環(huán)管流核的寬度及溫度分布

1管流體流體的傳熱規(guī)律在石油行業(yè)，非牛頓流的環(huán)氣管流和傳熱問題經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)。例如石油鉆井下鉆過程中,鉆柱在充滿泥漿的井眼內向下運動時,由于鉆柱底部和接頭處的頂替作用及鉆柱表面的粘附作用,造成泥漿在井眼與鉆柱的環(huán)形空間中向上流動。已進行的研究表明,非牛頓流體管流流動及傳熱規(guī)律的研究較深入。對環(huán)空管流,尤其環(huán)空內溫度分布的研究不多見?；诖?以BINGHAM流體為基礎,從理論上推導并分析非牛頓流體環(huán)空管流流動及傳熱規(guī)律。2建立數(shù)學模型建立如圖1所示的圓柱坐標系。設環(huán)空內徑為R1,外徑為R2.由于BINGHAM流體具有屈服值,故環(huán)空管流流動中會形成流核。設流核的內外徑分別為r1,r2(待求),建立數(shù)學模型前,作如下假設:(1)BINGHAM流體常物性;(2)不考慮運動的慣性,即忽略加速度的影響;(3)環(huán)空軸向足夠長,出入口的影響忽略不計,穩(wěn)定層流流動;(4)壁面無滑移;(5)壁面溫度恒定?；谏厦娴募僭O,速度分量為ur=0,uθ=0,ux=u(r).2.1流動時,各點值設定在較小外力作用下,觀察不到BINGHAM流體流動現(xiàn)象,只有當外力大于某值時,才發(fā)生流動。BINGHAM的本構方程為{˙γ=0τ=τ0+ηB˙γτ≤τ0τ＞τ0(1)式中˙γ為剪切速率,˙γ的表達式為{˙γ=?u?r˙γ=0˙γ=?u?rR1≤r＜r1r1≤r≤r2r2＜r≤R2(2)2.2廣義壓力梯度基于前述假設條件,流動的運動方程為A+1r??r(rτrx)=0(3)式中:A為廣義壓力梯度;A=ρg-?p?x;τrx為剪切應力,根據(jù)BINGHAM流體的本構方程,τrx可表示為τrx=τ0+ηB?u?rR1≤r≤r1(4)τrx=-[τ0+ηB(-?u?r)]r2≤r≤R2(5)2.3程的完整形式文獻給出了柱坐標系下非牛頓流體能量方程的完整形式,這里不再列出。根據(jù)前述假設條件,可將能量方程簡化為λr??r(r?Τ?r)+τrx?u?r=0(6)2.4u3000各ur算法結果根據(jù)前述假設條件,得如下邊界條件:u|r=R1=0(7)u|r=R2=0(8)?u?r|r=r1=0(9)?u?r|r=r2=0(10)T|r=R1=Tw1(11)T|r=R2=Tw2(12)3各區(qū)內速梯區(qū)環(huán)空外側速梯區(qū)根據(jù)式(3),可得τrx=-A2r+C1r(13)式中C1為積分常數(shù)。根據(jù)式(4)、式(5)以及邊界條件式(9)、式(10),可得{r=r1?τrx=τ0r=r2?τrx=-τ0(14)根據(jù)式(13)、式(14),可得{τ0=A2(r2-r1)C1=A2r1r2(15)(16)將式(16)代入式(13),得τrx=-A2(r-r1r2r)(17)速度分布可在3個分區(qū)域(環(huán)空內側速梯區(qū)、流核區(qū)、環(huán)空外側速梯區(qū))求解。(1)環(huán)空內側速梯區(qū)速度分布τ0+ηB?u?r=-A2(r-r1r2r)(18)積分式(18)并利用邊界條件(7),可得環(huán)空內側速梯區(qū)速度分布為u1(r)=-A2ηB[12(r2-R21)-r1r2lnrR1]-τ0ηB(r-R1)(19)(2)在環(huán)形硬帶的外速帶區(qū)，此時為rr對于環(huán)形硬帶的外速帶，速度分布為rrmru2(r)=-A2ηB[12(r2-R22)-r1r2lnrR2]+τ0ηB(r-R2)(20)(3)b求解s1-1r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2r2型數(shù)學模型u1(r1)=u2(r2)=u0(21)式中u0為流核速度。根據(jù)式(19)～式(21)得τ02(r1+r2)-A2r1r2lnr1R2r2R1=A4(R21-R22)+τ0(R1+R2)(22)式(15)和式(22)是關于r1和r2的方程組。顯然方程組是非線性的,需要用數(shù)值的方法求得?，F(xiàn)采用二分法。4溫度分布的解(1)積分λr??r(r?Τ?r)=0(23)對式(23)積分得r?Τ?r=C2(24)對式(24)積分得流核內溫度為T=C2lnr+C3(25)式中C2,C3為待定積分常數(shù)。(2)環(huán)空內側速梯區(qū)溫度分布?u?r=-A2ηB(r-r1r2r)-τ0ηB(26)將式(17)、式(26)代入式(6),得λr??r(r?Τ?r)+A24ηB(r-r1r2r)2+Aτ02ηB(r-r1r2r)=0(27)對式(27)積分并利用式(24)得r?Τ?r=C2+∫ri[-A24ηBλ(r-r1r2r)2r+Aτ02ηBλ(r-r1r2r)r]dr=C2+f1(r)-f1(r1)(28)式中f1(r)=-A24ηBλ(r44+r21r22lnr-r1r2r2)-Aτ02ηBλ(r33-r1r2r)(29)對式(28)繼續(xù)積分并利用式(11),可得環(huán)空內側速梯區(qū)溫度分布為Τ=Τw1+∫rR11r[C2+f1(r)-f1(r1)]dr=Τw1+[C2-f1(r1)]lnrR1+g1(r)-g1(R1)(30)式中g1(r)=-A24ηBλ[r416+r21+r222(lnr)2-r1r22r2]-Aτ02ηBλ(r39-r1r2r)(31)(3)br33-c3r2r2rΤ=Τw2+[C2-f2(r2)]lnrR2+g2(r)-g2(R2)(32)式中f2(r)=-A24ηBλ(r44+r21r22lnr-r1r2r2)+Aτ02ηBλ(r33-r1r2r)(33)g2(r)=-A24ηBλ[r416+r21r222(lnr)2-r1r22r2]+Aτ02ηBλ(r39-r1r2r)(34)顯然,整個環(huán)空溫度分布是連續(xù)的,由此可得Τw1+[C2-f1(r1)]lnr1R1+g1(r1)-g1(R1)=C2lnr1+C3(35)Τw2+[C2-f2(r2)]lnr2R2+g2(r2)-g2(R2)=C2lnr2+C3(36)聯(lián)立式(35)和式(36),可解出C2,C3。將求解出的C2,C3代入溫度分布式可繪出溫度分布圖形。5流核流核安全傳播的數(shù)值結果為便于分析,將參數(shù)無因次化。無因次參數(shù)的表達式如下:無因次幾何尺寸:k=R1R2;λ1=r1R2;λ2=r2R2;ξ=rR2(k為環(huán)空內外徑之比)無因次屈服應力:Ψ=τ0R2A無因次速度:U=ηBR22Au無因次溫度:θ=ηBλR24A2(Τ-Τw)(現(xiàn)考慮環(huán)空內外壁面溫度一致的情況,即Tw1=Tw2=Tw)由式(15)可知,流核寬度(r2-r1)與屈服應力τ0成正比,與廣義壓力梯度A成反比。分析式(15)和式(22),可知λ1,λ2僅是k和Ψ的函數(shù)。表1給出了環(huán)空流核中心線位置的數(shù)值計算結果。從表1可以看出,流核中心線偏離環(huán)空中心線,而且均偏向環(huán)空內側。隨著環(huán)空尺寸的增大,相對偏離更遠。通過數(shù)值計算得到速度分布圖形。其中圖2考察了屈服應力對速度分布的影響;圖3考察了環(huán)空內外徑之比對速度分布的影響。在其他條件不變的情況下,當屈服應力增大時,流核寬度也增大,速度分布剖面愈扁平。隨著環(huán)空內外徑之比減小,流核速度增大。這是因為在其他條件不變的情況下,環(huán)空內外徑之比減小,環(huán)空尺寸相對增大,流動阻力減小,流動速度增大。數(shù)值計算的結果和理論分析完全一致。通過數(shù)值計算得到BINGHAM流體環(huán)空管流流動的溫度分布圖(見圖4)。從圖4可以看出,流核內溫度變化明顯比內外速梯區(qū)小。這是因為在流核內速度一致,剪切速率為零,不存在黏性耗散,只存在因流核內外邊界溫度不同而造成的熱傳導。而且隨著屈服應力的增大,溫度分布剖面變得愈扁平。6環(huán)空流核及流核速度分析結合BINGHAM流體的本構方程,管流運動方程及能量方程,推導了BINGHAM流體環(huán)空管流流流動速度分布及溫度分布。分析得到如下結論:(1)因為屈服應力的存在,環(huán)空流動中