計(jì)及列車隨機(jī)振動(dòng)影響時(shí)受電弓的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析

在動(dòng)態(tài)弓理論和弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面取得了巨大的發(fā)展。本文總結(jié)了1997年以前的主要研究成果。此后,Wu等提出一個(gè)單自由度受電弓模型,并以此研究受電弓的動(dòng)力學(xué)特性以及穩(wěn)定受流界限。張衛(wèi)華等提出了研究弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)的半虛擬半實(shí)物方法,并研究接觸網(wǎng)參數(shù)對(duì)弓網(wǎng)相互作用的影響。韓福景等建立了受電弓系統(tǒng)的多自由度非線性模型,并研究受電弓系統(tǒng)的混沌與分叉。實(shí)際上,列車在運(yùn)行過程中的任何振動(dòng)都會(huì)傳導(dǎo)給列車頂部的受電弓,從而影響弓網(wǎng)系統(tǒng)的相互作用。翟婉明等用數(shù)值仿真方法研究列車振動(dòng)對(duì)弓網(wǎng)相互作用的影響,結(jié)果表明,隨列車速度提高,列車振動(dòng)對(duì)弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響明顯增大。鑒于數(shù)值仿真方法的局限性,該文未對(duì)列車振動(dòng)如何影響弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性作深入研究。近十幾年,朱位秋等建立一套隨機(jī)激勵(lì)、耗散的哈密頓系統(tǒng)理論方法,該理論已在建筑等領(lǐng)域的動(dòng)力學(xué)與控制研究方面得到應(yīng)用,并取得很好效果。本文運(yùn)用隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論,研究計(jì)及列車隨機(jī)振動(dòng)影響時(shí)受電弓的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)。1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1.1接觸網(wǎng)力學(xué)特性圖1為簡(jiǎn)單鏈型接觸網(wǎng)的結(jié)構(gòu)示意圖。將接觸線與承力索視為歐拉梁,將吊弦、定位器以及支撐桿視為質(zhì)量集中的彈簧模型,運(yùn)用有限元方法求得接觸網(wǎng)跨距內(nèi)每個(gè)位置的靜態(tài)剛度。為了應(yīng)用有限元計(jì)算結(jié)果研究受電弓的動(dòng)力學(xué)特性,同時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算,用連續(xù)的等效剛度來代替接觸網(wǎng)的剛度K(t),即Κ(t)=Κ0[1+αcos(2πLVt)〗(1)K(t)=K0[1+αcos(2πLVt)〗(1)式中,K0、α分別為接觸網(wǎng)跨距內(nèi)平均剛度與剛度不均勻系數(shù);L為跨距;V為列車運(yùn)行速度;t為時(shí)間。{Κ0=Κmax+Κmin2α=Κmax-ΚminΚmax+Κmin(2)式中,Kmax、Kmin分別為接觸網(wǎng)跨距內(nèi)最大、最小剛度。在研究受電弓動(dòng)力學(xué)特性時(shí),忽略接觸網(wǎng)的質(zhì)量,將接觸網(wǎng)看作一個(gè)如式(1)所示剛度隨時(shí)間變化的變剛度彈簧,既把握了弓網(wǎng)間接觸力的主要特征,又簡(jiǎn)化了計(jì)算,易于得到受電弓動(dòng)力響應(yīng)的解析解。1.2單自由度受電弓模型受電弓系統(tǒng)包括:弓頭滑板,弓頭框架和上下臂桿等重要部件。在理論計(jì)算中,受電弓系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖2所示的單自由度受電弓模型。圖2中,M為受電弓總質(zhì)量;f為受電弓下臂桿與基座間阻尼器產(chǎn)生的非線性阻尼力;Fl為由升弓彈簧產(chǎn)生的靜抬升力與(或)氣動(dòng)抬升力,當(dāng)列車運(yùn)行速度恒定時(shí),Fl可視為常數(shù);ξ(t)為列車車頂垂向振動(dòng)加速度,對(duì)受電弓構(gòu)成垂向支撐激勵(lì)。1.3垂向振動(dòng)加速度的功率譜密度當(dāng)列車高速運(yùn)行時(shí),列車車體的振動(dòng)會(huì)影響車頂部受電弓與接觸網(wǎng)的受流質(zhì)量。列車車體振動(dòng)具有隨機(jī)性,因此,列車對(duì)受電弓系統(tǒng)的激勵(lì)應(yīng)為隨機(jī)過程,用概率或統(tǒng)計(jì)方法描述。文獻(xiàn)給出不同車速下軌道隨機(jī)不平順引起的列車車體垂向振動(dòng)加速度的功率譜密度。為了便于計(jì)算,將車頂垂向振動(dòng)加速度ξ(t)的功率譜密度用連續(xù)光滑函數(shù)S(ω)來近似S(ω)=σVπ1[(ω/V)2-k20]2+4β2k20(ω/V)2(3)式中,σ、β、k0為取決于軌道和列車的類型及其狀態(tài)的常數(shù)。列車對(duì)受電弓的支撐激勵(lì)可視為具有功率譜密度為S(ω)的隨機(jī)過程,其均值為零。1.4變剛度計(jì)算公式2+x按圖2所示受電弓簡(jiǎn)化模型,可導(dǎo)出受電弓的運(yùn)動(dòng)微分方程為Μd2xdt2+Κ(t)x=f(x,dxdt)+Fl-Μξ(t)(4)式中,x為受電弓的垂直運(yùn)動(dòng)位移;f(x?˙x)為非線性阻尼力,f(x,˙x)=-c˙x2sgn(˙x),參見文獻(xiàn);變剛度K(t)由式(1)確定。式(4)兩邊同除以M,并作變換τ=ωnt,得d2xdτ2+x+αcos(rτ)x=-2ζ(dxdτ)2sgn(dxdτ)+fl-ξ′(τ)(5)式中,r=ω/ωn;ω=2πV/L;ω2n=K0/M;2ζ=c/M;fl=Fl/K0;ξ′(τ)為譜密度為S′(ω)=S(ω)/ω3n的平穩(wěn)隨機(jī)過程。為計(jì)算方便,令x=y+f1,式(5)化為d2ydτ2+2ζ(dydτ)2sgn(dydτ)+y+αycos(rτ)=-αflcos(rτ)-ξ′(τ)(6)可知,受電弓是一個(gè)同時(shí)受平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)與周期激勵(lì)的周期變剛度非線性系統(tǒng)。弓網(wǎng)間接觸壓力Fc為Fc=Κ(t)x=Κ(t)(y+fl)(7)2弓網(wǎng)系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定性目前高速列車的最高速度約為500km/h,則式(6)中參數(shù)r的變化范圍為0.1～1.5。當(dāng)r趨近1.0時(shí),根據(jù)式(6),弓網(wǎng)系統(tǒng)將發(fā)生主共振。因此,本文分主共振情形與非共振情形研究受電弓的隨機(jī)響應(yīng)。2.1受流能力分析式中,Δ為小的解諧參數(shù)。式(6)可改寫為d2ydτ2+r2y=-Δy-2ζ(dydτ)2sgn(dydτ)-αflcos(rτ)-αycos(rτ)-ξ′(τ)(9)引入變換{y(τ)=A(τ)cos(Θ(τ))˙y(τ)=-A(τ)rsin(Θ(τ))Θ(τ)=rτ+Γ(τ)(10)式中,A表示受電弓的振幅;Γ為受電弓振動(dòng)的初始相位;A、Θ和Γ都為隨機(jī)過程。將式(10)代入式(9)并化簡(jiǎn),得到關(guān)于振幅A、相位Γ的微分方程{dAdτ=F1(A,Θ,rτ)+D1(A,Θ)ξ′(τ)dΓdτ=F2(A,Θ,rτ)+D2(A,Θ)ξ′(τ)(11)式中{F1=sinΘr[-2ζA2r2sinΘ|sinΘ|+AαcosΘcosrτ+αflcosrτ+ΔAcosΘ]F2=cosΘr[-2ζAr2sinΘ|sinΘ|+αcosΘcosrτ+αflcosrτA+ΔcosΘ]D1=sinΘrD2=cosΘAr(12)對(duì)式(11)進(jìn)行隨機(jī)平均,可得到平均后的伊藤隨機(jī)微分方程{dA=m1(A,Γ)+ˉσ1(A,Γ)dB(τ)dΓ=m2(A,Γ)+ˉσ2(A,Γ)dB(τ)(13)式中,mi、ˉσi分別為漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)。{m1=-8ζrA23π+12rαflsinΓ+πs′(r)2r2Am2=1.0-r22r+αfl2rAcosΓb1=ˉσ21=πs′(r)r2b2=ˉσ22=πs′(r)r2A2(14)式中,B(τ)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程。平均后的振幅A、相位Γ為二維擴(kuò)散過程,其轉(zhuǎn)移概率密度p=p(a,γ,τ),滿足Fokker-Planck-Kolmogorov方程(FPK)?p?τ=-??a(m1p)-??γ(m2p)+12?2?a2(b1p)+12?2?γ2(b2p)(15)式中,轉(zhuǎn)移概率密度p滿足初始條件p=δ(a-a0)δ(γ-γ0)τ=0(16)邊界條件p=有界?a=0;p→0,?p?a→0,a→∞p(a,γ+2nπ,τ|a0,γ0,τ0)=p(a,γ,τ|a0,γ0,τ0)(17)令?p?τ=0并求解式(15),得到關(guān)于振幅和相位的穩(wěn)態(tài)概率密度p(a,γ),則位移的穩(wěn)態(tài)概率密度p(y)、均值μy及均方值σ2y可表示為{p(y)=∫∞-∞p(a)2πra|a=√y2+r2˙y2/rd˙yμy=∫∞-∞yp(y)dyσ2y=∫∞-∞(y-μy)2p(y)dy(18)式中p(a)=∫2π0p(a,γ)dγ(19)受電弓位移x的穩(wěn)態(tài)概率密度p(x)、均值μx及均方值σ2x可通過將x=y+fl帶入式(18)得到。弓網(wǎng)間接觸壓力Fc是評(píng)價(jià)弓網(wǎng)間受流質(zhì)量的重要指標(biāo),接觸壓力太小會(huì)導(dǎo)致離線。因此,為了得到良好的受流質(zhì)量,Fc應(yīng)滿足{Fc≥FminFmin≥0(20)式中,Fmin為最小允許接觸壓力。則弓網(wǎng)間的穩(wěn)態(tài)離線概率Pcl為Ρcl=∫Ωclp(x)dxΩcl={x|Κ(t)x≤Fmin}(21)顯然,Pcl越小代表受流質(zhì)量越好。2.2受電弓穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及弓網(wǎng)間的穩(wěn)態(tài)離線概率此時(shí),在一次近似中,周期激勵(lì)αcos(rτ)(y+fl)對(duì)受電弓的影響可忽略不計(jì)。因此,式(6)化為d2ydτ2+y=-2ζ(dydτ)2sgn(dydτ)-ξ′(τ)(22)引入變換{y(τ)=A(τ)cos(Θ(τ))˙y(t)=-A(τ)sin(Θ(τ))Θ(τ)=τ+Γ(τ)(23)將式(23)代入式(22),再運(yùn)用隨機(jī)平均法,得到與式(22)相應(yīng)的關(guān)于振幅A的平均伊藤隨機(jī)微分方程dA=ˉm1(A)+=σ1(A)dB(τ)(24)式中ˉm1=-8ζA23π+πs′(1.0)2A=σ21=πs′(1.0)(25)求解與式(24)相應(yīng)的FPK方程,得到在非共振區(qū)受電弓振幅的穩(wěn)態(tài)概率密度p=C0Ae-[(16ζ)/(9πˉb1)]A3(26)式中,C0為歸一化常數(shù)。運(yùn)用式(18)～式(21)得到非共振時(shí)受電弓的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及弓網(wǎng)間的穩(wěn)態(tài)離線概率。為方便計(jì)算,本文選取如下弓網(wǎng)參數(shù):M=20kg,L=50m,C=130N·s/m,K0=4700kN/m,α=0.3,F1=120N,Fmin=0N;便可得到受電弓的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和弓網(wǎng)間的穩(wěn)態(tài)離線概率。圖3顯示了不同車體振動(dòng)強(qiáng)度下受電弓穩(wěn)態(tài)位移概率密度隨速度參數(shù)r的變化情況?？煽闯?在非共振區(qū)域,受電弓在平衡點(diǎn)附近做隨機(jī)運(yùn)動(dòng),但在主共振區(qū)域,受電弓的運(yùn)動(dòng)像一個(gè)擴(kuò)散的極限環(huán)。受電弓位移的穩(wěn)態(tài)均方值與弓網(wǎng)間的穩(wěn)態(tài)離線概率隨速度參數(shù)r的變化分別如圖4和圖5所示。顯然,受電弓位移的穩(wěn)態(tài)均方值與穩(wěn)態(tài)離線概率都隨參數(shù)r的增大而變大,且當(dāng)列車速度接近主共振區(qū)時(shí),弓網(wǎng)間的受流質(zhì)量迅速惡化。圖4、圖5還可看出,弓網(wǎng)間受流質(zhì)量還隨列車振動(dòng)強(qiáng)度的增大而變差。3弓網(wǎng)間穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性分析本文運(yùn)用隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論,研究