及風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整等因素或者金融市場上與該工具類似的可比價(jià)格，因此，要求我們需要使用經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、財(cái)務(wù)管理、投資學(xué)以及風(fēng)險(xiǎn)管理的基本原理投資工具進(jìn)行估值，這也是本章的主要內(nèi)容。教學(xué)要求掌握系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的特征和區(qū)別明確風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的內(nèi)涵和外延掌握資產(chǎn)組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)的概念和計(jì)算方法掌握效用函數(shù)與效率邊界的概念了解馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型的假設(shè)條件掌握風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合最小方差、夏普比率以及相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法理解多元化分散風(fēng)險(xiǎn)原理目錄CONTENTS1非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)2資產(chǎn)組合的效率邊界3馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型4資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)與分散化第一節(jié)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)與系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)一、非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)二、系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)三、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)一、非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)指引起單項(xiàng)資產(chǎn)收益率變動(dòng)并帶來損失的可能性，這類風(fēng)險(xiǎn)通常由所投資產(chǎn)的發(fā)行企業(yè)或所在行業(yè)的變動(dòng)而引起的。這類風(fēng)險(xiǎn)只影響某項(xiàng)或某幾項(xiàng)資產(chǎn)，而對其他資產(chǎn)沒有影響，比如違約風(fēng)險(xiǎn)、贖回風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等。這類風(fēng)險(xiǎn)可以被規(guī)避，例如投資者可以通過多元化組合來降低甚至消除該類風(fēng)險(xiǎn)。二、系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)指引起市場上所有資產(chǎn)的收益率發(fā)生變動(dòng)并帶來損失的可能性，這類風(fēng)險(xiǎn)通常由整體政治經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素的變動(dòng)而引起的。這類風(fēng)險(xiǎn)一般會(huì)對市場上幾乎所有的資產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生影響，比如通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、匯率風(fēng)險(xiǎn)、政策風(fēng)險(xiǎn)和政治風(fēng)險(xiǎn)等。投資者無法通過資產(chǎn)組合等方式來消除該類風(fēng)險(xiǎn)。三、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

所謂風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是指投資某項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或超額報(bào)酬，即投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率之間的差額。投資者分為風(fēng)險(xiǎn)偏好型、風(fēng)險(xiǎn)中性型、風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，一般而言投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型。對于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者而言，只有當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率比無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率高到一定程度時(shí)才愿意投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。例如國債收益率是4.6%，當(dāng)股票收益率也為4.6%時(shí)，理性的投資者不會(huì)進(jìn)行股票投資，而去購買國債，因?yàn)橥顿Y股票要承擔(dān)更多的風(fēng)險(xiǎn)而只能獲得與購買國債相同的收益。當(dāng)股票收益率高于國債收益率達(dá)到一定程度時(shí)，理性的投資者才有可能投資有風(fēng)險(xiǎn)的股票而不投資國債，例如，國債收益率為4.6%，股票收益率為9.1%，則風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)約為：9.1%-4.6%=4.5%。第二節(jié)資產(chǎn)組合的效率邊界一、資產(chǎn)組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)二、效用函數(shù)與效率邊界一、資產(chǎn)組合的收益率和風(fēng)險(xiǎn)

兩項(xiàng)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合是最簡單的一種資產(chǎn)組合，而這又可以分為以下三種情形：（1）兩項(xiàng)資產(chǎn)均為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；（2）一項(xiàng)資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而另一項(xiàng)資產(chǎn)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；（3）兩項(xiàng)資產(chǎn)均為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。第一種情形最為簡單，事實(shí)上真正無風(fēng)險(xiǎn)的投資品種是不存在的，所謂的無風(fēng)險(xiǎn)只是相對而言的。第二種情形假設(shè)資產(chǎn)組合中的一類資產(chǎn)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),另一類資產(chǎn)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。第三種情形是兩類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合問題。二、效用函數(shù)與效率邊界

在證券市場上，有多種多樣的證券品種，可以構(gòu)成各種不同的投資組合，那么如何對這些組合進(jìn)行評價(jià)并做出有效投資選擇，這是任何一個(gè)投資者進(jìn)行投資時(shí)都會(huì)遇到的難題。在例1中，隨著y取值的變化，資產(chǎn)A,B的配置比例也隨之變化，理論上所有這些配置比例提供了無窮多個(gè)可供投資者選擇的證券投資組合，投資者需要在無窮多的可能中根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好做出最佳投資組合選擇。最優(yōu)投資組合必須滿足以下兩個(gè)條件之一：相同風(fēng)險(xiǎn)水平下的收益最大化；相同收益水平下的風(fēng)險(xiǎn)最小化。所謂可行域指的是所有可供選擇的投資組合的整體，所謂效率邊界指的是可行域中符合最優(yōu)投資組合條件的部分。第三節(jié)馬科維茨資產(chǎn)組合選擇模型一、假設(shè)二、兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的情形三、一般情形一、假設(shè)

Markowitz（1952）在構(gòu)建投資組合時(shí)，提出了一些假設(shè)：第一，投資者是理性的，投資者偏好預(yù)期收益高、厭惡預(yù)期收益方差高。投資者追求既定收益下的風(fēng)險(xiǎn)最小化或者既定風(fēng)險(xiǎn)下的收益最大化，投資者在給出最大預(yù)期收益的證券中分散投資。投資者承擔(dān)較大風(fēng)險(xiǎn)必須給予其一定的收益補(bǔ)償。第二，市場是有效的，投資者所面臨的信息是完全的，證券價(jià)格波動(dòng)能夠充分反映市場信息；多元化的投資組合優(yōu)于非多元化的組合，投資者按照多元化的投資原則來實(shí)現(xiàn)預(yù)期收益的最大化。第三，不同證券之間的收益是相互關(guān)聯(lián)的，以致風(fēng)險(xiǎn)不能被完全消除。一定條件下，隨著證券數(shù)量的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)降低。

二、兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的情形

我們前面已經(jīng)討論過兩類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題，并利用圖5-3詳細(xì)說明了風(fēng)險(xiǎn)和收益率之間的關(guān)系，圖5-3中存在一個(gè)具有最小方差的投資組合。下面我們介紹在構(gòu)造兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合時(shí)，如何計(jì)算最小方差。接例1，有：(5-11)

(5-12)綜合(5-11)和(5-12)，可以得到：(5-13)

二、兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的情形顯然上式在時(shí)最小值約為0.0971。此時(shí)，即兩項(xiàng)資產(chǎn)的配比應(yīng)該是6:1，此時(shí)的投資組合具有最小的風(fēng)險(xiǎn)。綜合公式（5-8）和（5-9）可以得到投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，可以得到如下的比例計(jì)算公式：(5-14)這里假設(shè)資產(chǎn)A、B的收益率和風(fēng)險(xiǎn)都是已知的，現(xiàn)實(shí)中可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來測算得到。二、兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的情形將（5-14）代入（5-9）可以得到：(5-15)其中(5-16)顯然，可以根據(jù)（5-15）求得最小方差以及對應(yīng)的期望收益率，進(jìn)一步可以計(jì)算出每項(xiàng)資產(chǎn)的權(quán)重，從而構(gòu)造出具有最小方差的投資組合。公式（5-16）的計(jì)算結(jié)果與公式（5-13）中的結(jié)果是完全吻合的。三、一般情形下面我們將資產(chǎn)個(gè)數(shù)推廣到更一般的情形，假設(shè)存在n種資產(chǎn)。為構(gòu)造最優(yōu)投資組合，可以借助拉格朗日函數(shù)法，主要是通過引入拉格朗日因子將限制性的約束條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)中的一部分，一般地，可構(gòu)造如下的拉格朗日函數(shù):(5-17)三、一般情形

此時(shí)可以通過引入兩個(gè)拉格朗日因子和，消除（5-17）中的約束條件，得到含有限制性條件的目標(biāo)函數(shù)：(5-18)對目標(biāo)函數(shù)求關(guān)于各種資產(chǎn)權(quán)重和拉格朗日因子的偏導(dǎo)，并令其為0，可得如下的n+2個(gè)一次線性方程組：(5-19)三、一般情形

求解方程組（5-19）可以得到相應(yīng)參數(shù)，進(jìn)一步可以構(gòu)造方差最小的投資組合。理論上，上面求解的過程中可能會(huì)出現(xiàn)權(quán)重為負(fù)的情形，這對應(yīng)著實(shí)際操作中的賣空行為，即在不擁有某種資產(chǎn)的情形下賣出該項(xiàng)資產(chǎn)的行為。而現(xiàn)實(shí)中，賣空行為往往會(huì)受到各種限制，假如賣空行為不被允許，則權(quán)重就必須為非負(fù)的。賣空雖然有價(jià)值發(fā)現(xiàn)、提高流動(dòng)性、對沖風(fēng)險(xiǎn)等優(yōu)點(diǎn)，但是使用不當(dāng)，也可能會(huì)加劇價(jià)格下跌，加大市場風(fēng)險(xiǎn)。假定n=2，方程組（5-19）變?yōu)椋?5-20)三、一般情形

即(5-21)若系數(shù)矩陣可逆，則方程組（5-21）有解?；Q第四節(jié)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)與分散化一、夏普比率二、相關(guān)系數(shù)三、多元化分散風(fēng)險(xiǎn)原理一、夏普比率

一、夏普比率所謂夏普比率指的是單位風(fēng)險(xiǎn)所對應(yīng)的超額收益，即夏普比率=

(5-22)其中，為投資組合的期望收益率，為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率，反映的是風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。資產(chǎn)投資價(jià)值與該資產(chǎn)的夏普比率呈正向關(guān)系，夏普比率的值越大，表明獲得單位收益所需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小；夏普比率的值越小，表明獲得單位收益所需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越大。夏普比率是進(jìn)行資產(chǎn)組合選擇和業(yè)績評估時(shí)可以參考的一個(gè)重要指標(biāo)。二、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差用來衡量兩類資產(chǎn)波動(dòng)性之間的相關(guān)關(guān)系，滿足如下限制關(guān)系式：(5-23)當(dāng)A和B兩類資產(chǎn)是完全正相關(guān)或負(fù)相關(guān)時(shí)，取等號。針對協(xié)方差更多衡量的是變量之間的相關(guān)關(guān)系，并不能充分說明變量之間的相關(guān)程度，有必要介紹相關(guān)系數(shù)的概念，所謂相關(guān)系數(shù)反映的是兩種資產(chǎn)協(xié)方差與這兩種資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差乘積之比，其計(jì)算公式為：(5-24)二、相關(guān)系數(shù)顯然，相關(guān)系數(shù)值的大小對資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)有重大影響。如果一個(gè)資產(chǎn)組合由兩個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成，則該組合的方差可表述為：(5-25)可見如果兩個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重及其各自的方差既定不變，相關(guān)系數(shù)越大，則越大；反之亦反。這表明資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)與資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)呈同向關(guān)系。特別地，當(dāng)時(shí)，通過資產(chǎn)組合無法降低整體風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)時(shí)，通過資產(chǎn)組合的有效配置甚至可以完全消除非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。因此在構(gòu)建投資組合選擇相關(guān)標(biāo)的時(shí)，要具體考察標(biāo)的之間的相關(guān)性程度，以達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)分散的要求。三、多元化分散風(fēng)險(xiǎn)原理

式（5-25）可以用來解釋兩項(xiàng)資產(chǎn)如何通過組合來降低風(fēng)險(xiǎn)，即(5-26)從而得到：(5-27)為了便于理解在一定條件下，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)隨著組合中證券數(shù)量的增加而降低，我們構(gòu)造下面的投資組合：該投資組中各種證券之間不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)為0，投資于每一種證券的金額占整個(gè)投資組合的比重是相等的，假設(shè)組合中每一只證券的標(biāo)準(zhǔn)差均為20%。三、多元化分散風(fēng)險(xiǎn)原理當(dāng)該組合包括2種證券時(shí)，投資組合方差為：當(dāng)該組合包括3種證券時(shí)，投資組合方差為：當(dāng)該組合包括n種證券時(shí)，投資組合方差為：化簡后得到：從式（5-28）可以看出，隨著投資組合中證券數(shù)量的不斷增加，整個(gè)投資組合的方差，即風(fēng)險(xiǎn)在不斷減小，當(dāng)時(shí)，整個(gè)投資組合的方差。本章小結(jié)本章首先介紹了構(gòu)建投資組合時(shí)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)類型，一般分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，其中系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能通過構(gòu)建投資組合予以消除。接著介紹了只含有兩種證券標(biāo)的時(shí)的投資組合的期望收益與方差計(jì)算、如何推導(dǎo)出資本配置線問題。介紹了投資者效用函數(shù)、無差異曲線以及投資組合的效率邊界，其中無差異曲線和效率邊界的切點(diǎn)確定了最優(yōu)投資組合。最后兩節(jié)內(nèi)容介紹了馬科維茨的資產(chǎn)組合模型與投資組合風(fēng)險(xiǎn)分散化原理：馬科維茨資產(chǎn)組合模型的構(gòu)建是建立在一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上的，使得構(gòu)建的投資組合在期望收益一定時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小化或風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)收益最大