學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第11講轉(zhuǎn)化-—破解“空間中的線面關(guān)系"空間平行與垂直關(guān)系的證明與探索是歷年高考的重點與熱點，也是難點,它多與空間角的求解綜合在一起來考查空間想象能力．破解平行、垂直關(guān)系的方法是轉(zhuǎn)化，抓住平行關(guān)系、垂直關(guān)系各自的內(nèi)在聯(lián)系,通過轉(zhuǎn)化完成平行與垂直關(guān)系的證明與探索．1．梳理知識網(wǎng)絡,基礎知識了然于胸．eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\a\vs4\al(空間直線，與直線的，位置關(guān)系）\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（共面\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（相交,平行—-公理4-—等角定理）),異面-—異面直線所成的角)），\a\vs4\al（空間直線,與平面的，位置關(guān)系)\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（直線在平面內(nèi)——公理1，\a\vs4\al(直線與平面相交—-,直線與平面垂直)\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（判定，性質(zhì)，直線與平面所成的角)）,直線與平面平行\(zhòng)b\lc\{(\a\vs4\al\co1(判定，性質(zhì))))），\a\vs4\al(空間平面，與平面的，位置關(guān)系)\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（平行\(zhòng)b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(判定,性質(zhì))),相交\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（公理3，二面角——平面與平面垂直\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(判定，性質(zhì)）))））)））2．理清“平行"的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化平行關(guān)系．如圖,理清平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，使線線平行、線面平行、面面平行融為一個有機的整體，是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵．直線與直線平行是平行關(guān)系的一個起點，要利用公理4、初中平面幾何知識來判定兩直線的平行，要梳理平面幾何中與直線平行的相關(guān)知識．在直觀圖中，直線平行是直觀的,因為直觀圖屬于平行投影，在平行投影下，兩平行直線的投影往往也是平行的．3．理清“垂直”的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系．如圖，理清垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，使線線垂直、線面垂直、面面垂直融為一個有機的整體，是轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的關(guān)鍵．兩直線垂直是轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的一個起點，依據(jù)初中平面幾何知識判定兩相交直線的垂直,要梳理平面幾何中與直線垂直的相關(guān)知識．空間直線的垂直主要利用直線與平面垂直轉(zhuǎn)化出來．4．把握空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系．不僅把握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球的幾何體的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)這些空間幾何體的性質(zhì),還要理清其中的平行、垂直關(guān)系．如直棱柱，側(cè)棱平行，側(cè)面是矩形，側(cè)棱與底面垂直,側(cè)面與底面垂直等．例1如圖所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中,點D為AC的中點，點D1是A1C1的中點．證明：BC1∥平面AB1D1。解后反思證明線面平行,既可以聯(lián)想線面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；也可以聯(lián)想面面平行的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為證明面面平行．利用判定定理證明線面平行時，往往要找一個過該直線的平面，證明該直線與交線平行．利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行時，往往要找一個過該直線的平面，證明該平面與已知平面平行．例2把一副三角板如圖拼接，設BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC,∠BCD＝90°，∠D＝60°，使兩塊三角板所在的平面互相垂直．求證：平面ABD⊥平面ACD。解后反思1．證明面面垂直,聯(lián)想判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．而證明線面垂直，還需轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．在哪一個平面內(nèi)取哪條直線，證明它垂直于另一個平面，是證明面面垂直的難點．在充分把握已知條件的基礎上，直覺與推理相結(jié)合，運用反證法的思想，是選準直線的好方法．比如，如果在平面ACD內(nèi)取一直線證明它垂直平面ABD，肯定不選CD,因為如果CD⊥平面ABD，則CD⊥BD，事實上CD與BD不可能垂直，排除CD;若選AD,則AD⊥平面ABC，則平面ABD⊥平面ABC。又平面BCD⊥平面ABC，故平面BCD與平面ABD的交線BD也垂直于BC，又CD⊥BC，故BD⊥BC不可能，這樣排除了AD.3．證明線、面位置關(guān)系想判定定理(證明線面平行也可以聯(lián)想面面平行性質(zhì)，證明線面垂直也可以聯(lián)想面面垂直性質(zhì))，已知線、面位置關(guān)系想性質(zhì)．例3如圖,在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，F(xiàn)是PB的中點．(1)求證：DF⊥AP.（2)在線段AD上是否存在點G,使GF⊥平面PBC？若存在，說明G點的位置,并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．解后反思G點的尋找過程就是垂直關(guān)系不斷轉(zhuǎn)化的過程，蘊含了分析法的思想．假設在線段AD上存在點G,使GF⊥平面PBC,則GF⊥BC，由OF⊥BC,可知BC⊥平面GOF，于是BC⊥GO。由BC∥AD，得GO⊥AD,由AB⊥AD，得GO∥AB，則GO是三角形ABD的中位線,故G點是AD的中點．總結(jié)感悟1．證明、探索空間中線、面的平行(垂直)關(guān)系,就是利用平行（垂直)的內(nèi)在聯(lián)系,不斷轉(zhuǎn)化平行（垂直)關(guān)系的過程．2．利用判定定理證明線面平行時，往往要找一個過該直線的平面，證明該直線與交線平行．利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行時，往往要找一個過該直線的平面，證明該平面與已知平面平行．3．利用反證法、分析法的思想是探索垂直關(guān)系的絕好方法．A級1．平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是________．①AB∥CD;②AD∥CB；③AB與CD相交；④A，B，C,D四點共面．2．關(guān)于兩條不同的直線m、n與兩個不同的平面α、β，下列命題正確的是________．（填序號）①m∥α,n∥β且α∥β，則m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β,則m∥n;③m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④m∥α,n⊥β且α⊥β,則m∥n。3．過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．4．如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P,A，B是定點，則動點C的軌跡是__________________．5．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則在三棱錐P－ABC的四個面中,互相垂直的面有________對．6．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于_____________________________________________．B級7．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC,PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°。8．（2016·全國Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：(1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β,那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。（3)如果α∥β,m?α，那么m∥β.（4)如果m∥n,α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．（填寫所有正確命題的編號）9．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為eq\f（9，4)，底面是邊長為eq\r（3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________．10。如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD,BA⊥AD,CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________．11。如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯誤的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④異面直線AD與CB1所成的角為60°。12。如圖所示，P是菱形ABCD所在平面外的一點,且∠DAB＝60°，邊長為a。側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB與平面AC所成的角為θ,則θ＝________．13．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°,AC＝BC＝eq\f（1,2)AA1,D是棱AA1的中點．(1)證明:平面BDC⊥平面BDC1;(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

第11講轉(zhuǎn)化——破解“空間中的線面關(guān)系”題型分析例1證明方法一如圖所示，連結(jié)A1B交AB1于O，連結(jié)OD1.由棱柱的定義，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，∴OD1∥BC1。又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1。方法二如圖所示，連結(jié)C1D，BD,D1D。點D，D1分別為AC,A1C1的中點，四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥DC1。又∵AD1?平面AB1D1，DC1?平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1。由D，D1分別為AC，A1C1的中點，易知D1D∥AA1，且D1D＝AA1，由B1B∥AA1，且B1B＝AA1，B1B∥D1D且B1B＝D1D，所以B1D1∥BD，又∵B1D1?平面AB1D1，BD?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.又DC1∥平面AB1D1.BD∩DC1＝D，BD,DC1?平面BC1D,∴平面AB1D1∥平面BC1D，∴BC1?平面BC1D,∴BC1∥平面AB1D1。例2證明因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DC⊥BC，DC?平面BCD，所以DC⊥AB.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC,CD?平面ACD。所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD，故平面ABD⊥平面ACD。例3（1)證明取AB的中點E，連結(jié)EF，則PA∥EF。設PD＝DC＝a，易求得DE＝eq\f(\r（5)，2)a，F(xiàn)E＝eq\f(1,2）PA＝eq\f（\r(2),2)a,DF＝eq\f（1,2）PB＝eq\f（\r(3）,2)a.∵DE2＝EF2＋DF2，∴DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA。（2）解在線段AD上存在點G，使GF⊥平面PBC，且G點是AD的中點．取AD的中點G，連結(jié)PG、BG，則PG＝BG.又F為PB的中點，故PB⊥GF。連結(jié)AC、BD,其交點為O，連結(jié)OF，GO?！逴F是三角形PBD的中位線,∴OF∥PD，∴OF⊥BC,∵GO為三角形ABD的中位線，∴GO∥AB，由AB⊥BC，得GO⊥BC，∵GO、OF是平面GOF內(nèi)的兩條相交直線，∴BC⊥平面GOF，∴BC⊥GF，∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線，∴GF⊥平面PBC.線下作業(yè)1．④解析充分性：A,B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知AC∥BD。必要性顯然成立．2．③3．6解析各中點連線如圖,只有面EFGH與面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意．4．去掉兩點的一個圓解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點．5．3解析∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA?平面PAB,PA?平面PAC,∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC。同理可證：平面PAB⊥平面PAC。6．60°解析如圖,可補成一個正方體，∴AC1∥BD1?！郆A1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1成60°的角．7．④解析設AB長為1,由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六邊形,所以AD長也為2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD為直角三角形．因為PA＝AD，所以∠PDA＝45°，所以PD與平面ABC所成的角為45°.8．②③④解析當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定,故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④。9.eq\f（π，3）解析如圖所示:SABC＝eq\f(1，2)×eq\r（3）×eq\r（3)×sineq\f（π,3)＝eq\f（3\r(3），4)。∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝eq\f（3\r（3），4）×OP＝eq\f(9，4)，∴OP＝eq\r(3).又OA＝eq\f(\r（3）,2）×eq\r(3）×eq\f(2，3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f（OP，OA)＝eq\r(3)，又0〈∠OAP<eq\f（π,2)，∴∠OAP＝eq\f(π，3）.10．平行解析取PD的中點F,連結(jié)EF，AF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD。11．④解析由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1，B1