第02講排列、組合目錄TOC\o"13"\h\u01考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點(diǎn)1排列與組合的概念 4知識點(diǎn)2排列數(shù)與組合數(shù) 4知識點(diǎn)3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 5題型破譯 5題型1排列數(shù)與組合數(shù)的計數(shù) 5題型2直接法 6題型3間接法 8題型4捆綁法與插空法 9題型5分組與分配問題 10題型6定序問題 12題型7相同元素分配問題 1404真題溯源·考向感知 1505課本典例·高考素材 16考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）排列與組合的概念（2）排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)單選題多選題填空題解答題2025年上海卷第9題，5分2024年上海卷第10題，5分2023年甲卷（理）第9題，5分2023年乙卷（理）第7題，5分2023年全國Ⅰ卷第13題，5分考情分析：從近三年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考?？純?nèi)容，以考查基本概念和基本方法為主，涉及特殊元素與特殊位置、兩元索相鄰或不相鄰、分組、分配等問題，分值為5分．本節(jié)內(nèi)容與生活實際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解排列、組合的概念．（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．（3）能利用排列組合解決簡單的實際問題．知識點(diǎn)1排列與組合的概念名稱定義排列按照一定的順序排成一列，叫做從個元素中取出個元素的一個排列組合作為一組，叫做從個元素中取出個元素的一個組合自主檢測從6個不同的甜筒中選出4個送給4位同學(xué)，每人1個，不同的送法種數(shù)是（

）．A．360 B． C．24 D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，從6個不同的甜筒中選出4個送給4位同學(xué)相當(dāng)于從6個不同元素中選4個進(jìn)行排列，故選：A.知識點(diǎn)2排列數(shù)與組合數(shù)（1）排列數(shù)：（2）組合數(shù)：自主檢測下列選項正確的是（

）【答案】D故選：D知識點(diǎn)3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)A．5 B．6或5 C．7 D．7或8【答案】B故選：B.題型1排列數(shù)與組合數(shù)的計數(shù)A．0 B．56 C．1 D．42【答案】A故選：A.【答案】ABD故選：ABD【答案】34故答案為：．【答案】5或7故答案為：5或7.【答案】8所以，故答案為：8題型2直接法例21甲乙丙等人站在一排，且甲不在兩端，乙和丙中間恰好有兩人，則不同排法共有（

）A．24種 B．16種 C．12種 D．8種【答案】B【詳解】因為甲一定在乙丙之間，否則將在兩端，先排乙丙有種排法，其次選一人在乙丙中間有種排法，然后乙丙中間排序有種排法，最后另一人選在排頭排尾有種排法，故選：B.例22用0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個．【答案】30故答案為：30【變式訓(xùn)練21】在全國人口普查過程中，甲、乙、丙、丁四位普查員要去A、B、C三個小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，若甲普查員不能去A小區(qū)，且每個小區(qū)至少去一名普查員，每人只能去一個小區(qū)．則不同的安排方法共有（

）A．24種 B．36種 C．6種 D．12種【答案】A所以共24種．故選：A【變式訓(xùn)練22】五種不同商品在貨架上排成一排，而C，D兩種不能連排，則不同的排法共有（

）種．A．24 B．72 C．36 D．42【答案】B【詳解】先安排除了C，D兩種外的三種商品，共有種方法，并形成4個空，再把C，D安排到形成的4個空中，有種方法，故選：B【答案】18所以安排方案共有18種．故答案為：18.題型3間接法例31某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出二十四節(jié)氣宣傳櫥窗，其中“雨水”，“驚蟄”，“谷雨”，“芒種”，“白露”，“寒露”6塊知識展板放置在排成一排的六個文化櫥窗里，要求“雨水”和“谷雨”兩塊展板不相鄰，且“白露”與“寒露”兩塊展板不相鄰，則不同放置方式的種數(shù)為（

）A．144 B．240 C．336 D．456【答案】C故選：C.例32從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1，則這樣的取法總數(shù)為．【答案】20【詳解】八個連續(xù)整數(shù)不妨設(shè)為1,2,3,4,5,6,7,8,其中三個連續(xù)數(shù)有6種，分別為1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；三個數(shù)中只有兩個數(shù)連續(xù)，比如1,2，剩余第三個數(shù)需從4,5,6,7,8中任選1個，有5種，同理7,8，剩余第三個數(shù)需從1,2,3,4,5中任選1個，有5種，比如2,3，剩余第三個數(shù)需從5,6,7,8中任選1個，有4種，同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4種，綜上，從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1，故答案為：20．【變式訓(xùn)練31】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，乙和丙不相鄰．則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【答案】C【詳解】先考慮甲的站位，可選中間3個位置，不考慮乙和丙位置相鄰不相鄰，然后考慮其中乙和丙位置相鄰的情況，即將乙和丙看作一個元素，和丁、戊全排列，在這3個元素之間形成的兩個位置上選一個將甲插入，故選：C【變式訓(xùn)練32】某公司從10名大學(xué)生中招聘4名工作人員，甲、乙兩人至少有一人入選的不同選法種數(shù)為（

）A．90種 B．140種 C．196種 D．256種【答案】B【詳解】依題意，從10名大學(xué)生中任取4名有種方法，甲乙都未取到的有種方法，故選：B【變式訓(xùn)練33】某班級一天排六節(jié)課，上午四節(jié)，下午兩節(jié)．有3節(jié)不同的文化課、2節(jié)不同的藝術(shù)課和1節(jié)體育課，要求排出一個課表．上午第一節(jié)課和下午最后一節(jié)課都是藝術(shù)課，有種排法；上午有藝術(shù)課，且體育課不排在上午第一節(jié)，有種排法．【答案】48564【詳解】若上午第一節(jié)課和下午最后一節(jié)課都是藝術(shù)課，若上午有藝術(shù)課，且體育課不排在上午第一節(jié)，則有：故答案為：48；564.題型4捆綁法與插空法例41將4輛車停放到5個并排車位上，由于甲車的車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與甲車相鄰?fù)７?，則不同的停放方法種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【詳解】因為客車甲占兩個車位且乙車與客車甲相鄰?fù)７牛詫⒁臆嚺c客車甲捆綁，看成一個車有種排法，與余下的兩輛車全排有種排法，故選：B.例42兩名老師和甲、乙等五名學(xué)生站成一排，要求甲不站最左邊，兩名老師相鄰，且乙和老師不相鄰，則不同的排法共有（

）A．774種 B．796種 C．816種 D．834種【答案】C【詳解】不考慮甲的排列限制，先不排乙和兩名老師，其他人任意排列有種排法，故選：C．【變式訓(xùn)練41】6名同學(xué)排成一排照相，則其中甲、乙不相鄰的不同排法種數(shù)為（

）A．240 B．480 C．960 D．1920【答案】B故選：B【變式訓(xùn)練42】據(jù)典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個音階全部用上，排成一個五音階音序，則“徵”和“羽”之間恰好有一個音階的排法種數(shù)為種.(用數(shù)字作答)【答案】故答案為：【變式訓(xùn)練43】某校的5名團(tuán)員利用周日到市養(yǎng)老院參加義務(wù)勞動．已知5名團(tuán)員中有3位女生，2位男生，活動結(jié)束后5名團(tuán)員站成一排拍照留念，若兩名男生之間有女生，則排法總數(shù)有種．（用數(shù)字作答）【答案】故答案為：.題型5分組與分配問題例51為了提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甲、乙、丙等五名同學(xué)打算選修學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)拓展課程，現(xiàn)有幾何畫板、數(shù)學(xué)與生活、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)獨(dú)四門課程可供選修，每名同學(xué)均需選修且只能選修其中一門課程，每門課程至少有一名同學(xué)選修，則甲不選修幾何畫板，且數(shù)獨(dú)只能由乙和丙中一人或兩人選修的情況的種數(shù)為（

）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】C根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，數(shù)獨(dú)只有1人報名的選擇情況種數(shù)為：若數(shù)獨(dú)有2人報名（乙和丙），有1種情況，故選：C.例52六本不相同的書發(fā)給4個人，每人至少一本，且書全部分完，則所有不同的分配方法種數(shù)為.【答案】1560故共有1560種不同的分配方法.故答案為：1560.【變式訓(xùn)練51】某市派4名專家到西部某市2家醫(yī)院坐診，每家醫(yī)院至少派1名專家，且每名專家只去1家醫(yī)院，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．20 B．18 C．16 D．14【答案】D【詳解】先分組，再分配，分組有2種情況：將分好的組分配到兩個不同的醫(yī)院，有2種情況，故選：D【變式訓(xùn)練52】將6名志愿者安排到4個不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一個社區(qū)，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種【答案】B【詳解】首先將6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2兩種分組形式，故選：B【變式訓(xùn)練53】近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進(jìn)世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點(diǎn)宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點(diǎn)至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是．【答案】540故答案為：540.【變式訓(xùn)練54】《數(shù)術(shù)記遺》記述了我國古代十余種算法.甲、乙、丙三人擬收集該書中運(yùn)籌算、九宮算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收集，則不同的分工收集方案有種.【答案】150故答案為：150.題型6定序問題例61現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取3件調(diào)整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．8400 B．11760 C．13440 D．20160【答案】B故選：B例62重慶外國語學(xué)校第34屆外語節(jié)于2025年5月22日舉行，高二某班6名同學(xué)參加節(jié)目表演，表演完后老師為這6名同學(xué)合影留念.合影時4人先到2人后到，為節(jié)約時間，先到的4人排好隊，后來的2人加入并保持排好隊同學(xué)的相對順序不變，這兩名同學(xué)共有多少種加入方法（

）A．10 B．20 C．60 D．30【答案】D【詳解】6人全排有中排序方法，故選：D【變式訓(xùn)練61】2025年4月23日是第三十個世界讀書日．將2，0，2，5，4，2，3這些數(shù)字排成一排組成一個七位數(shù)，則不同的七位數(shù)有（

）個．A．480 B．600 C．720 D．840【答案】C故選：C.【變式訓(xùn)練62】高二（1）班5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了2位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．42 B．30 C．21 D．15【答案】A【詳解】7位同學(xué)排成一排照相，共有種排法，原來5位同學(xué)的排列方法有種，故選：A【變式訓(xùn)練63】某班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽，賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師決定從后排6人中抽出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對順序不變，則共有多少種調(diào)整方法（

）A．150 B．300 C．900 D．450【答案】D【詳解】首先從后排的6人中選出2人，有種結(jié)果，然后與前排4人排列，有種排法，因為同學(xué)的相對順序不變，則前排4人不要再排，故選：D.題型7相同元素分配問題例7120個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)共有（

）A．120 B．240 C．300 D．360【答案】A【詳解】先往2號，3號盒內(nèi)分別放入1個球和2個球，此時每個盒子至少還需放入1個球，將剩下的17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊隔板分為三堆放入三個盒中即可，故選：A【答案】【詳解】由題意，問題可看作求12個小球分成3組，且每組至少有一個小球的分法數(shù)，故答案為：【變式訓(xùn)練71】現(xiàn)有9個三好學(xué)生的名額分給甲、乙、丙、丁4個班級，若每個班級至少1個名額，則不同的分配方法有（

）A．504種 B．126種 C．84種 D．56種【答案】D故選：DA．171 B．190 C．342 D．380【答案】A【詳解】因為x，y，z均為正整數(shù)，故選：A【變式訓(xùn)練73】某校慶典活動開場舞安排高中三個年級的16名學(xué)生共同完成，要求每個年級至少安排1名學(xué)生，則名額的分配方案共有（

）A．105種 B．455種 C．120種 D．560種【答案】A【詳解】取16個元素排成一排，在相鄰的每兩個元素形成的15個間隙中選取2個插入隔板，這樣就把16個元素分成3個區(qū)間，這3個區(qū)間的元素個數(shù)分別對應(yīng)這3個年級的學(xué)生名額，則名額的分配方案的種數(shù)與隔板插入方法的種數(shù)相等．故選：A.1．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B故選：B.2．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，故選：C.3．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．【答案】329【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，故答案為：329．4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64（2）當(dāng)從8門課中選修3門，故答案為：64.1．如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅰ，Ⅳ不同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，故選：B.2．填空題.（1）有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是；（2）要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學(xué)，不同方法的種數(shù)是；（3）5名工人各自在3天中選擇1天休息，不同方法的種數(shù)是；（4）集合A有m個元素，集合B有n個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數(shù)是.【答案】1060（3）每一個工人都有3種選擇方法，故5名工人不同方法的種數(shù)有種.故答案為：10；60；；3．一名同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層