專練05三角形中的最值問題

1.幾何探討題

（1）發(fā)覺：在平面內，若AB=a,BC=b,其中b>a.

當點4在線段BC上時，線段AC的長取得最小值，最小值為；

當點A在線段CB耽誤線上時，線段AC的長取得最大值，最大值為.

（2）應用：點A為線段8c外一動點，如圖2,分別以AB、AC為邊，作等邊△AB。和等邊△ACE,

毗鄰CD、BE.

①證明：CD=BE:

②若BC=5,AB=2,則線段BE長度的最大值為.

（3）拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,點8的坐標為（7,0）,點尸

為線A8外一動點，且P4=2,PM=PB,/BPM=90。.請直接寫出線段AM長的最大值及此時

點尸的坐標.

【答案解析】（1）???當點A在線段BC上時，線段AC的長取得最小值，最小值為BC-AB.

VBC=b,AB=a,

/.BC-AB=b-a,

當點A在線段CB耽誤線上時，線段AC的長取得最大值，最大值為BC+AB,

VBC=b,AB=a,

BC+AB=b+a,

故答案為：b-a,b+a；

(2)解:①CD=BE,來由：:△ABD與△ACE是等邊三角形，；.AD=AB,AC=AE,

ZBAD=ZCAE=60°,AZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=/EAB,在△CAD與△EAB中,

AD=AB

{/.CAD=^EAB,.,.△CAD^AEAB(SAS),/.CD=BE；7

AC=AE

②?.?線段BE長的最大值=線段CD的最大值，

...由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的耽誤線上，

最大值為BE=CD=BD+BC=AB+BC=5+2=7；

故答案為：7.

(3)解：最大值為5+2V2;

/.P(2-V2,V2)

如圖1,毗鄰BM,

圖1

,/將4APM繞著點P順時針旋轉90。得至必PBN,毗鄰AN,則4APN是等腰直角三角形,

，PN=PA=2,BN=AM,

TA的坐標為（2,0）,點B的坐標為（7,0）,

；.AO=2,OB=7,

AB=5,

.??線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

...當N在線段BA的耽誤線時，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2V2,

???最大值為5+2V2;

如圖2,過P作PEJ_x軸于E,

???△APN是等腰直角三角形,

，PE=AE=V2,

.,.OE=OA-AE=2-V2,

.*.P(2-V2,V2).

2.閱讀下列材料，解決提出的問題:

【最短路徑問題】

如圖（1）,點A,B分別為直線1異側的兩個點，若何在直線1上找到一個點C,使得點C到點

A,點B的間隔和最短？我們只需毗鄰AB,與直線1訂交于一點，可知這個交點即為所求.

如圖（2）,參加點A,B分別為直線1同側的兩個點，若何在1上找到一個點C,使得這個點到點

A、點B的間隔和最短？我們可以操縱軸對稱的性質，作出點B關于的對稱點B，，這時對于直線1上

的任一點C,都連結CB=CB:從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）.是以，線段AB，與直線1的交點C

的位置即為所求.

為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C，，毗鄰AC,BC\B'C\

因為AB'WAC'+C'B',；.AC+CBWAC，+C，B,即AC+BC最小.

（1）【數(shù)學摸索】

材料中劃線部分的依據(jù)是.

（2）材料中解決圖（2）所示問題表現(xiàn)的數(shù)學思想是.（填字母代號即可）

A.轉化思想B.分類會商思想C.整體思想

（3）【遷移應用】

如圖3,在ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,點P為C邊上的動點，點D為AB邊上的動

點，若AB=6cm,求BP+DP的最小值.

【答案解析】（1）兩點之間線段最短大概三角形任何兩邊的和大于第三邊

（2）A

（3）解：如圖，作點B關于點C的對稱點B，，毗鄰AB）作于H.

作點D關于AC的對?稱點D：則PD=PD；

???PB+PD=PB+PD',

根據(jù)垂線段最短可知，當點D，與H重合，B,P,D共線時，PB+PD的最小值=線段BH的長,

VBC=CB；AC±BB；

.??AB=AB；

???NBAC=NCAB』15。，

AZBAH=30°,

在RSABH中，VAB=3cm,NBAH=30。，

BH=-AB=3cm,

2

???PB+PD的最小值為3cm

3.如圖

(I)性質：角平分線上的點到角兩邊的間隔相等，如圖1:OP平分/MON,PCJ_OM于C,PB±ON

于B,則PBPC（填“>”“〈”或“=”）；

⑵探索：如圖2,小明發(fā)覺，在“BN,AD是NBAC的平分線，則黑藍，請幫小明說

明緣故.

(3)應用：如圖3,在小區(qū)三條交叉的道路AB,BC,CA上各建一個菜鳥驛站D,P,E,工作人

員天天來回的路徑為P-D-E-P,

①問點P應選在BC的那邊時，才能使PD+DE+PE最?。?/p>

②若/BAC=30。，SAABC=10,BC=5,則PD+DE+PE的最小值是幾？

【答案解析】(D?.,OP平分NMON,PCJ_OM于C,PBJ_ON于B,

(2)解：來由：過點D作DELAB于E,DF1AC于F

E

F

???AD是NBAC的平分線，

ADE=DF

-DE,AB.—

?rSAABDDn_2________AB.

??一］一;

SAADC-DFACAC

（3）解:①過點A作APLBC于P,分別作點P關于AB、AC的對稱點Pl、P2,毗鄰P1P2分別

交AB、AC于D、E,毗鄰PD、PE,API、AP2,

由對稱的性質可得AP1=AP=AP2,DP1=DP,EP2=EP,

/.PD+DE+PE=DP1+DE+EP2=P1P2,根據(jù)兩點之間，線段最短和垂線段最短，即可得出此時

PD+DE+PE最小，即P1P2的長

即當AP1BCTP時，PD+DE+PE最??；

@VSAABC=IO,BC=5,

1

:.士BCAP=10

2

解得:AP=4

由對稱的性質可得AP1=AP=AP2=4,DP1=DP,EP2=EP,ZDAPI=ZDAP,ZEAP2=ZEAP

ZDAPI+NEAP2=NDAP+NEAP=/DAE=30°

，NP1AP2=6O°

.?.△P1AP2是等邊三角形

；.P1P2=API=4

即PD+DE+PE的最小值是4.

4.如圖

(1)探索1：如圖1,點A是線段BC外一動點，若AB=2,BC=4,填空：當點A位于

線段AC長取得最大值，且最大值為、

(2)探索2:如圖2,點A是線段BC外一動點，且AB=1,BC=3,分別以AB、BC為直角

邊作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形CBE,毗鄰AC、DE.

①請找出圖中與AC相等的線段，并說明來由;

②直接寫出線段DE長的最大值;

(3)如圖3,在平面直角坐標系中，已知點A(2,0)、B(5,0),點P、M是線段AB外

的兩個動點，且PA=2,PM=PB,/BPM=90。，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

(提示：在圖4中作PN±PA,PN=PA,毗鄰BN后，操縱探索1和探索2中的結論，可以解決

這個問題)

【答案解析】(1)???點A為線段BC外一動點，且AB=2,BC=4,

二當點A位于CB的耽誤線上時，線段AC的長取最大值，最大值為2+4=6,

故答案是：CB的耽誤線上，6；

(2)解:①：AABD和ACBE是等腰直角三角形，

二AB=DB,CB=EC,zABD=zCBE=90°,

二4ABD-ZABE=ZCBE-ZABE,即ZDBE=ZABC,

在△BAC和△BDE中，

BA=BD

{4ABC=ZDBE,

BC=BE

△BAC=△BDE(SAS),

二AC=DE；

②由(1)知AC的最大值是AB+BC=4,

DE=AC,

.??DE長的最大值是4；

類比應用：

(3)解：如圖，過點P作PNJ_PA,PN=PA,毗鄰BN,

根據(jù)(2)中的方式，同理可以證明AAMPmANBP,

/.AM=BN,

當點N在線段BA的耽誤線上時，線段BN取最大值，也就是線段AM取最大值，最大值是AB+

AN,

???A(2,0),B(5,0),

AB=3,

AAPN是等腰直角三角形,

,AN=V2AP=2V2,

，最大值是2衣+3,

如圖，過點P作PElx軸于點E,

?；AAPN是等腰直角三角形，

PE=AE=夜，

OE=BO-AB-AE=5-3-V2=2-V2,

P(2-V2,V2),

如圖，點P也有大概在x軸下方，與方才的點P關于x軸對稱,

P(2-V2,-V2),

綜上：點P的坐標是(2-V2,V2)或(2-V2,-V2).

5.在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6&,D是射線CB上的動點，過點A作AF±AD

(AF始終在AD上方)，且AF=AD,毗鄰BF

(1)如圖1,當點D在線段BC上時，BF與DC的關系是.

(2)如圖2,若D、E為線段BC上的兩個動點，且NDAE=45。，毗鄰EF,DC=3,求ED的長.

(3)若在點D的運動過程中，BD=3,則AF=.

(4)如圖3,若M為AB中點，毗鄰MF,在點D的運動過程中，當BD=時，MF的長最

?。孔钚≈凳?

【答案解析】(1)當點D在線段BC上時,

VAF=AD,ZBAF=90°-zBAD=ZDAC,AB=AC

FAB2DAC(SAS)

.1?BF=DC

(2)解：：AE=AE,4EAF=9(T-NDAE=45O=4EAD,AF=AD,

FAE三&DAE(SAS)

ED=EF=3

(3)BD=3,設AG為BC邊上的高，G為垂足，

在等腰RtAABC中，G為BC的中點,

AF=AD=VAG2+DG2=762+(6-3)2=3式

(4)點F的軌跡是過點B,且垂直于BC的射線，根據(jù)垂線段最短的性質，當MF1BF時，線

段MF最短，

又因為BC1BF,Z.ABC=45°,ZFBD=90°

BFM為等腰直角三角形,

V2V2ABV2

MF=BF=—BM=—x—=—x6v2=3

2224

BD=BC-DC=12-3=9

此時MF=3.

(1)發(fā)覺

如圖①所示，點A為線段BC外的一個動點，且BC=a,AB=b.填空：當點A位于時，線段

AC的長取得最大值，且最大值為(用含a、b的式子示意).

(2)應用

點A為線段BC外一個動點，且BC=4,AB=1.如圖②所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD

和等邊三角形ACE,毗鄰CD,BE.

①找出圖中與BE相等的線段，并說明來由；

②直接寫出線段BE長的最大值

（3）拓展

如圖③所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,點B的坐標為（6,0）,點P為線

段AB外一個動點，且PA=2,PM=PB,/BPM=90。.請直接寫出線段AM的最大值________及此時點P

的坐標.

【答案解析】（1）;點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,

當點A位于CB的耽誤線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b,

故答案為：CB的耽誤線上；a+b：

（2）解:①CD=BE；

來由：?/△ABD與△ACE是等邊三角形，

.?.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/CAD=NEAB,

在△CAD與△EAB中，

AD=AB

{△CAD=4EAB,

AC=AE

.".△CAD^AEAB,

②?.?線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

由（1）知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的耽誤線上，

.??最大值為BD+BC=AB+BC=5

故答案為：5；

（3）；將△APM繞著點P順時針旋轉90。得到△PBN,毗鄰AN,

則△APN是等腰直角三角形，

，PN=PA=2,BN=AM,

的坐標為（2,0）,點B的坐標為（6,0）,

AOA=2,OB=6,

二AB=4,

二線段AM長的最大值=線段BN氏的最大值,

...當N在線段BA的耽誤線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2y/2,

，AM長的最大值為2V2+4：

如圖2,當點P在第一象限時，過P作PELx軸于E.

圖2

：△APN是等腰直角三角形,

PE=AE=V2,

.?.OE=OA-AE=2-V2,

，P(2-V2,V2);

如圖3,當點P在第四象限時,

圖3

根據(jù)對稱性可知，P(2-V2,-V2)也吻合題意

綜上：點P的坐標為(2-y/2,V2)或(2-V2,-V2)

故答案為：2夜+4；(2-V2,或)或(2-血，-&).

7.在等腰RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=AC=6近，。是射線CB上的動點，過點A

作力F_L4。(4F始終在4。上方)，且=毗鄰8F.

(1)如圖1,當點。在線段BC上時，BF與CC的關系是；

(2)如圖2,若點D,E為線段BC上的兩個動點，且4ZME=45。，毗鄰EF,DC=3,

求ED的長；

(3)若在點。的運動過程中，BD=3,則AF=；

(4)如圖3,若M為4B中點，毗鄰MF,在點。的運動過程中，當BD=吐

MF的長最??？最小值是.

【答案解析】(D長度相等

(2)5

(3)3V5

(4)9；3

【試題解答】(1),/AF1AD

ZDAF=90°

ZBAC=90°

ZCAD=ZBAC-ZBAD=ZDAF-ZBAD=ZBAF

即/CAD=NBAF

,/AB=AC,AF=AD

.".△ADC^AAFB,

...BF=DC

故答案為：長度相等；

(2)由(1)可知AADC/△AFB,

?/zDAE=45°,zBAC=90°

???ZCAD+ZBAE=45°

?/ZCAD=ZBAF

/.ZBAF+ZBAE=45°

AZFAE=45°=ZDAE

VAD=AF,AE=AE

AAAED^AAEF,得至ljEF=DE,設DE=x,

丁ZBAC=90°,AB=AC=6V2,

：.BC=VAB2+AC2=12,NC=NABC=45。，

AZABF=ZC=45O

???ZFBE=90°

???△BEF是直角三角形，

VEF=DE=x,CD=3

ABE=9-x,BF=CD=3

在RtABEF中，EF2=BF2+BE2,

即x2=32+(9-x)2,

解得x=5

即DE的長為5；

(3)如圖，過A點作AHLBC于H點,

:△ABC為的等腰直角三角形

AAH是△ABC的中線，

/.AH=-BC=6

2

VBD=3,

/.DH=BH-BD=3

二AD=VAH2+DH2=3V5

，AF=3V5

故答案為：3圾:

(4)如圖，取AC中點M，，故BM=CM，

F

■:NFBM=NC,BF=CD

AMF=M'D,

故當M，D最短時，則MF最短,

作M'DLBC于D，點,

則AChM，是等腰直角三角形,M'C=iAC=3V2

設CD，=D，M，=a

a2+a2=(3V2)2

解得a=3(負值舍去)

，CD，=3

故此時BD=12-3=9,MF=D'M'=3

故答案為：9；3.

8.如圖1,已知直線1的同側有兩個點A,B,在直線1上找一點P,使P點到A,B兩點的間隔之和

最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線1的對稱點,對稱點與另一點的連線

與直線1的交點就是所要找的點，通過這種方式可以求解無數(shù)問題

（1）如圖2,在平面直角坐標系內，點A的坐標為（1,1）,點B的坐標為（5,4）,動點P在x

軸上，求PA+PB的最小值；

（2）如圖3,在銳角三角形ABC中，AB=8,ZBAC=45°,/BAC的角平分線交BC于點D,M、N

分別為AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為

（3）如圖4,ZAOB=30°,0C=4,OD=10,點E,F分別為射線OA,0B上的動點，則

CF+EF+DE的最小值為

【答案解析】（1）解：如圖2:作點A關于x軸的對稱點A'（l,-1）,連A'B交x軸于點P,

APA+PB的最小值就是A'B的長,

,:二（1,-1）,點B的坐標為（5,4）,

'A，B=J(1-5。+(-1-4尸=V41,,

...PA+PB的最小值為"I；

(2)：AD平分NBAC,

:.NCAD=NBAD,

；?直線AB與直線AC關于直線AD對稱，

如圖3,作點N關于直線AD的對稱點N，,毗鄰MN，,

MN=MN',

BM+MN=BM+MN',

當點B,點M,點N'三點共線，且BM垂直AC時，BM+MN的值最小,

，此時，BN'_LAC,

???ZCAB=45°,

NABN'=45°,

AN'=BN',

vAB—8,

由NZA2+NZB2=AB2=64,

N'B2=32,

BN，=4V2(負根舍去)

所以此時：BM+MN=BN，=4或，

.?.BM+MN的最小值為4A/2,

故答案為4A/2;

(3)如圖4,過作點C關于OB的對稱點C,作點D關于OA的對稱點D',毗鄰C'D，交OA

于點E,交OB于點F,

,CF+EF+DE=C'F+EF+D'E,

由兩點之間，線段最短，可得CF+EF+DE的最小值為C,D,,

毗鄰CU交0B于點G,毗鄰D。交OA于點N,

過點D'作D'P10B于P,作D'H1CCZ于點H,

ZAOB=30°,OC=4,OD=lO,CC'1OB,DD'1OA,

CG=|OC=2=UG,OG=V42-22=2?

DN=DfN=|OD=5,NODN=60。,

:.DD'=10/PD'D=30°,

1/

???PD=扣》=5=OP,DZP=V102-52=5V3,

D'H=PG=OP-OG=5—2V3,

C'H=C'G+GH=C'G+PD'=2+573,

-?C'D'=

所以CF+EF+DE的最小值為2的.

故答案為：2回.

9.發(fā)覺規(guī)律:

（1）如圖①，4ABe與△ADE都是等邊三角形，直線BD,CE交于點F.直線BD,AC交于點

H.求乙BFC的度數(shù)

（2）已知：AABC與△ADE的位置如圖②所示，直線BD,CE交于點F.直線BD,AC交于點

H.若AABC=AADE=a,4ACB=^AED=0,求乙BFC的度數(shù)

E

圖②

（3）如圖③，在平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點M的坐標為（3,0）,N為y軸上

一動點，毗鄰MN.將線段MN繞點M逆時針旋轉60°得到線段MK,毗鄰NK,OK,求線

段OK長度的最小值

【答案解析】（D解：:AABC與4ADE是等邊三角形

，AB=AC,AD=AE,zBAC=zDAE=4ABe=zACB=60°

，ZBAD=ZCAE

???△BAD=△CAE(SAS)

???4ABD=NACE

?/ZABD+ZDBC=ZABC=60°

/.ZACE4-ZDBC=60°

/.ZBFC=180°-ZDBC-zACE-zACB=60°；

(2)解：ZABC=ZADE=a,zACB=zAED=0

**?△ABCADE

ABAC

，ZBAC=ZDAE,=—

ADAE

AB_AD

：.zBAD=zCAE,

AC-AE

**?△ABDACE

/.ZABD=ZACE

丁zBHC=4ABD+zBAC=zBFC+4ACE

???zBFC=zBAC

?:ZBAC+4ABe+ZACB=180°

:.zBFC+a+0=180°

:.ZBFC=180°-a-p；

應用結論：

(3)解：???將線段MN繞點M逆時針旋轉60°得到線段MK

:.MN=MK,ZNMK=60°

???AMNK是等邊三角形

???MK=MN=NK,ZNMK=zNKM=ZKNM=60°

如下圖，將AMOK繞點M順時針旋轉60。，得至IJ/kMQN,毗鄰OQ

/.△MOK=△MQN,ZOMQ=60°

AOK=NQ,MO=MQ

???AMOQ是等邊三角形

???ZQOM=60°

???ZNOQ=30°

VOK=NQ

，當NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當QN^y軸時，NQ有最小值

???點M的坐標為(3,0)

??.OM=OQ=3

,:QN_Ly軸，Z.NOQ=30°

1a

NQ=|OQ=|

二線段OK長度的最小值為|.

10.如圖1,在等腰三角形4BC中，〃=120。,48=40點。、E分別在邊48、4c上，AD=

AE,毗鄰BE,點、M.N、P分別為DE、BE、BC的中點.

圖2

(1)察看料想

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關系是,AMNP的大小為:

(2)探討證明

把△力DE繞點A順時針方向旋轉到如圖2所示的位置，毗鄰MP、BD、CE,判斷△MNP的形狀,

并說明來由;

(3)拓展延伸

把&ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=1,AB=3,要求出△MNP面積的最大值.

【答案解析】⑴由題意知：AB=AC,AD=AE,且點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點,

ABD=CE,MN〃BD,NP〃CE,MN=|BD,NP=gEC

；.MN=NP

又：MN〃BD,NP〃CE,ZA=120°,AB=AC,

AZMNE=ZDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根據(jù)三角形外角和定理,

得NENP=NNBP+NNPB

丁NMNP二NMNE+NENP,NENP=NNBP+NNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

JZMNP=ZDBE+ZNBP+ZC

=ZABC+ZC=60°.

（2）解：△MNP是等邊三角形.

來由如下:

如圖，由旋轉可得ZBAD=ZCAE

在△ABD和△ACE中

AB=AC

{△BAD=ZCAE

AD=AE

???△ABD^AACE(SAS)

.??BD=CE,Z.ABD=ZACE.

??,點M、N分別為DE、BE的中點,

MN是△EBD的中位線,

1

???MN=-BD且MN//BD

同理可證PN=1CE且PN//CE

??.MN=PN,ZMNE=ZDBE,ZNPB=zECB

??,zMNE=zDBE=zABD+zABE=4ACE+乙ABE

ZENP=ZEBP+ZNPB=ZEBP+ZECB

???ZMNP=ZMNE+ZENP=zACE+zABE+zEBP+zECB

=ZABC+ZACB=60°.

在^NINP中

?rNMNP=60°,MN=PN

/.△MNP是等邊三角形.

(3)解：根據(jù)題意得：BDWAB+AD

即BD44,從而MN<2

△MNP的面積TMN《MN號MV?

?，.△MNP面積的最大值為V3.

11.在平面直角坐標系xoy中，等腰直角△ABC的直角極點C在y軸上，另兩個極點A,B在x

軸上，且48=4,拋物線經由A,B,C三點，如圖1所示.

(1)求拋物線所示意的二次函數(shù)表達式.

(2)過原點任作直線/交拋物線于M,N兩點，如圖2所示.

①求△CMN面積的最小值.

②已知Q(l,-|)是拋物線上必然點，問拋物線上是否存在點尸，使得點P與點。關于直線/

對稱，若存在，求出點尸的坐標及直線/的一次函數(shù)表達式；若不存在，請說明來由.

【答案解析】(1)解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

在等腰Rt△ABC中，0C垂直平分AB,且AB=4,

二OA=OB=OC=2.

:.A(-2,0)B(2,0)C(0,-2)

4a+2b+c=0

{4a—2b4-c=0,

c=-2

1

a=-

解得：｛b=i

c=-2

，拋物線的解析式為y=；x2-2

(2)解:①設直線I的解析式為y=kx,交點M(X1,y2),N(x2,y2)

.y=-1xz2—2n

由｛r,2

y=kx

可得|x2—kx-2=0,

/.Xj+x2=2k,Xj-x2=—4.

22

:.(xx-x2)=&+x2)-4x62=4k2+16,

**?|xi-x2|=2Vk2+4.

2

??SMMN=SA0CM+SA0CN=I,OC-(X!—x2|=2Vk+4.

???當k=0時，2V1匹百取最小值4.

S4cMN的最小值是4.

②假定拋物線上存在點P(m,im2-2),使得點P與點Q關于直線1對稱,

解得：m1=V5,m2=—V3,m3=1,m4=-1

;m3=1,m4=-1,(不合題意，舍去.)

當m1=舊時，點，線段PQ的中點為(等1).

二k=-隗=1一遍.

直線1的表達式為：y=(l-V3)x.

當m1=—V3時，點P(—V3,—1),線段PQ的中點為(與￡—1).

k=-&=1+75.

二直線1的表達式為：y=(1+V3)x

M

綜上：點P（V3,—,y=（1—V5）x或點P（—V3,—1）,y=（1+V3）x.

12.如圖，在平面直角坐標系中，XAOB的極點0是坐標原點，點A的坐標為（4,4）,點B

的坐標為（6,0）,動點P從O最先以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設運動的時間

為t秒（0<t<4）,過點P作PN/x軸，分別交40,48于點M,N.

（1）填空：AO的長為AB的長為

（2）當t=1時，求點N的坐標：

（3）請直接寫出MN的長為（用含t的代數(shù)式示意）；

（4）點E是線段MN上一動點（點E不與點M.N重合），△40E和A4BE的面積分別示意

為Si和52,當t=g時，請直接寫出S「Sz（即Si與52的積）的最大值為.

【答案解析】（1）???點A的坐標為（4,4）,點B的坐標為（6,0）

AO=7平+42=4V2,AB=742+(6-4)2=2>/5,

故答案為：4V2,2V5;

(2)解：設直線AB的解析式為y=kx+b(kR0),將A(4,4),B(6,0)代入得：

[4=4k+b解得盧=—2

[0=6k+b'喇(b=12'

/.y=-2x+12,

由題意可知點N的縱坐標為1,

???令y=l得l=—2x+12,解得x=羨，

???釁,1）；

（3）?.?動點P從O最先以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，運動的時間為t秒,

MN到OB的間隔為t,

二△AMN的高為4-t,

二△AMN與AAOB的高之比為—,

4

?/MN//OB,

△AMNAOB,

.MN4-t12-3t

>?-----=------即MN