教案教學(xué)基本信息課題利用平方差公式因式分解學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級(jí)七年級(jí)教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及應(yīng)用條件；2.會(huì)運(yùn)用平方差公式分解因式；3.在課程中發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體思想.教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用平方差公式分解因式教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確確定公式中的，教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入abb請(qǐng)同學(xué)們看這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在邊長(zhǎng)為的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，剩下的部分能否只剪一次，再拼成一個(gè)我們熟悉的規(guī)則幾何圖形？abbaabbabab在邊長(zhǎng)為的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，剩下的部分是圖中藍(lán)色的圖形它不是一個(gè)規(guī)則的圖形，如何將它剪拼成一個(gè)規(guī)則圖形呢?觀察這個(gè)圖形可以得到這兩條邊的長(zhǎng)度都是，我們aabbababbbaabaabbabab還有其他的剪拼方法嗎？我們可以沿著正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)做一條剪切線，得到兩個(gè)完全一樣的直角梯形，將這兩個(gè)直角梯形這樣拼在一起，得到一個(gè)大長(zhǎng)方形.還aabbababbbaabaaabbabbbaab分別計(jì)算它們的面積，可以得到怎樣的等式呢？剪拼前圖形的面積為，分別計(jì)算剪拼后的長(zhǎng)方形、平行四邊形和等腰梯形的面積均為，由剪拼前后圖形面積不變，我們得到了，請(qǐng)觀察這個(gè)等式，你熟悉嗎？對(duì)，它恰好是把我們前面整式乘法中學(xué)習(xí)過(guò)的平方差公式反過(guò)來(lái)，由于這個(gè)等式左邊為多項(xiàng)式，右邊為兩個(gè)整式乘積的形式，這個(gè)變形符合因式分解的定義.這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的因式分解中的平方差公式.體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系及整體性，回顧舊知識(shí)，引出新知識(shí).新課本節(jié)課主要概念和原理由于整式乘法與因式分解是相反方向的變形，所以，從左到右的變形為因式分解，從右到左的變形為整式乘法.因式分解中的平方差公式：文字表述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.aaabb前面完成的aaabb為了更好的運(yùn)用平方差公式分解因式，下面我們來(lái)分析公式的結(jié)構(gòu)特征.左邊：①兩項(xiàng)式②符號(hào)相反③均為平方形式右邊：這兩數(shù)和×這兩數(shù)差對(duì)照平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，我們來(lái)做一道判斷題.判斷下面的多項(xiàng)式是否可以用平方差公式分解因式，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）.分析：先來(lái)看第一題，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，但兩項(xiàng)都是正的符號(hào)相同，不符合平方差公式中兩項(xiàng)符合相反的結(jié)構(gòu)特征，所以不能用平方差公式分解因式.再看第二題，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且都為平方形式，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，所以可以用平方差公式因式分解.它與平方差公式在形式上一樣嗎？不一樣,這個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)是負(fù)的第二項(xiàng)是正的，所以，能否運(yùn)用平方差公式分解因式與兩項(xiàng)所在的位置無(wú)關(guān)，只要符合公式結(jié)構(gòu)特征就可以利用公式分解因式.接著看第三題這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，但兩項(xiàng)都是負(fù)的符號(hào)相同，不符合平方差公式中兩項(xiàng)符號(hào)相反的結(jié)構(gòu)特征，所以不能用平方差公式分解因式.最后看第四題，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反，但是第一項(xiàng)不能寫成平方形式，不符合平方差公式中兩項(xiàng)均為平方項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，所以不能用平方差公式分解因式.通過(guò)以上的例題我們可以知道，要想用平方差公式進(jìn)行因式分解，式子的結(jié)構(gòu)特征必須滿足兩項(xiàng)式、符號(hào)相反且均為平方形式.①兩項(xiàng)式這兩數(shù)和×這兩數(shù)差②符號(hào)相反③均為平方形式總結(jié)，到目前為止我們學(xué)過(guò)的因式分解的方法有兩種：一、提公因式法；二、公式法平方差公式.分析公式結(jié)構(gòu)特征及運(yùn)用平方差公式分解因式的應(yīng)用條件，熟練掌握公式.例題例題解析例.把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）分析：觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解.這個(gè)多項(xiàng)式是的形式，其中為，為，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，x為公式中的，4為公式中的b,代入公式分解得到.判斷觀察解：（1）判斷觀察寫成的形式確定寫成的形式確定，代入公式分解代入公式分解完整解題過(guò)程：解：（1）解：（2）分析：觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解.不是平方形式，逆用積的乘方運(yùn)算性質(zhì)可以得到然后把它寫成的形式確定，，其中為，為，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，2m為公式中的，n為公式中的b,代入公式分解得到.完整的解題過(guò)程：解：（2）小結(jié)：通過(guò)這兩道題的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們思考對(duì)于形式的兩項(xiàng)式運(yùn)用平方差公式分解因式的關(guān)鍵是什么呢？關(guān)鍵是觀察對(duì)照公式，找準(zhǔn)，.要想找準(zhǔn)，，關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式中誰(shuí)相當(dāng)于公式中的，誰(shuí)相當(dāng)于公式中的.解：（3）分析：觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解.81不是平方形式，可以寫成92，然后把它寫成的形式確定，.這個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)，我們有兩種處理方法.方法一：通常先提出負(fù)號(hào)，將寫成，注意括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要改變符號(hào)，再寫成，其中為，為，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，m為公式中的，9為公式中的b,代入公式分解得到.完整的解題過(guò)程：解：（3）方法二：也可以直接利用加法交換律寫成，再寫成，其中為，為，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，9為公式中的，m為公式中的b,代入公式分解得到.完整的解題過(guò)程：解：（3）小結(jié)：遇到首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出負(fù)號(hào)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要改變符號(hào)，也可以利用加法交換律交換兩個(gè)加數(shù)的位置，兩種處理方法都可以，因?yàn)榕c互為相反數(shù)，所以兩種方法分解的結(jié)果也是相等的，在解題時(shí)要根據(jù)題目的特征靈活選擇.解：（4）分析：觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解.不是平方形式，逆用積的乘方運(yùn)算性質(zhì)可以得到然后把它寫成的形式確定，，其中為，為，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，1為公式中的，5xy為公式中的b,代入公式分解得到.完整的解題過(guò)程：.小結(jié)：通過(guò)上面四道題的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們思考利用平方差公式分解因式的基本思路是什么呢？利用平方差公式分解因式的基本思路：首先觀察是否有公因式，若沒(méi)有，再判斷是否符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，若符合就將多項(xiàng)式化為的形式，再找準(zhǔn)公式中的，，最后代入公式分解.例.把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）.解：（1）分析：按照剛剛總結(jié)的因式分解的思路，我們首先觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，再判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解，是的形式，是公式中，誰(shuí)是公式中的呢？整體的平方是公式中的，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，z是公式中的，這個(gè)整體是公式中的b,代入公式分解得到，這個(gè)結(jié)果的兩個(gè)因式中既有小括號(hào)又有中括號(hào)，應(yīng)該利用去括號(hào)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，括號(hào)前面是加號(hào)的去掉括號(hào)和它前面的加號(hào)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不改變符號(hào)，括號(hào)前面是減號(hào)的去掉括號(hào)和它前面的減號(hào)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都改變符號(hào)，得到完整的解題過(guò)程：解：（1）小結(jié)：要觀察整體，利用“整體代換”的方法確定公式中的，（表示多項(xiàng)式）.因式分解的結(jié)果只保留小括號(hào)，正確運(yùn)用去括號(hào)法則.解：（2）分析：按照因式分解的思路，我們首先觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，再判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解，是的形式，誰(shuí)是公式中的，誰(shuí)是公式中的呢？整體的平方是，整體的平方是，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，這個(gè)整體是公式中的，這個(gè)整體是公式中的b,代入公式分解得到，這個(gè)結(jié)果的兩個(gè)因式中既有小括號(hào)又有中括號(hào)，應(yīng)該利用去括號(hào)法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，觀察這兩個(gè)因式都有同類項(xiàng)應(yīng)該合并同類項(xiàng)，得到，繼續(xù)觀察這兩個(gè)因式分解徹底了嗎？第一個(gè)因式出現(xiàn)了公因式5，應(yīng)該提取公因式得到，第二個(gè)因式首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)我們有兩種處理方法，方法一：提出負(fù)號(hào)，得到方法二：利用加法交換律交換順序，得到完整的解題過(guò)程：方法一解：（2）方法二解：（2）小結(jié)：觀察整體，利用“整體代換”的方法確定公式中的，（表示多項(xiàng)式，表示多項(xiàng)式）.因式分解要徹底，分解到每個(gè)因式都不能再分解為止，分解過(guò)程中產(chǎn)生的公因式要提出來(lái).能合并同類項(xiàng)要合并同類項(xiàng).解：（3）分析：按照因式分解的思路，我們首先觀察這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，再判斷是否能運(yùn)用平方差公式分解，這個(gè)多項(xiàng)式是兩項(xiàng)式，兩項(xiàng)符號(hào)相反且均為平方形式，這符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，能用平方差公式分解，如何寫成的形式呢？逆用積的乘方運(yùn)算性質(zhì)，，整體的平方是，是，對(duì)于運(yùn)用平方差公式分解為，這個(gè)整體是公式中的，是公式中的b,代入公式分解得到，去掉小括號(hào)化簡(jiǎn)得到，最后合并同類項(xiàng)得到.完整的解題過(guò)程：解：（3）小結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們思考平方差公式中的，可以表示什么呢？我們來(lái)回顧一下剛才的兩組例題.平方差公式中的，可以表示任何數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.下面我們繼續(xù)看一組例題.例.把下列各式分解因式：（1）；（2）.解：（1）分析：觀察沒(méi)有公因式，判斷式子結(jié)構(gòu)符合平方差公式特征兩項(xiàng)式、符號(hào)相反、均為平方形式，如何寫成的形式呢？逆用冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)，，，誰(shuí)是公式中的，誰(shuí)又是公式中的呢？相當(dāng)于公式中的，所以是公式中的，相當(dāng)于公式中的，所以是公式中的，然后代入公式分解得到，觀察這兩個(gè)因式，分解徹底了嗎？其中依然符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征，可以繼續(xù)分解.完整的解題過(guò)程：解：（1）小結(jié)：這道題兩次應(yīng)用了平方差公式分解，因式分解徹底，分解到每個(gè)因式都不能再分解為止，有時(shí)需要反復(fù)應(yīng)用公式.解：（2）分析：觀察有公因式，應(yīng)該先提取公因式，再判斷因式符合平方差公式結(jié)構(gòu)特征兩項(xiàng)式、符號(hào)相反、均為平方形式，可以繼續(xù)運(yùn)用平方差公式分解，得到完整的解題過(guò)程：解：（2）小結(jié)：這道題有公因式，應(yīng)該先提取公因式再考慮運(yùn)用平方差公式分解.通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們思考將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解需要哪幾步呢？總結(jié)：將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的步驟：觀察是否有公因式，如果有公因式要先提取公因式；判斷是否能用平方差公式分解；若能用，代入平方差公式分解；檢驗(yàn)結(jié)果中的各因式是否分解徹底；對(duì)于沒(méi)有分解徹底的因式要繼續(xù)分解，分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.通過(guò)前面例題的學(xué)習(xí)相信同學(xué)們對(duì)運(yùn)用平方差公式因式分解的基本思路和解題步驟有了更深入的理解.接下來(lái)我們看典型失誤分析.典型失誤分析判斷下列因式分解是否正確，如果不正確請(qǐng)改正.涉及的知識(shí)要素：1.因式分解概念2.因式分解的方法3.積的乘方運(yùn)算性質(zhì)4.平方差公式的概念解題思路：觀察式子結(jié)構(gòu)特征是否有公因式是否可用平方差公式寫成的形式確定，代入平方差公式分解正確的解題過(guò)程：解：這道題在將多項(xiàng)式寫成的形式時(shí)，由于寫錯(cuò)了，所以不能正確找到公式中的，導(dǎo)致分解錯(cuò)誤.2y是公式中的b，而不是4y，所以這個(gè)因式分解不正確.運(yùn)用平方差公式解決較簡(jiǎn)單的因式分解問(wèn)題.訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用的能力，鞏固提高形成技能，體會(huì)整體思想?？偨Y(jié)1.因式分解中的平方差公式：，公式中的，可以表示任何數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.2.平方差公式結(jié)構(gòu)特征：①兩項(xiàng)式這兩數(shù)和×這兩數(shù)差②符號(hào)相反③均為平方形式3.把一個(gè)多