第一章

特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)

名師點(diǎn)金菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為三個(gè)方面：(1)從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對(duì)角線(xiàn)看：對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，并且每一條對(duì)

角線(xiàn)平分一組對(duì)角．判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平

行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直，

也可直接判定四邊相等．(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四邊形AECD是菱形．證明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定證明線(xiàn)段的關(guān)系2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求證：AD＝BC；(2)若E，F(xiàn)，G，H分別是

AB，CD，AC，BD的

中點(diǎn)，求證：線(xiàn)段EF

與線(xiàn)段GH互相垂直平分．(1)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，

則∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四邊形ABMC為平行四邊形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.證明：(2)如圖，連接EH，HF，F(xiàn)G，GE，∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點(diǎn)，∴HE∥AD，且HE＝

AD，F(xiàn)G∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四邊形HFGE為平行四邊形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴?HFGE為菱形．∴線(xiàn)段EF與線(xiàn)段GH互相垂直平分．3訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)3．如圖，在四邊形ABCF中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E

是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F恰是點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線(xiàn)的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．(1)證明：四邊形AECF為菱形；(2)設(shè)EF交AC于點(diǎn)O，若BC＝10，

求線(xiàn)段OF的長(zhǎng)．(1)因?yàn)辄c(diǎn)F恰是點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以AC應(yīng)是EF的中垂線(xiàn)．所以CE＝CF，AE＝AF.又點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊上的中點(diǎn)，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四邊形AECF是菱形．證明：(2)因?yàn)樗倪呅蜛ECF是菱形，所以O(shè)A＝OC，OE＝OF.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以EO是△ACB的中位線(xiàn)．所以EO＝

BC＝5.所以O(shè)F＝5.解：4訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題4．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于點(diǎn)D，在線(xiàn)段AD上任取一點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)，

過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作PM∥AC，

交AB于點(diǎn)M，連接ME.(1)求證：四邊形AEPM為菱形．(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPM

的面積為四邊形EFBM面積的

一半？請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四邊形AEPM為平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四邊形AEPM為菱形．證明：解：(2)當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，S菱形AEPM＝

S四邊形EFBM.

理由如下：∵四邊形AEPM為菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四邊形EFBM為平行四邊形．

過(guò)點(diǎn)