單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

理論與方法

TheoryandMethodologyofSingle-EquationEconometricModel

§2.1回歸分析概述§2.2一元線性回歸模型及其參數(shù)估計(jì)§2.3多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)§2.4多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)§2.5單方程線性模型的區(qū)間估計(jì)§2.6異方差性§2.7序列相關(guān)性

§2.8多重共線性

§2.9隨機(jī)解釋變量§2.1回歸分析概述

IntroductiontoRegressionAnalysis一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)四、樣本回歸函數(shù)一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念變量間的關(guān)系

確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系?！鹘?jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：△對變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis)或回歸分析(regressionanalysis)來完成的：二、總體回歸函數(shù)⒈例子例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)有60戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。為達(dá)到此目的，將該60戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出（表2.1）。

由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=550|X=800）=1/5。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：該例中：E（Y|X=800）=650⒉分析

從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。YX⒊概念

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。函數(shù)形式可以是線性或非線性的。三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

⒈隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。記由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：（2.1.3）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響。

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。⒉隨機(jī)誤差項(xiàng)的影響因素在解釋變量中被忽略的因素的影響；變量觀測值的觀測誤差的影響；模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；其它隨機(jī)因素的影響。⒊產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因理論的含糊性；數(shù)據(jù)的欠缺；節(jié)省原則。四、樣本回歸函數(shù)（SRF）⒈問題的提出由于總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測中得到總體的一組樣本。問題是能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，問：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡可能好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines），其函數(shù)形式記為：

注意：這里

將（2.1.4）看成（2.1.1）的近似替代。

⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型。⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF?！?.2一元線性回歸模型及其參數(shù)估計(jì)

SimpleLinearRegressionModelandItsEstimation一、線性回歸模型及其普遍性二、線性回歸模型的基本假設(shè)三、一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)四、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布與隨機(jī)項(xiàng)方差的估計(jì)一、線性回歸模型及其普遍性1、線性回歸模型的特征一個(gè)例子

凱恩斯絕對收入假設(shè)消費(fèi)理論：消費(fèi)（C）是由收入（Y）唯一決定的，是收入的線性函數(shù)：

C=+Y(2.2.1)

但實(shí)際上上述等式不能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。原因⑴消費(fèi)除受收入影響外，還受其他因素的影響；⑵線性關(guān)系只是一個(gè)近似描述；⑶收入變量觀測值的近似性：收入數(shù)據(jù)本身并不絕對準(zhǔn)確地反映收入水平。因此，一個(gè)更符合實(shí)際的數(shù)學(xué)描述為：

C=+Y+(2.2.2)其中：

是一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)，是其他影響因素的“綜合體”。線性回歸模型的特征：

⑴通過引入隨機(jī)誤差項(xiàng)，將變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性隨機(jī)方程來描述，并用隨機(jī)數(shù)學(xué)的方法來估計(jì)方程中的參數(shù)；⑵在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)共同決定。

2、線性回歸模型的普遍性

線性回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的主要形式，許多實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中經(jīng)濟(jì)變量間的復(fù)雜關(guān)系都可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系。結(jié)論：實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的許多問題，都可以最終化為線性問題，所以，線性回歸模型有其普遍意義。即使對于無法采取任何變換方法使之變成線性的非線性模型，目前使用得較多的參數(shù)估計(jì)方法——非線性最小二乘法，其原理仍然是以線性估計(jì)方法為基礎(chǔ)。線性模型理論方法在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型理論方法的基礎(chǔ)。二、線性回歸模型的基本假設(shè)1、技術(shù)線路由于回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)（模型）PRF。即通過估計(jì)采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估計(jì)。需要對解釋變量和隨機(jī)項(xiàng)作出假設(shè)。2、線性回歸模型在上述意義上的基本假設(shè)

（1）解釋變量X是確定性變量，不是隨機(jī)變量；解釋變量之間互不相關(guān)。（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)具有０均值和同方差:E(

i)=0i=1,2,…,nVar(

i)=

2i=1,2,…,n

（3）隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)：

Cov(

i,

j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

（5）隨機(jī)誤差項(xiàng)服從０均值、同方差的正態(tài)分布：

i~N(0,

2)i=1,2,…,n注意：如果第(1)條假設(shè)滿足，則第(4)條也滿足;

模型對變量和函數(shù)形式的設(shè)定是正確的，即不存在設(shè)定誤差。（4）隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)：

Cov(Xi,

i)=0i=1,2,…,n重要提示幾乎沒有哪個(gè)實(shí)際問題能夠同時(shí)滿足所有基本假設(shè)；通過模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設(shè)帶來的問題；違背基本假設(shè)問題的處理構(gòu)成了單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法的主要內(nèi)容：

異方差問題（違背同方差假設(shè)）序列相關(guān)問題（違背序列不相關(guān)假設(shè)）共線性問題（違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)）隨機(jī)解釋變量（違背解釋變量確定性假設(shè)）0均植、正態(tài)性假設(shè)是由模型的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論決定的。三、一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)1、普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquare,OLS）

給定一組樣本觀測值Xi,Yi（i=1,2,…n），要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值，即樣本回歸線上的點(diǎn)與真實(shí)觀測點(diǎn)的“總體誤差”盡可能地小。

2、最大或然法（MaximumLikelihood,ML）

最大或然法，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計(jì)方法的基礎(chǔ)。

基本原理：對于最大或然法，當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的聯(lián)合概率最大。

將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計(jì)量。

由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價(jià)的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：

可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。但是，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的估計(jì)量是不同的。3、參數(shù)估計(jì)的離差形式(deviationform)注：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差（deviation)。4、樣本回歸線的數(shù)值性質(zhì)(numericalproperties)樣本回歸線通過Y和X的樣本均值；Y估計(jì)值的均值等于觀測值的均值；殘差的均值為0。四、最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

高斯-馬爾可夫定理

當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)完成，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。一個(gè)用于考察總體的統(tǒng)計(jì)量，可從三個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性(linear)：即是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；（2）無偏性(unbiased)：即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；（3）有效性(efficient)：即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無偏估計(jì)量。

普通最小二乘估計(jì)量具有線性性、無偏性、最小方差性等優(yōu)良性質(zhì)。具有這些優(yōu)良性質(zhì)的估計(jì)量又稱為最佳線性無偏估計(jì)量，即BLUE估計(jì)量（theBestLinearUnbiasedEstimators）。顯然這些優(yōu)良的性質(zhì)依賴于對模型的基本假設(shè)。§2.3多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

EstimationofMultipleLinearRegressionModel

一、多元線性回歸模型二、多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)三、OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)估計(jì)量的方差-協(xié)方差矩陣和隨機(jī)誤差項(xiàng)

2方差的估計(jì)五、樣本容量問題六、多元線性回歸模型實(shí)例一、多元線性回歸模型1、多元線性回歸模型的形式由于：在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，一個(gè)變量往往受到多個(gè)原因變量的影響；“從一般到簡單”的建模思路。所以，在線性回歸模型中的解釋變量有多個(gè)，至少開始是這樣。這樣的模型被稱為多元線性回歸模型。多元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的原理與一元線性回歸模型相同，只是計(jì)算更為復(fù)雜。

多元線性回歸模型的一般形式為：

習(xí)慣上把常數(shù)項(xiàng)看成為一個(gè)虛變量的系數(shù)，在參數(shù)估計(jì)過程中該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）。

多元線性回歸模型的矩陣表達(dá)式為：

2、多元線性回歸模型的基本假定

模型(2.3.1)或(2.3.2)在滿足下述所列的基本假設(shè)的情況下，可以采用普通最小二乘法（OLS）估計(jì)參數(shù)。關(guān)于經(jīng)典回歸模型的假定二、多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)1、普通最小二乘估計(jì)普通最小二乘估計(jì)

估計(jì)過程的矩陣表示：2、最大或然估計(jì)Y的隨機(jī)抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率

對數(shù)或然函數(shù)為參數(shù)的最大或然估計(jì)

結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)相同

3、矩估計(jì)(MomentMethod,MM)用每個(gè)解釋變量分別乘以模型的兩邊，并對所有樣本點(diǎn)求和，即得到：

對每個(gè)方程的兩邊求期望，有：

得到一組矩條件求解這組矩條件，即得到參數(shù)估計(jì)量與OLS、ML估計(jì)量等價(jià)矩方法是工具變量方法(InstrumentalVariables,IV)和廣義矩估計(jì)方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基礎(chǔ)在矩方法中關(guān)鍵是利用了如果某個(gè)解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)，只要能找到1個(gè)工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。如果存在＞k+1個(gè)變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)，可以構(gòu)成一組包含＞k+1方程的矩條件。這就是GMM。4、多元回歸方程及偏回歸系數(shù)的含義稱為多元回歸方程（函數(shù)）。

多元回歸分析（multipleregressionanalysis）是以多個(gè)解釋變量的固定值為條件的回歸分析，并且所獲得的是諸變量X值固定時(shí)Y的平均值。諸

i稱為偏回歸系數(shù)（partialregressioncoefficients）。偏回歸系數(shù)的含義如下：

1度量著在X2,X3,…,Xk保持不變的情況下，X1每變化1個(gè)單位時(shí)，Y的均值E(Y)的變化，或者說

1給出X1的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。其他參數(shù)的含義與之相同。三、OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)四、參數(shù)估計(jì)量的方差-協(xié)方差矩陣和隨機(jī)誤差項(xiàng)

2方差的估計(jì)1、一個(gè)疑問與回答疑問：在無偏性證明中將參數(shù)估計(jì)量看作隨機(jī)量，而在正規(guī)方程組的推導(dǎo)中又將它看作確定值。如何解釋？解釋：將一組具體樣本資料代入?yún)?shù)估計(jì)量的表達(dá)式給出的參數(shù)估計(jì)結(jié)果是一個(gè)“估計(jì)值”，或者“點(diǎn)估計(jì)”，是參數(shù)估計(jì)量的一個(gè)具體數(shù)值，是確定的；但從另一個(gè)角度，僅僅把它看成是參數(shù)估計(jì)量的一個(gè)表達(dá)式，那么，則是被解釋變量觀測值的函數(shù)，而被解釋變量是隨機(jī)變量，所以參數(shù)估計(jì)量也是隨機(jī)變量，在這個(gè)角度上，稱之為“估計(jì)量”。2、參數(shù)估計(jì)量的方差-協(xié)方差將參數(shù)估計(jì)量看作隨機(jī)量，具有數(shù)字特征。參數(shù)估計(jì)量的方差以及不同參數(shù)估計(jì)量之間的協(xié)方差在模型理論中具有重要性。具體描述如下：3、隨機(jī)誤差項(xiàng)

2方差的估計(jì)五、樣本容量問題⒈

最小樣本容量所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計(jì)量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）。2、滿足基本要求的樣本容量

從參數(shù)估計(jì)角度：＞3×解釋變量數(shù)目從檢驗(yàn)的有效性角度：＞303、模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明六、多元線性回歸模型實(shí)例中國消費(fèi)函數(shù)模型根據(jù)消費(fèi)模型的一般形式，選擇消費(fèi)總額為被解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值和前一年的消費(fèi)總額為解釋變量，變量之間關(guān)系為簡單線性關(guān)系，選取1981年至1996年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為樣本觀測值。

中國消費(fèi)數(shù)據(jù)表單位：億元

模型估計(jì)結(jié)果擬合效果

StatisticalTestofMultipleLinearRegressionModel

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)二、方程顯著性檢驗(yàn)三、變量顯著性檢驗(yàn)說明由計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論要求的以多元線性模型為例將參數(shù)估計(jì)量和預(yù)測值的區(qū)間檢驗(yàn)單獨(dú)列為一節(jié)，在一些教科書中也將它們放在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中包含擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、總體顯著性檢驗(yàn)、變量顯著性檢驗(yàn)、偏回歸系數(shù)約束檢驗(yàn)、模型對時(shí)間或截面?zhèn)€體的穩(wěn)定性檢驗(yàn)等一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

TestingtheSimulationLevel1、概念檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯颖居^測值的擬合程度。

通過構(gòu)造一個(gè)可以表征擬合程度的統(tǒng)計(jì)量來實(shí)現(xiàn)。問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？答案：選擇合適的估計(jì)方法所保證的最好擬合，是同一個(gè)問題內(nèi)部的比較；擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果所表示的優(yōu)劣是不同問題之間的比較。

2、總體平方和、殘差平方和和回歸平方和

定義TSS為總體平方和（TotalSumofSquares），反映樣本觀測值總體離差的大??；ESS為回歸平方和（ExplainedSumofSquares），反映由模型中解釋變量所解釋的那部分離差的大小；RSS為殘差平方和（ResidualSumofSquares），反映樣本觀測值與估計(jì)值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小。

既然ESS反映樣本觀測值與估計(jì)值偏離的大小，可否直接用它作為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量？

不行

統(tǒng)計(jì)量必須是相對量TSS、ESS、RSS之間的關(guān)系

TSS=RSS+ESS4、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：可決系數(shù)r2和調(diào)整后的可決系數(shù)R2可決系數(shù)r2

模型與樣本觀測值完全擬合時(shí)，r2=1。該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。問題：要使得模型擬合得好，就必須增加解釋變量；增加解釋變量必定使得自由度減少。

調(diào)整的可決系數(shù)R2為什么以R2作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量避免片面增加解釋變量的傾向？

二、方程顯著性檢驗(yàn)

TestingtheOverallSignificance1、關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)主要內(nèi)容，它的基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對未知總體分布的某些方面的假設(shè)作出合理的判斷。假設(shè)檢驗(yàn)的程序是，先根據(jù)實(shí)際問題的要求提出一個(gè)論斷，稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)；然后根據(jù)樣本的有關(guān)信息，對的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷，作出拒絕或接受的決策。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。概率性質(zhì)的反證法的根據(jù)是小概率事件原理，該原理認(rèn)為“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”。2、方程的顯著性檢驗(yàn)

對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。用以進(jìn)行方程的顯著性檢驗(yàn)的方法主要有三種：F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、r檢驗(yàn)。它們的區(qū)別在于構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量不同，即設(shè)計(jì)的“事件”不同。應(yīng)用最為普遍的F檢驗(yàn)。

3、方程顯著性的F檢驗(yàn)方程顯著性的F檢驗(yàn)F檢驗(yàn)的思想來自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS由于回歸平方和ESS是解釋變量X聯(lián)合體對被解釋變量Y的線性作用的結(jié)果，所以，如果ESS/RSS的比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。因此,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。進(jìn)一步根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的定義，如果構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量則該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（n-k-1）的F分布。在消費(fèi)模型中，k=2,n=16,給定α=0.01,查得Ｆ0.01（2,13)=3.80，而Ｆ=28682.51>3.80,所以該線性模型在0.99的水平下顯著成立。

關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論

可見，Ｆ與R2同向變化：當(dāng)R2

＝０時(shí)，Ｆ＝０；當(dāng)R2=時(shí)，Ｆ為無窮大；R2越大，Ｆ值也越大。回答前面的問題：R2多大才算通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)？在消費(fèi)模型中，R2>0.28→F>3.80→該線性模型在0.99的水平下顯著成立。

有許多著名的模型，R2小于0.5，支持了重要的結(jié)論，例如收入差距的倒U型規(guī)律。不要片面追求擬合優(yōu)度。三、變量顯著性檢驗(yàn)

TestingtheIndividualSignificance1、變量顯著性檢驗(yàn)

對于多元線性回歸模型，方程的總體線性關(guān)系是顯著的，并不能說明每個(gè)解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。變量顯著性檢驗(yàn)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)相同于方程顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的思路與程序也與方程顯著性檢驗(yàn)相似。用以進(jìn)行變量顯著性檢驗(yàn)的方法主要有三種：F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、z檢驗(yàn)。它們的區(qū)別在于構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量不同。應(yīng)用最為普遍的t檢驗(yàn)。

2、變量顯著性的F檢驗(yàn)如果構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

已經(jīng)知道

提出原假設(shè)與備擇假設(shè)：

H0：

i=0,H1:i0在消費(fèi)模型中，

tc=6.412,tgdp=22.00,tcons(-1)=4.188

給定α=0.01,查得t0.005(13)=3.012，所以所有變量都在0.99的水平下顯著。3、在一元線性回歸（k=1）中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是一致的。4、關(guān)于檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的判斷科學(xué)性靈活性關(guān)鍵是講清楚在什么置信水平下顯著直觀判斷§2.5單方程線性模型的區(qū)間估計(jì)

IntervalEstimationofMultipleLinearRegressionModel一、參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)二、預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)1、問題的提出人們經(jīng)常說，“通過建立生產(chǎn)函數(shù)模型，得到資本的產(chǎn)出彈性是0.5”，“通過建立消費(fèi)函數(shù)模型，得到收入的邊際消費(fèi)傾向是0.6”，等等。其中0.5、0.6是模型具有特定經(jīng)濟(jì)含義的參數(shù)估計(jì)值。

這樣的說法正確嗎？

應(yīng)該如何表述才是正確的？

線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)量是隨機(jī)變量，利用一次抽樣的樣本觀測值，估計(jì)得到的只是參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值。如果用參數(shù)估計(jì)量的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值近似代表參數(shù)值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率達(dá)到該接近程度？

這就要構(gòu)造參數(shù)的一個(gè)區(qū)間，以點(diǎn)估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間（稱為置信區(qū)間，confidenceinterval），該區(qū)間以一定的概率（稱為置信水平，confidencecoefficient

）包含該參數(shù)。參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)的目的就是求得與α相對應(yīng)的a。2、參數(shù)估計(jì)量的區(qū)間估計(jì)3、如何縮小置信區(qū)間增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減?。惶岣吣Ｐ偷臄M合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測值的分散度。二、預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)1、問題的提出

但是，嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計(jì)值，而不是預(yù)測值。

為什么？由于隨機(jī)因素的影響，模型中的參數(shù)估計(jì)量是不確定的。所以，我們得到的僅能是預(yù)測值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測值僅以某一個(gè)置信水平處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間中。于是，又是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問題。下面進(jìn)行置信區(qū)間的推導(dǎo)：2、預(yù)測值置信區(qū)間的推導(dǎo)

利用該統(tǒng)計(jì)量，類似于前面的推導(dǎo)過程，得到在給定（1-α）的置信水平下，預(yù)測值Y0的置信區(qū)間為：這就是說，當(dāng)給定解釋變量值X0后，能得到被解釋變量Y0以（1-

）的置信水平處于該區(qū)間的結(jié)論。3、一點(diǎn)啟示計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型用于預(yù)測時(shí)，必須嚴(yán)格科學(xué)地描述預(yù)測結(jié)果。如果要求給出一個(gè)“準(zhǔn)確”的預(yù)測值，那么真實(shí)值與該預(yù)測值相同的概率為0。如果要求以100%的概率給出區(qū)間，那么該區(qū)間是∞。模型研制者的任務(wù)是盡可能地縮小置信區(qū)間。4、如何縮小置信區(qū)間增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯?，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差減?。惶岣吣Ｐ偷臄M合優(yōu)度，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測值的分散度。三、多元線性回歸分析計(jì)算步驟及主要公式

例：設(shè)某中心城市對各地區(qū)商品流出量Y取決于各地區(qū)的社會(huì)商品購買力X1以及各地區(qū)對該市的商品流入X2，即可能有如下總體回歸方程：

Y=

0+1X1+2X2（2）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：總體顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）：參數(shù)顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）

Eviews軟件輸出（1）模型中包括X1與X2：（2）模型中僅包括X1§2.5單方程線性模型的區(qū)間估計(jì)§2.6異方差性

Heteroskedasticity一、異方差性的概念二、異方差性的后果三、異方差性的檢驗(yàn)四、異方差性的估計(jì)五、案例回歸分析，是在對線性回歸模型提出若干基本假設(shè)的條件下，應(yīng)用普通最小二乘法得到了無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量。但是，在實(shí)際的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見。如果違背了某一項(xiàng)基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量，OLS法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。如果隨機(jī)誤差項(xiàng)序列不具有同方差性，即出現(xiàn)異方差性。說明一、異方差的概念

1、異方差的概念即對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性。2、異方差的類型

同方差性假定的意義是指每個(gè)

i圍繞其零平均值的變差，并不隨解釋變量X的變化而變化，不論解釋變量觀測值是大還是小，每個(gè)

i的方差保持相同，即

i2=常數(shù)在異方差的情況下，

i2已不是常數(shù)，它隨X的變化而變化，即

i2=f(Xi)

異方差一般可歸結(jié)為三種類型：（1）單調(diào)遞增型：

i2隨X的增大而增大；（2）單調(diào)遞減型：

i2隨X的增大而減小;（3）復(fù)雜型：

i2與X的變化呈復(fù)雜形式。3、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性

在該模型中，

i的同方差假定往往不符合實(shí)際情況。對高收入家庭來說，儲蓄的差異較大；低收入家庭的儲蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲蓄），差異較小。

因此，

i的方差往往隨Xi的增加而增加，呈單調(diào)遞增型變化。

例如：在截面資料下研究居民家庭的儲蓄形為

Yi=

0+1Xi+i

Yi和Xi分別為第i個(gè)家庭的儲蓄額和可支配收入。

一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的增大而先減后增。

如果樣本觀測值的觀測誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要部分，那么對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差隨著解釋變量觀測值的增大而先減后增，出現(xiàn)了異方差性。

例如，以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)作樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：

Ci=

0+1Yi+i

將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。例如，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3eI產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動(dòng)、技術(shù)等投入要素為解釋變量，那么每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。由于每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。

這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型的一種。二、異方差性的后果1、參數(shù)估計(jì)量非有效

普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性。因?yàn)樵谟行宰C明中利用了

E(NN’)=

2I

而且，在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計(jì)量不具有一致性。以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說明：（1）仍存在無偏性：證明過程與方差無關(guān)（2）不具備最小方差性2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義在該統(tǒng)計(jì)量中包含有隨機(jī)誤差項(xiàng)共同的方差，并且有t統(tǒng)計(jì)量服從自由度為(n-k-1)的t分布。如果出現(xiàn)了異方差性，t檢驗(yàn)就失去意義。其它檢驗(yàn)也類似。

3、模型的預(yù)測失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；另一方面，在預(yù)測值的置信區(qū)間中也包含有隨機(jī)誤差項(xiàng)共同的方差

2。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對Y的預(yù)測誤差變大，降低預(yù)測精度，預(yù)測功能失效。三、異方差性的檢驗(yàn)1、檢驗(yàn)方法的共同思路

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：

檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。問題在于用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差

一般的處理方法：

2、圖示檢驗(yàn)法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢（即不在一個(gè)固定的帶型域中）看是否形成一斜率為零的直線

3、解析法（1）戈德菲爾德-匡特（Goldfeld-Quandt）檢驗(yàn)☆

G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。

G-Q檢驗(yàn)的思想：

先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。G-Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對樣本觀察值(Xi,Yi)按解釋變量觀察值Xi的大小排隊(duì)②將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2（2）戈里瑟（Gleiser）檢驗(yàn)與帕克（Park）檢驗(yàn)戈里瑟檢驗(yàn)與帕克檢驗(yàn)的思想：

如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。注意：由于f(Xj)的具體形式未知，因此需要進(jìn)行各種形式的試驗(yàn)。四、異方差性的估計(jì)

——加權(quán)最小二乘法(WLS)

WeightedLeastSquares1、加權(quán)最小二乘法的基本思想加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計(jì)其參數(shù)。

例如，在遞增異方差下，對來自較小Xi的子樣本，其真實(shí)的總體方差較小，Yi與回歸線擬合值之間的殘差ei的信度較大，應(yīng)予以重視;而對較大Xi的子樣本，由于真實(shí)總體的方差較大，殘差反映的信息應(yīng)打折扣。

加權(quán)最小二乘法就是對加了權(quán)重的殘差平方和實(shí)施OLS法：對較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)，對較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。2、一個(gè)例子例如，如果在檢驗(yàn)過程中已經(jīng)知道：3、一般情況對于模型

Y=XB+N(2.4.8)

這就是原模型(2.4.8)的加權(quán)最小二乘估計(jì)量，它是無偏、有效的。這里權(quán)矩陣為D-1，它來自于矩陣W

。4、求得權(quán)矩陣W的一種實(shí)用方法

從前面的推導(dǎo)過程看，它來自于原模型（2.4.8）殘差項(xiàng)N的方差-協(xié)方差矩陣，因此仍然可對原模型(2.4.8)首先采用OLS法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量，即5、加權(quán)最小二乘法具體步驟6、注意

在實(shí)際建模過程中，尤其是截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)，人們通常并不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。在應(yīng)用軟件中，給出了權(quán)矩陣的多種選擇。例如在Eviews中給出了權(quán)矩陣的3種選擇：White權(quán)矩陣、Newey-West權(quán)矩陣和自己輸入權(quán)矩陣。White,1980,Aheteroskedasticity-consistentconvariancematrixanddirecttestforheteroskedaticity,Econometrica,48,817-38Newey,West,1987,ASimplePositiveSemi-Definite,HeteroskedasticityandAutocorrelationConsistentCovarianceMatrix,Econometrica,55,703-8五、案例—1

—某地區(qū)居民儲蓄模型某地區(qū)31年來居民收入與儲蓄額數(shù)據(jù)表1、普通最小二乘估計(jì)2、異方差檢驗(yàn)（1）圖示檢驗(yàn)⑵G-Q檢驗(yàn)①求兩個(gè)子樣本（n1=n2=12）回歸方程的殘差平方和RSS1與RSS2；②計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726③查表

在5%的顯著性水平下，第1和第2自由度均為（31-7）/2-2=10的F分布臨界值為

F0.05(10,10)=2.97由于F=4.72>F0.05(10,10)=2.97因此，否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)項(xiàng)存在遞增異方差性。⑶Park檢驗(yàn)

顯然，lnXi前的參數(shù)表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)上顯著的，表明原數(shù)據(jù)存在異方差性。3、異方差模型的估計(jì)與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更差。為什么？關(guān)于異方差形式的假定…與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更好。

五、案例—2

—居民消費(fèi)二元模型1、OLS估計(jì)結(jié)果2、WLS估計(jì)結(jié)果3、比較各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)全面改善R2:0.999739→0.999999F:28682→980736∑e2:438613→29437t:6.422.04.2→25.2134.122.9D.W.:1.45→1.81§2.7序列相關(guān)性

SerialCorrelation一、序列相關(guān)性二、序列相關(guān)性的后果三、序列相關(guān)性的檢驗(yàn)四、具有序列相關(guān)性模型的估計(jì)五、案例

如果模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)違背了互相獨(dú)立的基本假設(shè)的情況，稱為序列相關(guān)性。

普通最小二乘法（OLS）要求計(jì)量模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)相互獨(dú)立或序列不相關(guān)。一、序列相關(guān)性1、序列相關(guān)的概念

如果對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性。稱為一階序列相關(guān)，或自相關(guān)（autocorrelation）。這是最常見的一種序列相關(guān)問題。

自相關(guān)往往可寫成如下形式：其中：

被稱為自協(xié)方差系數(shù)（coefficientofautocovariance）或一階自相關(guān)系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）。2、序列相關(guān)產(chǎn)生的原因

（1）慣性

大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)據(jù)都有一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是它的慣性。

GDP、價(jià)格指數(shù)、生產(chǎn)、就業(yè)與失業(yè)等時(shí)間序列都呈周期性，如周期中的復(fù)蘇階段，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)序列均呈上升勢，序列在每一時(shí)刻的值都高于前一時(shí)刻的值，似乎有一種內(nèi)在的動(dòng)力驅(qū)使這一勢頭繼續(xù)下去，直至某些情況（如利率或課稅的升高）出現(xiàn)才把它拖慢下來。（2）設(shè)定偏誤：模型中遺漏了顯著的變量

例如：如果對牛肉需求的正確模型應(yīng)為Yt=

0+1X1t+2X2t+3X3t+t其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉價(jià)格，X2=消費(fèi)者收入，X3=豬肉價(jià)格。如果模型設(shè)定為：Yt=

0+1X1t+2X2t+vt那么該式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)實(shí)際上是：vt=

3X3t+t,

于是在豬肉價(jià)格影響牛肉消費(fèi)量的情況下，這種模型設(shè)定的偏誤往往導(dǎo)致隨機(jī)項(xiàng)中有一個(gè)重要的系統(tǒng)性影響因素，使其呈序列相關(guān)性。

(3)設(shè)定偏誤：不正確的函數(shù)形式

例如：如果邊際成本模型應(yīng)為：

Yt=

0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=邊際成本，X=產(chǎn)出。但建模時(shí)設(shè)立了如下模型：

Yt=

0+1Xt+vt因此，由于vt=

2Xt2+t,

，包含了產(chǎn)出的平方對隨機(jī)項(xiàng)的系統(tǒng)性影響，隨機(jī)項(xiàng)也呈現(xiàn)序列相關(guān)性。(4)蛛網(wǎng)現(xiàn)象

例如，農(nóng)產(chǎn)品供給對價(jià)格的反映本身存在一個(gè)滯后期：供給t=

0+1價(jià)格t-1+t意味著，農(nóng)民由于在年度t的過量生產(chǎn)（使該期價(jià)格下降）很可能導(dǎo)致在年度t+1時(shí)削減產(chǎn)量，因此不能期望隨機(jī)干擾項(xiàng)是隨機(jī)的，往往產(chǎn)生一種蛛網(wǎng)模式。(5)數(shù)據(jù)的“編造”

例如，季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這種平均的計(jì)算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動(dòng)而引進(jìn)了數(shù)據(jù)中的勻滑性，這種勻滑性本身就能使干擾項(xiàng)中出現(xiàn)系統(tǒng)性的因素，從而出現(xiàn)序列相關(guān)。還有就是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的“內(nèi)插”技術(shù)往往導(dǎo)致隨機(jī)項(xiàng)的序列相關(guān)性。二、序列相關(guān)性的后果1、參數(shù)估計(jì)量非有效

OLS參數(shù)估計(jì)量仍具無偏性

OLS估計(jì)量不具有有效性在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計(jì)量不具有一致性

2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義

在關(guān)于變量的顯著性檢驗(yàn)中，當(dāng)存在序列相關(guān)時(shí)，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差增大，標(biāo)準(zhǔn)差也增大，因此實(shí)際的t統(tǒng)計(jì)量變小，從而接受原假設(shè)

i=0的可能性增大，檢驗(yàn)就失去意義。采用其它檢驗(yàn)也是如此。3、模型的預(yù)測失效

區(qū)間預(yù)測與參數(shù)估計(jì)量的方差有關(guān)，在方差有偏誤的情況下，使得預(yù)測估計(jì)不準(zhǔn)確，預(yù)測精度降低。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時(shí)，它的預(yù)測功能失效。三、序列相關(guān)性的檢驗(yàn)1、基本思路序列相關(guān)性檢驗(yàn)方法有多種，但基本思路是相同的。首先采用普通最小二乘法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)量”：

然后，通過分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性，以達(dá)到判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性的目的。2、圖示法2、解析法（1）回歸檢驗(yàn)法

具體應(yīng)用時(shí)需要反復(fù)試算?；貧w檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是：一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時(shí)知道了相關(guān)的形式；它適用于任何類型的序列相關(guān)性問題的檢驗(yàn)。

對各方程估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關(guān)性。（2）杜賓-瓦森（Durbin-Watson）檢驗(yàn)法

D-W檢驗(yàn)是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗(yàn)序列自相關(guān)的方法。該方法的假定條件是：（1）解釋變量X非隨機(jī)；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)

i為一階自回歸形式：

i=i-1+i（3）回歸模型中不應(yīng)含有滯后應(yīng)變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式：

Yi=

0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回歸含有截距項(xiàng)；（5）沒有缺落數(shù)據(jù)。

D.W.統(tǒng)計(jì)量該統(tǒng)計(jì)量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，因此其精確的分布很難得到。但是，Durbin和Watson成功地導(dǎo)出了臨界值的下限dL和上限dU

，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個(gè)數(shù)k有關(guān)，而與解釋變量X的取值無關(guān)。檢驗(yàn)步驟①計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量的值，②根據(jù)樣本容量n和解釋變量數(shù)目k查D.W.分布表，得到臨界值dL和dU，③按照下列準(zhǔn)則考察計(jì)算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)。

可以看出，當(dāng)D.W.值在2左右時(shí)，模型不存在一階自相關(guān)。如果存在完全一階正相關(guān)，即

=1，則D.W.0

如果存在完全一階負(fù)相關(guān)，即

=-1，則D.W.4如果完全不相關(guān)，即

=0，則D.W.2

（1）從判斷準(zhǔn)則看到，存在一個(gè)不能確定的D.W.值區(qū)域，這是這種檢驗(yàn)方法的一大缺陷。（2）D.W.檢驗(yàn)雖然只能檢驗(yàn)一階自相關(guān)，但在實(shí)際計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，一階自相關(guān)是出現(xiàn)最多的一類序列相關(guān)；（3）經(jīng)驗(yàn)表明，如果不存在一階自相關(guān)，一般也不存在高階序列相關(guān)。

所以在實(shí)際應(yīng)用中，對于序列相關(guān)問題一般只進(jìn)行D.W.檢驗(yàn)。注意：四、具有序列相關(guān)性模型的估計(jì)如果模型被檢驗(yàn)證明存在序列相關(guān)性，則需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）、一階差分法（First-OrderDifference)和廣義差分法(GeneralizedDifference)。

1、廣義最小二乘法

對于模型

Y=XB+N(2.5.7)

如果存在序列相關(guān)，同時(shí)存在異方差，即有

設(shè)

=DD’

用D-1左乘(2.5.7)兩邊，得到一個(gè)新的模型：

D-1

Y=D-1

XB+D-1N(2.5.8)

即Y*=X*B+N*

該模型具有同方差性和隨機(jī)誤差項(xiàng)互相獨(dú)立性。

于是，可以用OLS法估計(jì)模型(2.5.8)，得（2.5.9)

這就是原模型(2.5.7)的廣義最小二乘估計(jì)量(GLSestimators)，是無偏的、有效的估計(jì)量。

如何得到矩陣

？

仍然是對原模型(2.5.7)首先采用普通最小二乘法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成矩陣的估計(jì)量

，即可行的廣義最小二乘法（FGLS,FeasibleGeneralizedLeastSquares）文獻(xiàn)中常見的術(shù)語如果能夠找到一種方法，求得到Ω的估計(jì)量，使得GLS能夠?qū)崿F(xiàn)，都稱為FGLS

前面提出的方法，就是FGLS2、一階差分法

即使對于非完全一階正相關(guān)的情況，只要存在一定程度的一階正相關(guān)，差分模型就可以有效地加以克服。

如果原模型存在完全一階正自相關(guān)，即在

i=i-1+i中，

=1。(2.5.10)可變換為：

Yi=1Xi+I由于

i不存在序列相關(guān)，該差分模型滿足應(yīng)用OLS法的基本假設(shè)，用OLS法估計(jì)可得到原模型參數(shù)的無偏的、有效的估計(jì)量。3、廣義差分法

模型(2.5.12)為廣義差分模型，該模型不存在序列相關(guān)問題。采用OLS法估計(jì)可以得到原模型參數(shù)的無偏、有效的估計(jì)量。

廣義差分法可以克服所有類型的序列相關(guān)帶來的問題，一階差分法是它的一個(gè)特例。4、隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)系數(shù)

的估計(jì)

應(yīng)用廣義差分法，必須已知不同樣本點(diǎn)之間隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)

1,

2,…,

l

。實(shí)際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對它們進(jìn)行估計(jì)。

常用的方法有：

（1）科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。（2）杜賓（durbin）兩步法（1）科克倫-奧科特迭代法

首先，采用OLS法估計(jì)原模型

Yi=

0+1Xi+i得到的隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)值”，并以之作為觀測值采用OLS法估計(jì)下式

i=1

i-1+2

i-2+L

i-L+i

類似地，可進(jìn)行第三次、第四次迭代。

關(guān)于迭代的次數(shù)，可根據(jù)具體的問題來定。一般是事先給出一個(gè)精度，當(dāng)相鄰兩次

1，2，，L的估計(jì)值之差小于這一精度時(shí)，迭代終止。實(shí)踐中，有時(shí)只要迭代兩次，就可得到較滿意的結(jié)果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法。（2）杜賓（durbin）兩步法

該方法仍是先估計(jì)

1，2，，L，再對差分模型進(jìn)行估計(jì)。5、應(yīng)用軟件中的廣義差分法在Eview/TSP軟件包下，廣義差分采用了科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估計(jì)

。在解釋變量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到參數(shù)和ρ1、ρ2、…的估計(jì)值。其中AR(m)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的m階自回歸。在估計(jì)過程中自動(dòng)完成了ρ1、ρ2、…的迭代.

6、虛假序列相關(guān)問題

由于隨機(jī)項(xiàng)的序列相關(guān)往往是在模型設(shè)定中遺漏了重要的解釋變量或?qū)δＰ偷暮瘮?shù)形式設(shè)定有誤，這種情形可稱為虛假序列相關(guān)，應(yīng)在模型設(shè)定中排除。避免產(chǎn)生虛假序列相關(guān)性的措施是在開始時(shí)建立一個(gè)“一般”的模型，然后逐漸剔除確實(shí)不顯著的變量。五、案例:地區(qū)商品出口模型1、某地區(qū)商品出口總值與國內(nèi)生產(chǎn)總值的數(shù)據(jù)2、序列相關(guān)性檢驗(yàn)

（1）圖示法檢驗(yàn)（2）D.W.檢驗(yàn)

在5%在顯著性水平下，n=19，k=2(包含常數(shù)項(xiàng))，查表得dL=1.18，dU=1.40，由于DW=0.9505<dL，故存在正自相關(guān)。3、自相關(guān)的處理

⑴一階差分法R2=0.4747,D.W.=1.8623由于DW>du=1.39(注：樣本容量為18個(gè))，已不存在自相關(guān)。

⑵廣義差分法①采用杜賓兩步法估計(jì)

由于DW>=1.39(注：樣本容量為19-1=18個(gè))，已不存在自相關(guān)。于是原模型估計(jì)式為：②采用科克倫-奧科特迭代法估計(jì)

一階廣義差分的結(jié)果：

由于DW>du=1.39(注：樣本容量為18個(gè))，已不存在自相關(guān)。

二階廣義差分的結(jié)果：

由于DW>du=1.38(注：樣本容量為19-2=17個(gè))，已不存在自相關(guān)。但由于AR[2]前的系數(shù)的t值為-0.15，在5%的顯著性水平下并不顯著，說明隨機(jī)干擾項(xiàng)不存在二階序列相關(guān)性，模型中應(yīng)去掉AR[2]項(xiàng)。

§2.8多重共線性

Multi-Collinearity一、多重共線性的概念二、多重共線性的后果三、多重共線性的檢驗(yàn)四、克服多重共線性的方法五、案例六、分部回歸與多重共線性一、多重共線性的概念1、多重共線性

對于模型

Yi=

0+1X1i+2X2i++kXki+i

i=1,2,…,n(2.6.1)其基本假設(shè)之一是解釋變量是互相獨(dú)立的。

如果某兩個(gè)或多個(gè)解釋變量之間出現(xiàn)了相關(guān)性，則稱為多重共線性。

如果存在

c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0i=1,2,…,n(2.6.2)

其中:ci不全為0，即某一個(gè)解釋變量可以用其它解釋變量的線性組合表示，則稱為解釋變量間存在完全共線性。

如果存在

c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0i=1,2,…,n(2.6.3)其中ci不全為0，為隨機(jī)誤差項(xiàng)，則稱為一般共線性(近似共線性)或交互相關(guān)(intercorrelated)。

在矩陣表示的線性回歸模型

Y=XB+N

中，完全共線性指：秩(X)<k+1，即矩陣

例如，X2=X1，這時(shí)X1與X2的相關(guān)系數(shù)為1，解釋變量X2對因變量的作用完全可由X1代替。

注意：完全共線性的情況并不多見，一般出現(xiàn)的是在一定程度上的共線性，即近似共線性。2、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的多重共線性現(xiàn)象

經(jīng)濟(jì)變量的共同變化趨勢

時(shí)間序列樣本：經(jīng)濟(jì)繁榮時(shí)期，各基本經(jīng)濟(jì)變量（收入、消費(fèi)、投資、價(jià)格）都趨于增長；衰退時(shí)期，又同時(shí)趨于下降。

橫截面數(shù)據(jù)：生產(chǎn)函數(shù)中，資本投入與勞動(dòng)力投入往往出現(xiàn)高度相關(guān)情況，大企業(yè)二者都大，小企業(yè)都小。

滯后變量的引入

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，往往需要引入滯后經(jīng)濟(jì)變量來反映真實(shí)的經(jīng)濟(jì)關(guān)系。

例如，消費(fèi)=f(當(dāng)期收入,前期收入）顯然，兩期收入間有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。

一般經(jīng)驗(yàn)

對于采用時(shí)間序列數(shù)據(jù)作樣本、以簡單線性形式建立的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，往往存在多重共線性。以截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)，問題不那么嚴(yán)重，但多重共線性仍然是存在的。二、多重共線性的后果

1、完全共線性下參數(shù)估計(jì)量不存在如果存在完全共線性，則(X’X)-1不存在，無法得到參數(shù)的估計(jì)量。2、近似共線性下普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量非有效

在一般共線性（或稱近似共線性）下，雖然可以得到OLS法參數(shù)估計(jì)量，但是由參數(shù)估計(jì)量方差的表達(dá)式為

可見，由于此時(shí)|X’X|0，引起(X’X)-1主對角線元素較大，從而使參數(shù)估計(jì)值的方差增大，OLS參數(shù)估計(jì)量非有效。即：多重共線性使參數(shù)估計(jì)值的方差增大，方差擴(kuò)大因子(VarianceInflationFactor)為1/(1-r2)，其增大趨勢見下表：3、參數(shù)估計(jì)量經(jīng)濟(jì)含義不合理

如果模型中兩個(gè)解釋變量具有線性相關(guān)性，例如X1和X2，那么它們中的一個(gè)變量可以由另一個(gè)變量表征。這時(shí)，X1和X2前的參數(shù)并不反映各自與被解釋變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，而是反映它們對被解釋變量的共同影響。所以各自的參數(shù)已經(jīng)失去了應(yīng)有的經(jīng)濟(jì)含義，于是經(jīng)常表現(xiàn)出似乎反常的現(xiàn)象，例如本來應(yīng)該是正的，結(jié)果恰是負(fù)的。4、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義存在多重共線性時(shí)參數(shù)估計(jì)值的方差與標(biāo)準(zhǔn)差變大使t統(tǒng)計(jì)量的拒絕域變?。ㄅR界值增大）容易使通過樣本計(jì)算的t值小于臨界值，誤導(dǎo)作出參數(shù)為0的推斷可能將重要的解釋變量排除在模型之外三、多重共線性的檢驗(yàn)

由于多重共線性表現(xiàn)為解釋變量之間具有相關(guān)關(guān)系，所以用于多重共線性的檢驗(yàn)方法主要是統(tǒng)計(jì)方法：如判定系數(shù)檢驗(yàn)法、逐步回歸檢驗(yàn)法等。

多重共線性檢驗(yàn)的任務(wù)是：（1）檢驗(yàn)多重共線性是否存在；（2）估計(jì)多重共線性的范圍，即判斷哪些變量之間存在共線性。1、檢驗(yàn)多重共線性是否存在

(1)對兩個(gè)解釋變量的模型，采用簡單相關(guān)系數(shù)法

求出X1與X2的簡單相關(guān)系數(shù)r，若|r|接近1，則說明兩變量存在較強(qiáng)的多重共線性。

(2)對多個(gè)解釋變量的模型，采用綜合統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法若在OLS法下，模型的R2與F值較大，但各參數(shù)估計(jì)值的t檢驗(yàn)值較小，說明各解釋變量對Y的聯(lián)合線性作用顯著，但各解釋變量間存在共線性而使得它們對Y的獨(dú)立作用不能分辨，故t檢驗(yàn)不顯著。2、判明存在多重共線性的范圍(1)判定系數(shù)檢驗(yàn)法

使模型中每一個(gè)解釋變量分別以其余解釋變量為解釋變量進(jìn)行回歸計(jì)算，并計(jì)算相應(yīng)的擬合優(yōu)度，也稱為判定系數(shù)。如果在某一種形式

Xji=

1X1i+2X2i+LXLi中判定系數(shù)較大，則說明在該形式中作為被解釋變量的Xj可以用其他X的線性組合代替，即Xj與其他X之間存在共線性。

等價(jià)的檢驗(yàn)是對上述回歸方程作F檢驗(yàn)

式中：Rj?2為第j個(gè)解釋變量對其他解釋變量的回歸方程的決定系數(shù)，若存在較強(qiáng)的共線性，則Rj?2較大且接近于1，這時(shí)（1-Rj?2

）較小，從而Fj的值較大。因此，可以在給定的顯著性水平下，通過計(jì)算F值的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

另一等價(jià)的檢驗(yàn):

在模型中排除某一個(gè)解釋變量Xj，估計(jì)模型，如果擬合優(yōu)度與包含Xj時(shí)十分接近，則說明Xj與其它解釋變量之間存在共線性。(2)逐步回歸法

以Y為被解釋變量，逐個(gè)引入解釋變量，構(gòu)成回歸模型，進(jìn)行模型估計(jì)。根據(jù)擬合優(yōu)度的變化決定新引入的變量是否可以用其它變量的線性組合代替，而不作為獨(dú)立的解釋變量。

如果擬合優(yōu)度變化顯著，則說明新引入的變量是一個(gè)獨(dú)立解釋變量；

如果擬合優(yōu)度變化很不顯著，則說明新引入的變量不是一個(gè)獨(dú)立解釋變量，它可以用其它變量的線性組合代替，也就是說它與其它變量之間存在共線性關(guān)系。四、克服多重共線性的方法

1、第一類方法：排除引起共線性的變量

找出引起多重共線性的解釋變量，將它排除出去，是最為有效的克服多重共線性問題的方法。以逐步回歸法得到最廣泛的應(yīng)用。注意：剩余解釋變量參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義和數(shù)值都發(fā)生了變化。2、第二類方法：差分法

對于以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為樣本、以直接線性關(guān)系為模型關(guān)系形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，將原模型變換為差分模型

Yi=1X1i+2X2i++kXki+i可以有效地消除存在于原模型中的多重共線性。

一般講，增量之間的線性關(guān)系遠(yuǎn)比總量之間的線性關(guān)系弱得多。例如：在中國消費(fèi)模型中的2個(gè)變量：

由表中的比值可以直觀地看到，兩變量增量的線性關(guān)系弱于總量之間的線性關(guān)系。

進(jìn)一步分析：

Y與C(-1)之間的判定系數(shù)為0.9845，△Y與△C(-1)之間的判定系數(shù)為0.7456。

一般認(rèn)為：兩個(gè)變量之間的判定系數(shù)大于0.8時(shí)，二者之間存在線性關(guān)系。所以，原模型經(jīng)檢驗(yàn)地被認(rèn)為具有多重共線性，而差分模型則可認(rèn)為不具有多重共線性。3、第三類方法：減小參數(shù)估計(jì)量的方差

多重共線性的主要后果是參數(shù)估計(jì)量具有較大的方差，所以采取適當(dāng)方法減小參數(shù)估計(jì)量的方差，雖然沒有消除模型中的多重共線性，但確能消除多重共線性造成的后果。

例如，增加樣本容量，可使參數(shù)估計(jì)量的方差減小。

再如：嶺回歸法（RidgeRegression）

70年代發(fā)展的嶺回歸法，以引入偏誤為代價(jià)減小參數(shù)估計(jì)量的方差，受到人們的重視。具體方法是：引入矩陣D，使參數(shù)估計(jì)量為

其中矩陣D一般選擇為主對角陣，即

D=aI(2.6.6)a為大于0的常數(shù)。

顯然，與未含D的參數(shù)B的估計(jì)量相比，(2.6.5)的估計(jì)量有較小的方差。五、案例一：服裝市場需求函數(shù)□1、建立模型

根據(jù)理論和經(jīng)驗(yàn)分析，影響居民服裝類支出的主要因素有：可支配收入、居民流動(dòng)資產(chǎn)擁有量、服裝價(jià)格指數(shù)、物價(jià)總指數(shù)。已知某地區(qū)的有關(guān)資料，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，建立線性服裝消費(fèi)支出模型：

Y=

0+1X+2K+3P1+4P0+2、樣本數(shù)據(jù)

由于R2較大且接近于1，而且F=638.4，大于臨界值：F0.05(4,5)=15.19，故認(rèn)為服裝支出與上述解釋變量間總體線性關(guān)系顯著。但由于參數(shù)K的估計(jì)值的t檢驗(yàn)值較?。ㄎ茨芡ㄟ^檢驗(yàn)），故解釋變量間存在多重共線性。3、估計(jì)模型（2）檢驗(yàn)簡單相關(guān)系數(shù)各解釋變量間存在高度相關(guān)性，其中尤其以P1，P0間的相關(guān)系數(shù)為最高。（3）找出最簡單的回歸形式可見，應(yīng)選①為初始的回歸模型。（4）逐步回歸

將其他解釋變量分別導(dǎo)入上述初始回歸模型，尋找最佳回歸方程。4、討論：

①在初始模型中引入P1，模型擬合優(yōu)度提高，且參數(shù)符號合理，但P1的t檢驗(yàn)未通過；②再引入K，擬合優(yōu)度雖有提高，但K與P1的t檢驗(yàn)未能通過，且X與P1的t檢驗(yàn)值及F檢驗(yàn)值有所下降，表明引入K并未對回歸模型帶來明顯的“好處”，K可能是多余的；③去掉K，加入P0，擬合優(yōu)度有所提高，且各解釋變量的t檢驗(yàn)全部通過，F(xiàn)值也增大了。④將4個(gè)解釋變量全部包括進(jìn)模型，擬合優(yōu)度未有明顯改觀，K的t檢驗(yàn)未能通過，K顯然是多余的。

5、結(jié)論回歸方程以Y=f(X,P1,P0)為最優(yōu)：

Y=-12.45+0.10X-0.19P1+0.31P01、OLS估計(jì)結(jié)果五、案例二：中國消費(fèi)函數(shù)模型2