2021年高考數(shù)學壓軸題預(yù)測

1.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=/+acosx+(?-2)e'x,“WR.(其中常數(shù)e是自然對數(shù)

的底數(shù)，^=2.71828-)

(1)當。=2時，求/(x)的極值;

(2)(i)若f(x)在［0,用上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍;

(ii)當"6N*時，證明：Nbi-----------s---------

(n+k)tan急4n+2

【分析】(1)代入”的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可;

(2)⑺問題等價于仁磊2通過證明二三外孫求出&的取值

2111

范圍即可，⑴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出哼r,得到以＞一(五二一五),

111

即----i>1-(----xetl)+oo),對X賦值，累加即可證明.

xtan-2x-l

x

【解答】解：(1)。=2時,f(x)=X2+2COSX,

:?f(x)=2(x-sinx),

令g(x)=x-siax,則g'(x)=1-cosx^O,

故g(x)在R單調(diào)遞增，又g(0)=0,

???當xW(-°°,0)時，g(x)<g(0)=0,

當比(0,+8)時，g(x)>g(0)=0,

???當龍￡(-8,o)時，，(x)<0,當尤(0,+8)時，f(x)>0,

(x)在(-°°,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.V(X)的極小值是/(0)=2,無極大值；

(2)(/)f(x)=2x-tzsiiix-(〃-2)e”，

若f(x)在[0,毛上單調(diào)遞增,

則2x-asiar-(a-2)ex^0(*)在[0,n]上恒成立,

顯然當x€[0,it]時,sinx+e*>0,

不等式(*)等價于as攀空3，

stnx+e

下面證明-------7>hxGfO,IT],

stnx+e~x

即證x+e“esinx+e%xG[0,IT],

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即證九-siarNO,大40，n］,

由（1）可知，顯然成立,

工+6一4

?二一------->hxE[0n],

sinx+e~xt

或者考慮-=1+N1亦可(由(1)可知x-sinx2O,xG[0,nJ),

sm."x+ee三~xs，inx-干Ve鼻

又當x=0時，-------7=1，

sinx+e~x

???qW2,即實數(shù)。的取值范圍是（-8,2].

x2

（//）證明：先證當在（0,1］時,有cosx>1—亍

由（1）可知，當。=2時，f（x）=7+2cosx在［0,IT］上單調(diào)遞增,

2

，當尤(0,1]時，f(冗)>/(0),即cosx>l-余r

、I11

當xG[L+8)時，lN±>sin->0,

x

1st.n1-

1____X1

-7I-i=cos-,

xtan-tan-tan-X

xXX

11

再證當xG[l,+8)時,有COS->1-

X

11211

Vcos->1一一7>1—)f

22x-l~2x+l

x2xl4X-1-

11

:.當xG[l,+°°)時,有COS->1-2x+l)，

X2x-l~

111

即----i>1-(2x-l-2%+1)!%e[l,+8),

xtanx-

111

1>1—(一),

(n+l)tan—2n+l2n+3

111.

>1_(—)，T

(n+2)tan----271+32n+5

')n+2

111

->1—(_),

2ntan—4n-l4n+l

2n

1、1?1

將上述不等式累加得：￡2=1>/J-2n+l+4n+l,

111.11

又〃一2九+1+4n+l〉〃一2n+l+4n+2-"4九+2'

乙YiJk-i-（-7-i-+--k-）--t-a-n--急-i—>n-4A九+2.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證

明，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)恒成立問題，是難題.

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2.已知函數(shù)/(x)=/-(2〃+工)x+加:，其中a>0.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程；

(2)若。>1,求函數(shù)/(x)的極值；

(3)若對任意X16(三手，1),x2e(匕越，1)(X『WX2),都有‘(久1)；―1V；恒

2

22%1-%22

成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)代入“的值，求出函數(shù)的導數(shù)，計算/(I),f(1)的值，求出切線方程

即可；

(2)求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的

極值即可：

1

__3—\/5-

(3)令X3=7^2e(一~一，1),則原不等式等價于2即

(X1-X3)(X1+X3)

2f(x)-x/-[2/(孫)一孫2]

<()令h(x)=2f(x)-X2,得到函數(shù)/?(x)單調(diào)遞增,得

(x1-x3)(Xi+x3)

到關(guān)于。的不等式，解出即可.

【解答】解：(1)當。=1時，/(x)=?-?>x+lnx,/(1)=-2,

1

f'(x)=2x-3+pf(1)=0,

故切線方程是：y=-2；

1i

(2)f(x)=2x-(2。4—)4—,

Jax

i

令g(x)=2x+],則/(x)=g(x)-g(a),

令g，(x)=2-妥>0,解得：

令屋(x)<0,解得:OVxV考,

y/2

故g(x)在(0,yV2)單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又。>1,故令r(X)=o,解得：或工，

2a

11

xE(0,—)時，f(x)>0,xG(一，a)時，f'(x)<0,xE(a,+°°)時，f(x)

2a2a

>0,

11

故f(x)在(0,—)遞增，在(一，〃)遞減，在(a,+8)遞增，

2a2a

故/(x)的極大值是/(一)=----7—-加2a,/(x)的極小值是/(a)=-a2-\+lna；

2a4a

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_」+5-6店_J(3-圖2_3-口

(3)

222

3-V57-3V53—V5)

故X1W(----，1),X2G(-----,1)—(----，1)(X|2^X2),

222

令X3=歷6（三至，1）,則原不等式等價于f(%l)-"第3)1

---------------〈一,

(x1-x3)(Xi+x3)2

2fQpT]2[2f(%3)T32]

即-工~即<0,

(X1-X3)(X1+X3)