./第一章前言眾所周知,極限的存在性問題是極限理論的首要問題.一個數(shù)列是否存在極限不僅與數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān),而且與數(shù)列所在的數(shù)集密切相關(guān).從運(yùn)算的角度來說,實(shí)數(shù)集關(guān)于極限的運(yùn)算是封閉的,它反映了實(shí)數(shù)集的完備性,這是實(shí)數(shù)的優(yōu)點(diǎn).因此,將極限理論建立在實(shí)數(shù)集之上,極限理論就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).我們常常從實(shí)數(shù)系的連續(xù)性出發(fā)證明實(shí)數(shù)系的完備性,也可從實(shí)數(shù)系的完備性出發(fā)去證明實(shí)數(shù)系的連續(xù)性,所以這兩個關(guān)系是等價的.因此,我們也稱實(shí)數(shù)系的連續(xù)性為實(shí)數(shù)系的完備性.數(shù)學(xué)分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程之一,更是高等師學(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)最主要的基礎(chǔ)課程.在數(shù)學(xué)分析教材中,實(shí)數(shù)集的確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理通稱為實(shí)數(shù)的完備性定理,他們各自從不同的角度反映了實(shí)數(shù)的完備性或稱為實(shí)數(shù)的連續(xù)性,成為數(shù)學(xué)理論乃至數(shù)學(xué)分析堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這六個基本定理是相互等價的,也就是說可以相互循環(huán)論證.在我們學(xué)過的玉璉等主編的數(shù)學(xué)分析講義中,實(shí)數(shù)完備性基本定理是從公理出發(fā),首先運(yùn)用公理證明了閉區(qū)間套定理,然后用前一個定理為條件,證明了后一個定理的結(jié)論,它們依次是:確界定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則的充要性,最后再運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則的充要性證明了公理〔作為練習(xí)題.而在本文中把有限覆蓋定理作為出發(fā)點(diǎn),利用反證法和有限覆蓋的思想來分別證明確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則.下面我們就來闡述有限覆蓋的定義和定理的容,為后面的證明做鋪墊.定義設(shè)為數(shù)軸上的點(diǎn)集,為開區(qū)間的集合,〔即的每一個元素都是形如的開區(qū)間,若中任何一點(diǎn)都含在中至少一個開區(qū)間,則稱為的一個開覆蓋,或稱覆蓋.若中開區(qū)間的個數(shù)是無限〔有限的,則稱為的一個無限開覆蓋〔有限開覆蓋.定理〔有限覆蓋定理設(shè)為閉區(qū)間的一個〔無限開覆蓋,則從中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋.第二章有限覆蓋定理證明實(shí)數(shù)完備性的其它定理2.1用有限覆蓋定理證明確界定理本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明確界定理,首先給出確界的定義和定理如下:定義有非空的數(shù)集,如果存在,有下列性質(zhì):〔1對任意,有;〔2對任意,總存在某個數(shù),有,則稱是數(shù)集的上確界,認(rèn)為:.定義非空的數(shù)集,如果存在,有下列性質(zhì):〔1對任意,有;〔2對任意,總存在某個數(shù),有,則稱是數(shù)集的下確界,認(rèn)為:.定理〔確界定理任何非空集,若它有上界,則必有上確界〔等價地若有下界,必有下確界.證明設(shè)有.任取一點(diǎn),考慮閉區(qū)間,假若無上確界〔最小上界,那么:i>當(dāng)為的上界時,必有更小的上界,因而有一開領(lǐng)域,其中皆為的上界;ii>當(dāng)不是的上界時,自然有中的點(diǎn),于是有開領(lǐng)域,其中每點(diǎn)皆不是的上界.上每點(diǎn)都找出一個領(lǐng)域,它要么屬于第一類〔每點(diǎn)為上界,要么屬于第二類〔每點(diǎn)皆不是上界,這些領(lǐng)域,組成閉區(qū)間的一個開覆蓋,由有限覆蓋定理,必存在有限子覆蓋{…},注意,所在的開區(qū)間,應(yīng)為第一類的,相鄰接的開區(qū)間有公共點(diǎn),也應(yīng)為第一類的,經(jīng)過有限次鄰接.可知所在的開區(qū)間也是第一類,這便得出矛盾.從而得證非空集,若它有上界,則必有上確界.同理可證非空集,若它有下界,則必有下確界.2.2用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理,首先給出單調(diào)有界的定義和定理如下:定義若數(shù)列的各項(xiàng)滿足關(guān)系式,則稱為遞增〔遞減數(shù)列.遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定理〔單調(diào)有界定理任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.證明不妨設(shè)為單調(diào)有界數(shù)列,若對,都不是的極限,則對有則在僅含有的有限項(xiàng),令,則是閉區(qū)間的一個開覆蓋,由有限覆蓋定理知:其必存在有限子覆蓋,不妨設(shè)存在…是它的一個子覆蓋,即,而…只含有限個點(diǎn),從而它們的并也只含有限個點(diǎn),從而得出也只含有限個點(diǎn),這與是無限點(diǎn)集矛盾,從而得證任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.2.3用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理,首先給出區(qū)間套的定義和定理如下:定義若閉區(qū)間列具有下列性質(zhì):〔1,n=1,2,3…;〔2則稱這個閉區(qū)間列為閉區(qū)間套,或稱區(qū)間套.定理〔區(qū)間套定理若是一個區(qū)間套,則存在唯一一點(diǎn),使得,n=1,2,3,…或,n=1,2,3,…證明設(shè)為閉區(qū)間套,但對,至少,使,從而,使.現(xiàn)因是的一個開覆蓋,故中有限個開區(qū)間即可完全覆蓋,記為,其中〔=1,2,…,n;.令…,則.于是對,都有,由此得出這與為的開覆蓋條件矛盾,從而假設(shè)不成立,問題得證.2.4用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理,首先給出聚點(diǎn)的定義和定理如下:定義設(shè)是直線上的點(diǎn)集,是一個定點(diǎn)〔它可屬于,也可不屬于.若的任意領(lǐng)域含有的無限多個點(diǎn),則稱為的一個聚點(diǎn).其等價定義:對于點(diǎn)集,若點(diǎn)的任意鄰域都含有的一個異于的點(diǎn)〔即,則稱為的一個聚點(diǎn).定理〔聚點(diǎn)定理直線上的有界無限點(diǎn)集至少有一個聚點(diǎn).證明設(shè)為直線上有界無窮點(diǎn)集,若存在,使中任何點(diǎn)不是的聚點(diǎn),則對每一個,必存在相應(yīng)的,使得在至多含有的有限多個點(diǎn).設(shè),則是的一個開覆蓋,由有限覆蓋定理,中存在有限個開覆蓋〔j=1,2,3,…構(gòu)成的一個開覆蓋,當(dāng)然也覆蓋了.則在中至多含有的有限多個點(diǎn)〔j=1,2,3,….故為有限點(diǎn)集,這與題設(shè)為無限點(diǎn)集相矛盾.于是,至少有一個聚點(diǎn).2.5用有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則本節(jié)主要運(yùn)用有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則,首先給出Cauchy收斂準(zhǔn)則如下:定理〔柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是:對任給的正數(shù),總存在某一個自然數(shù),使得時,都有柯西收斂準(zhǔn)則又叫實(shí)數(shù)完備性定理.柯西收斂準(zhǔn)則〔充分性部分若實(shí)數(shù)列滿足:,,有,則收斂.證明有其中是有界的,設(shè),若對,都不是的極限,則對有則在僅含有的有限項(xiàng),令,則是閉區(qū)間的一個開覆蓋,由有限覆蓋定理知:其必存在有限子覆蓋,不妨設(shè)存在…是它的一個子覆蓋,即,而…只含有限個點(diǎn),從而它們的并也只含有限個點(diǎn),從而得出也只含有限個點(diǎn),這與是無限點(diǎn)集矛盾,從而假設(shè)不成立,問題得證.柯西收斂準(zhǔn)則〔必要性部分若實(shí)數(shù)列收斂,則滿足:,時,有成立.證明設(shè)收斂于,按照收斂的定義,時,有于是.2.6總結(jié)眾所周知,實(shí)數(shù)系的完備性是實(shí)數(shù)的一個重要特征,與之相關(guān)的6個基本定理是彼此等價的,并且是論證其它一些重要定理〔如一致連續(xù)定理等的依據(jù),確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則屬于同一類型,它們都指出,在某一條件下,便有某種"點(diǎn)"存在,而有限覆蓋定理屬于另一種類型,它是其它實(shí)數(shù)完備性定理的逆否形式,不論是前五個定理來分別證明有限覆蓋定理,還是在本文研究的用有限覆蓋定理分別推出前五個定理,都可用反證法完成;同時需要特別強(qiáng)調(diào)的是有理數(shù)集并不具有完備性.參考文獻(xiàn)[1]玉璉等,數(shù)學(xué)分析講義與指導(dǎo)[M],第2版,高等教育,2005.[2]華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析[M],第2版,高等教育,1991.[3]裴禮文編的數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法,第2版,高等教育.[4]紀(jì)修等,數(shù)學(xué)分析[M],第2版,高等教育,2004.[5]裘兆泰、王承國、章仰文編的數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M],科學(xué),2004.致為期近半年的論文寫作即將畫上一個圓滿的句號,在論文寫作的過程中,從論文的選題到確定思路,從資料的搜集、提綱的擬定到容的寫作與修改,繼而諸多觀點(diǎn)的梳理,都得益于我的導(dǎo)師——老師的悉心指導(dǎo)和匠心點(diǎn)撥.論文的點(diǎn)評中總是閃爍著智慧的火花,與她的每次交談我都能從中獲益.她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度,一絲不茍的負(fù)責(zé)精神,以及對學(xué)生孜孜不倦的教誨都給予了我極其深刻的印象,讓我受益匪淺.在此,謹(jǐn)向老師表示我最衷心地感和最誠摯的敬意.同時,也向兩年來所有教授過我和幫助過我的教授老師表示感,感您們對我的諄諄教誨、耐心指導(dǎo)和無私的幫助.感我的同