第2章2.5.2圓的一般方程課標(biāo)要求1.掌握?qǐng)A的一般方程,能夠進(jìn)行圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化;2.了解二元二次方程表示圓的條件.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程我們將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(

>0)叫作圓的一般方程.

沒(méi)有xy項(xiàng)

名師點(diǎn)睛1.圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式,其方程是一種特殊的二元二次方程,圓心和半徑長(zhǎng)需要代數(shù)運(yùn)算才能得出,且圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點(diǎn):(1)x2,y2項(xiàng)的系數(shù)均為1;(2)沒(méi)有xy項(xiàng);(3)D2+E2-4F>0.D2+E2-4F2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形

方程條件方程的解的情況圖形x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F<0沒(méi)有實(shí)數(shù)解不表示任何圖形D2+E2-4F=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解表示一個(gè)點(diǎn)D2+E2-4F>0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解表示以點(diǎn)

為圓心,以

為半徑的圓過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)方程x2+y2+2x+1=0表示圓.(

)(2)當(dāng)B=0時(shí),方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0一定表示圓.(

)(3)若D2+E2-4F>0,點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外的充要條件是

+Dx0+Ey0+F>0.(

)2.A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的什么條件?××√提示必要不充分條件.若方程表示圓,則應(yīng)滿足三個(gè)條件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一圓的一般方程的理解【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和圓的面積;(3)若原點(diǎn)在方程表示的圓外,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析

根據(jù)方程表示圓的條件求解.規(guī)律方法

1.判斷形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程是否為圓的方程的方法形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,若成立則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.2.點(diǎn)與圓的一般方程之間的關(guān)系[提醒]求解含參數(shù)的圓的一般方程的易錯(cuò)點(diǎn).不要忘記x2+y2+Dx+Ey+F=0中D2+E2-4F>0的條件.變式訓(xùn)練1(1)若方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A.(-2,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)D解析

由方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圓,則(-2)2-4(m2-m+1)>0,解得0<m<1.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1).故選D.(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是

,半徑是

.

(-2,-4)5解析

由題可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.當(dāng)a=-1時(shí),方程為x2+y2+4x+8y-5=0,該方程表示圓,配方可得(x+2)2+(y+4)2=25.因此該圓的圓心坐標(biāo)為(-2,-4),半徑為5.當(dāng)a=2時(shí),方程不表示圓.(3)若原點(diǎn)在圓x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0的外部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

探究點(diǎn)二待定系數(shù)法求圓的一般方程【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解

(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.規(guī)律方法

待定系數(shù)法求圓的兩種方程的解題策略

已知條件方程形式方程的量圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法求出a,b,r已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系一般方程待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F變式訓(xùn)練2求圓心在直線y=x上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:圓的一般方程的性質(zhì)2.方法歸納:將圓的一般方程利用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求圓心與半徑,利用定義法結(jié)合D2+E2-4F>0判斷是否表示圓,待定系數(shù)法求圓的一般方程.3.注意事項(xiàng):求解二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的問(wèn)題要注意三個(gè)條件(A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0)缺一不可.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1234561.圓的方程為x2+y2+x+2y-10=0,則圓心坐標(biāo)為(

)D123456C解析

將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-)2+(y+1)2=3,半徑為

.故選C.1234563.已知圓x2+y2+x+4y-m=0的半徑為,則m的值為(

)A.1 B.2

C.-4 D.8C1234564.點(diǎn)P(1,-2)和圓C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置關(guān)系是點(diǎn)P在

(填圓上,圓內(nèi),圓外).

圓外解析

將點(diǎn)P(1,-2)代入圓的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,故點(diǎn)P在圓外.1234565.若方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)表示圓,則圓心坐標(biāo)為

,實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-1,2)(-∞,5)解析

將方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)配方,得(x+1)2+(y-2)2=5-m.若方程表示圓,則圓心坐標(biāo)是(-1,2),并且5-m>0,解得m<5,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,5).1234566.下列方程能否表示圓?若能表示,求出圓心和半徑.(1)2x2+y2-7x+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-4x=0.123456解

二元二次方程只有能轉(zhuǎn)化為x2+y2+Dx+Ey+F=0且D2+E2-4F>0才表示圓