本文格式為Word版，下載可任意編輯——三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)走進(jìn)高考·數(shù)學(xué)（第1輪）知識(shí)梳理2023年7月

第8章三角函數(shù)

08—01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、點(diǎn)一點(diǎn)——高考目標(biāo)明示

1.通過實(shí)例和利用函數(shù)定義，形成正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念并理解其意義

2.知道一般周期函數(shù)的解析描述和圖像特征，把握正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性、最大值和最小值等性質(zhì).

3.把握正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像，會(huì)用“五點(diǎn)法〞畫正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像.4.類比正弦函數(shù)的研究方法，把握正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像.

二、試一試——高考真題點(diǎn)擊

1．（2023楊浦模擬）“tanx??5π3〞是“x?〞的()

63A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.（2023崇明模擬）設(shè)函數(shù)f(x)?sinx,x?R，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.f(x)的值域?yàn)閇0,1]C.f(x)不是周期函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)D.f(x)不是單調(diào)函數(shù)

3.（2023靜安模擬）若A、B為銳角△ABC的兩內(nèi)角，則點(diǎn)P(sinB?cosA,cosB?sinA)是()

A.第一象限的點(diǎn)B.其次象限的點(diǎn)C.第三象限的點(diǎn)D.第四象限的點(diǎn)

4.（2023崇明模擬）已知函數(shù)f(x)?cos(2x?)（x?R），下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

2A.函數(shù)f(x)的最小正周期為?B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)f(x)在x?

??4

時(shí)，取得最小值

???D.函數(shù)f(x)在區(qū)間?0,?上是減函數(shù)

?2?5.函數(shù)y?tanx?sinx?|tanx?sinx|在區(qū)間???3?,22???上的圖像大致為（）?

26．（2023華師大一附中模擬）已知a?0，且函數(shù)y?1?2sin(ax)的最小正周期為?，則

a?_________.

7.（2023靜安模擬）函數(shù)f(x)?1的定義域?yàn)?

sinx?cosx?18．（2023上海高考）函數(shù)y?sin(?2?x)cos(?6?x)的最大值為.參考答案：1.B2.C3.D4.D5.D6.1

——1——

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7.?xx?R,x?2k?????2?3?,x?2k???,k?Z?8.42?

三、理一理——重要考點(diǎn)梳理

1.正弦、余弦、正切和余切函數(shù)圖像與性質(zhì)：

函數(shù)圖像與性質(zhì)y?sinxy?cosxy?tanxy?cotx圖像定義域RR????xx?k??,k?Z?2??R奇函數(shù)最小正周期T?xx?k?,k?Z?R奇函數(shù)值域奇偶性周期性??1,1?奇函數(shù)最小正周期T?2?????2k??,2k????22?上在???1,1?偶函數(shù)最小正周期T?2?在?2k???,2k??上單調(diào)遞增；在??最小正周期T??單調(diào)性單調(diào)遞增；在?3??上?2k??,2k????22??在?k???,k????上單調(diào)??22??遞增.（k?Z）在?k?,k????上單調(diào)遞減.（k?Z）?2k?,2k????上單調(diào)遞單調(diào)遞減.（k?Z）減.（k?Z）對(duì)稱軸：x?k???；對(duì)稱軸：x?k?；2對(duì)稱中心：對(duì)稱性對(duì)稱中心：?k?，0?.??.?0??k??，2??無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心??k??，0?.（k?Z）?2?（k?Z）x?2k??（k?Z）；.?2,ymax?1x?2k?,ymax?1；x?2k???,ymin??1.最值x?2k???2,ymin??1沒有最大值，也沒有最小值（k?Z）2.“五點(diǎn)法〞畫圖：（k?Z）（1）y?sinx的圖像在?0,2??上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為?0,0?、?

????3??,1?、??,0?、?,?1?、?2??2??2?,0?.

（2）y?cosx的圖像在?0,2??上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為?0,1?、?????3??,0?、??,?1?、?,0?、?2??2?——2——

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?2?,1?.

溫馨點(diǎn)睛：

1.三角函數(shù)的圖像與其性質(zhì)是一個(gè)整體,在研究性質(zhì)時(shí),往往利用它的圖像更加直觀.2.正切函數(shù)y?tanx，x??k??內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù).

3.函數(shù)y?Asin???或y?Acos??x???（A?0，??0）的周期T???x???2,k?????（k?Z）是單調(diào)遞增函數(shù)，但不能說函數(shù)在其定義域2?2??，函數(shù)

y?Atan???（A?0，??0）的周期T???x?.?4.對(duì)于求y?Asin??x???或y?Acos??x???或y?Atan??x???（A?0，??0）的單調(diào)區(qū)間，只需把“?x??（??0）〞視為一個(gè)“整體〞，代入y?sinx或y?cosx或y?tanx相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)A的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間.

四、撥一撥——典例精析與同類變式

例1.（1）求函數(shù)y?lgsin2x?9?x2的定義域；（2）求函數(shù)y?cosx?sinx?x?2?????的最大值與最小值.4?（1）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，被開方數(shù)大于零，再根據(jù)正弦函數(shù)圖像求x的范圍；（2）將余弦化為正弦，再換元處理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的一元二次函數(shù)解決.

???sin2x?0,?k??x?k??,k?Z，??（1）由題意，?229?x?0????3?x?3.??x?3?x?????2或0?x????.2?2?22?15??2,（2）設(shè)sinx?t，x?，則t????.?y?1?sinx?sinx???t???，

4?2?4?22???t?1?5?21?2時(shí)，即x?，ymax?；t??時(shí)，即x??，ymin?.264422(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象

來求解.

(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：

①形如y?asinx?bcosx?c的三角函數(shù)化為y?Asin??x????k的形式，再求最值

(值域)；

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②形如y?asin2x?bsinx?c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx?t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；

③形如y?asinxcosx?b?sinx?cosx??c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx?cosx?t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).

1.（1）求函數(shù)y?lg?2sinx?1???tanx?1的定義域；

?x??cosx????28?（2）求函數(shù)y?sinxcosx?cosx?sinx的最大值和最小值.

參考答案：1.（1）?x2k?????2?x?2k??1?223??，ymin??1,k?Z?（2）ymax?24???例2.（1）已知函數(shù)f?x??sinx?3cosx，函數(shù)y?f?x??????稱，則?的值為_________；

（2）若函數(shù)y?3cosx???的圖像關(guān)于點(diǎn)??2_________.

（1）?f?x??sinx?3cosx?2sin?x????的圖像關(guān)于直線x?0對(duì)

2??4??,0?中心對(duì)稱，那么?的最小值為3??????3??，?f?x????2sin?x????????.3??y?f?x???的圖像關(guān)于直線x?0對(duì)稱，?y?f?x???為偶函數(shù)，

??3????2?k?，k?Z，????6?k?，k?Z.又???2，??=?6.

（2）由題意，3cos?2????4?2?????2??????3cos?2??????3cos?????0，33????3?2???????k??，k?Z，???k??，k?Z，取k?0，?的最小值為.3266正弦、余弦函數(shù)的圖像既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱

圖形，應(yīng)熟記它們的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.（1）已知函數(shù)f?x??asinx?cosx?1，其圖像關(guān)于直線x?

?4

對(duì)稱，則實(shí)數(shù)

a?__________；

（2）已知函數(shù)f?x??cos?x???的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則

??________.

?參考答案：2.（1）1（2）k??，k?Z

2

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例3.已知函數(shù)f?x??log1?sinx?cosx?.

2（1）求f?x?的定義域和值域；（2）求f?x?的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷f?x?的奇偶性；（4）判斷f?x?的周期性，若是周期函數(shù)，求出f?x?的最小正周期.

（1）令對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，求出x的范圍為定義域，根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出值域；

（2）函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性同增異減，外函數(shù)是減函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的遞增

區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)的遞減區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間；

（3）判斷函數(shù)的奇偶性先看定義域，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；（4）根據(jù)函數(shù)最小正周期的定義，求出周期．（1）由題意，sinx?cosx?0，即2sin?x???????2k??x??2k???，k?Z，，?0?44??5???f?x?的定義域?yàn)?2k??,2k??44??1??f?x????,???.

?2?（2）?sinx?cosx?令2k??????k?Z（）.又，2sinx?????0,2??4???????2sin?x??，

4????2k??3?；

24244??3?3?7??x?2k??令2k???x??2k??，解得2k??；

24244?x?，解得2k??????x?2k??根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域知：f?x?的單調(diào)增區(qū)間是?2k????3?5?,2k??44?，?（k?Z）

??3???f?x?的單調(diào)減區(qū)間是?2k??,2k???（k?Z）.

44??（3）解法一：?f?x?定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不關(guān)