題型五函數(shù)的實際應(yīng)用

?類型1一次函數(shù)的實際應(yīng)用

1.[2020石家莊四區(qū)聯(lián)考]甲、乙兩家商場以同樣的價格出售相同的商品，在同一促銷期間，兩

家商場都讓利酬賓，讓利方式如下:甲商場所有商品都按原價的8.5折出售，乙商場只對一次購

物中超過200元的部分按原價的7.5折出售.某顧客打算在促銷期間到這兩家商場中的一家

購物,設(shè)該顧客在一次購物中所購商品的原價為x(x>0)元，在甲商場購物所花費用為八元，在乙

商場購物所花費用為丫2元.

⑴分別寫出外又關(guān)于x的函數(shù)解析式.

⑵該顧客應(yīng)如何選擇這兩家商場購物會更省錢?并說明理由.

解:⑴1關(guān)于X的函數(shù)解析式為y.=O.85x.

當(dāng)x>200時,y2=200+(x-200)XO.75=0.75x+50,

當(dāng)0〈xW200時,y?=x.

,,f0.75x+50(x>200),

故y，(x(0<x<200).

⑵①當(dāng)0<xW200時,0.85x<x,所以去甲商場購物更省錢.

②當(dāng)x>200時，由y。外,得0.85x>0.75x+50,解得x>500,

故當(dāng)x>500時，到乙商場購物會更省錢；

由yi=y彳導(dǎo)o.85x=0.75X+50,解得x=500,

故當(dāng)x=500時,到兩家商場購物花費一樣；

由y￡y%得o.85x<0,75X+50,解得x<500,

故當(dāng)200<x<500時，到甲商場購物會更省錢.

綜上所述，當(dāng)x>500時，到乙商場購物會更省錢;當(dāng)x=500時,到兩家商場購物花費一樣;當(dāng)

x<500時，到甲商場購物會更省錢.

2.如圖⑴，一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內(nèi)，現(xiàn)以一定的速度往水槽中注水,28s時注滿

水槽.水槽內(nèi)水面的高度y(cm)與注水時間x(s)之間的函數(shù)圖象如圖⑵所示.

(1)正方體鐵塊的棱長為10cm；

⑵求線段AB的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

⑶如果將正方體鐵塊取出,又經(jīng)過t(s)恰好將此水槽注滿，請直接寫出t的值.

解:⑴10

⑵設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b.

???直線AB經(jīng)過A(12,10),8(28,20),

k=

,C12k+b=10,^a(i-

Wfe

,,(28k+b=20,|b=5

故線段AB的解析式為y4x+](12WxW28).

oN

⑶t=4.

解法提示:：28T2=16(s),

???水面超過正方體鐵塊后，水面上升10cm,所用時間為16s.

...前12s由于正方體鐵塊的存在，水面上升速度加快，時間減少了4s,

..?將正方體鐵塊取出,再經(jīng)過4s恰好將此水槽注滿.

3.[2020湖北咸寧]5月18日，我市九年級學(xué)生安全有序開學(xué)復(fù)課.為切實做好疫情際空工作，

開學(xué)前夕，我市某校準備在民聯(lián)藥店購買口罩和水銀體溫計發(fā)放給每個學(xué)生.已知每盒口罩

有100只，每盒水銀體溫計有10支，每盒口罩價格比每盒水銀體溫計價格多150元.用1200

元購買口罩數(shù)量(單位:盒)與用300元購買水銀體溫計數(shù)量(單位:盒)相同.

⑴求每盒口罩和每盒水銀體溫計的價格各是多少元.

⑵若給每位學(xué)生發(fā)放2只口罩和1支水銀體溫計，且口罩和水銀體溫計均整盒購買，設(shè)購買口

罩m盒(m為正整數(shù))，則購買水銀體溫計多少盒能和口罩剛好配套?請用含m的代數(shù)式表示.

⑶在民聯(lián)藥店累計購醫(yī)用品超過1800元后，超出1800元的部分可享受8折優(yōu)惠.該校按⑵

中的配套方案購買,共支付w元，求w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.若該校九年級有900名學(xué)生，需要

購買口罩和水銀體溫計各多少盒?所需總費用為多少元？

解：(1)設(shè)每盒口罩x元，則每盒水銀體溫計(x-150)元，

根據(jù)題意得詈=瑞，

解得x=200.

經(jīng)檢驗,x=200是原方程的解.

；.xT50=200-150=50.

答:每盒口罩200元，每盒水銀體溫計50元.

⑵設(shè)購買n盒水銀體溫計剛好與m盒口罩配套，

則100m=10nX2,

解得n=5m.

答:購買水銀體溫計5nl盒能和口罩剛好配套.

⑶若wW1800,則w=200m+50X5m=450m,

即450mWl80(),解得mW4.

當(dāng)m>4時，則w=l800+0.8(450m-l800)=360m+360.

份,f450m(0<m<4),

?上'(360m+360(m>4).

900名學(xué)生需口罩900X2=1800(只)，

900名學(xué)生需水銀體溫計900X1=900(支)，

則m=18004-100=18,n=5m=90.

,.,18>4,

.*360X18+360=6840.

答:需要購買口罩18盒，水銀體溫計90盒,所需總費用為6840元.

4.[2020張家口橋東區(qū)一模]在同f筆直的馬路上依次有甲、乙、丙三個小區(qū)，經(jīng)公交公司

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，三個小區(qū)之間的距離及小區(qū)平均每天的乘車人數(shù)如圖所示.公交公司計劃在三個

小區(qū)之間設(shè)置一個公交站點，讓三個小區(qū)的全部乘客到公交站點的路程總和最小.若公交站

離甲小區(qū)xm(0WxWl000),三個小區(qū)的全部乘客到公交站點的路程總和為ym.

⑴若公交站點設(shè)在甲、乙兩小區(qū)之間(包含甲、乙)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不寫x的取值范

圍).

⑵根據(jù)公交公司的調(diào)查數(shù)據(jù)，請你運用數(shù)學(xué)知識幫助公交公司進行決策，公交站點應(yīng)設(shè)置在

什么位置.

⑶甲小區(qū)二期建成后，每天乘車人數(shù)將有所增加，若增加的人數(shù)使公交公司決定把公交站點

設(shè)置在甲、乙兩小區(qū)之間，請直接寫出甲小區(qū)平均每天乘車人數(shù)至少增加多少人.

甲400in乙MX)in丙

?-----------?-----------------?

平均每天的乘車平均每天的乘車平均每天的乘車

人數(shù)為20人人數(shù)為70人人數(shù)為60人

解：(l)y=20Xx+70X(400-x)+60X(1000-x)

=-110x+88000.

(2)①當(dāng)0〈xW400時,y=-110x+88000.

V-110<0,

，y隨x的增大而減小，

.,.當(dāng)x=400時,y有最小值，最小值為T10X400+88000=44000.

②當(dāng)400<x〈l000時，

y=20Xx+70X(x-400)+60X(1000-x)

=30x+32000.

V30>0,

；.y隨x的增大而增大，

此時y的值大于44000.

綜上所述，當(dāng)xMOO時，三個小區(qū)的全部乘客到公交站點路程總和最小，即公交站點應(yīng)設(shè)置在乙

小區(qū).

⑶甲小區(qū)平均每天乘車人數(shù)至少增加no人.

解法提示:設(shè)甲小區(qū)平均每天乘車人數(shù)增加m人.

根據(jù)題意得,y=(20+m)x+70X(400x)+60X(1OOO-x)=(m-110)x+88000.

當(dāng)m=l1()時，無論x取何值,y的值始終為88000.

當(dāng)m>l10時,mT10>0,

；.y隨x的增大而增大，當(dāng)x=()時,y取最小值.

當(dāng)m<110時,隨x的增大而減小，與題意不符.

綜上所述,甲小區(qū)平均每天乘車人數(shù)至少增加110人.

⑥類型2二次函數(shù)的實際應(yīng)用

5.[2020山東濱州]某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克,

則一個月可售出500千克;若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10

千克.

⑴當(dāng)售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？

⑵當(dāng)月利潤為8750元時,每千克水果售價為多少元？

⑶當(dāng)每千克水果售價為多少元時,獲得的月利潤最大？

解：(1)當(dāng)售價為55元/千克時,每月銷售量為500-10X(55-50)=500-50=450(千克).

⑵設(shè)每千克水果售價為x元，由題意，

得(x-40)[500T0(x-50)]=8750,

即-10x41400X-40000=8750,

整理彳導(dǎo)xJ140x=-4875,

配方彳導(dǎo)(X-70)2=4900-4875,

解得xi=65,xz=75.

當(dāng)月利潤為8750元時，每千克水果售價為65元或75元.

⑶設(shè)月利潤為y元，每千克水果售價為x元，

由題意彳導(dǎo)y=(x-40)[500-10(x-50)],

BPy=-10x2+l400x-40000(40^x^100),

配方彳導(dǎo)y=-10(x-70)2+9000,

v-l0<0,.\當(dāng)x=70時,y有最大值，

.?.當(dāng)每千克水果售價為70元時,獲得的月利潤最大.

6.[2020石家莊十八縣大聯(lián)考]某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為40元,若銷售

價為60元，每天可售出20件.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件童裝每降價1元，那么平均可多售出2

件.設(shè)當(dāng)每件童裝降價x(x>0)元時，平均每天可盈利y元.

⑴寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

⑵當(dāng)該專賣店每件童裝降價多少元時,平均每天盈利400元？

⑶該專賣店想要平均每天盈利600元，可能嗎?請說明理由.

解:⑴根據(jù)題意得,y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(20+2x)(60-40-x)=-2x3+20x+400.

(2)當(dāng)y=400時,400=-2X2+20X+400,

解得Xi=10,X2=0(不合題意，舍去)，

故當(dāng)該專賣店每件童裝降價10元時,平均每天盈利400元.

(3)該專賣店不可能平均每天盈利600元.

理由:當(dāng)y=600時,600=-2X2+20X+400,

整理彳導(dǎo)x?T0x+100=0.

A=(-10)2-4XIX100=-300<0,

該方程沒有實數(shù)根，

即該專賣店不可能平均每天盈利600元.

7.[2019廣西梧州]我市某超市銷售一種文具,進價為5元/件，售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量

為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天售價統(tǒng)一

為x元/件(x26,且x是按0.5元的倍數(shù)上漲)，當(dāng)天銷售利潤為y元.

⑴求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

⑵要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元，求當(dāng)天售價所在的范圍；

⑶已知每件文具的利潤不超過進價的80%要想當(dāng)天獲得的利潤最大，每件文具的售價應(yīng)定為

多少元?并求出這個最大利潤.

解：(1)廠(x-5)(100-—X5)—10x"+21Ox-800,

故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-10xJ+210x-800.

⑵要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元廁需y2240.

令y-240,^#-10X2+210x-800=240,

解得XI=8,X2=13.

..拋物線開口向下，

又y2240,

故當(dāng)天售價所在的范圍為8WxW13.

⑶?.?每件文具的利潤不超過進價的80%,

解得xW9,

?\6WxW9.

由⑴得y=-10X2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.

???拋物線的對稱軸為直線x=10.5,且在對稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=9時,y取最大值，此時y=-10(9-10.5)2+302.5=280.

故每件文具的售價定為9元時,當(dāng)天獲得的利潤最大，最大利潤為280元.

8J2020唐山路北區(qū)二模]某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴

水頭，噴出的水柱為拋物線形,在距水池中心3米處達到最高，高度為5米,且各方向噴出的水柱

恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示，以水平線為x軸,噴水池中心為原點建立平面

直角坐標系.

⑴求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式.

⑵王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水,為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站

立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？

⑶經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池

的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請

探究擴建改造后噴水池水柱的最大高度.

解:⑴設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=a(x-3『+5(aW0).

將(8,0)代入y=a(x-3)」+回得25a+5=0,解得a=-1.

故水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為yj5(x-3)'+5(0〈X〈8).

⑵當(dāng)y=1.8時,q(x-3)-+5=l.8,

解得X尸-](不合題意,舍去)出尸7,

故為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi).

⑶當(dāng)x=0B^,y-1(x-3)-'+5=y.

設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為方學(xué)+bx

???該函數(shù)圖象過點(16,0),

,0.X6+16b+?

解得b=3,

?.?改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=-ix2+3x+^.

?.?=_9+3*+胃小與嚼

擴建改造后噴水池水柱的最大高度為鬻米.

9」2020湖北黃岡］網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式.為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫存，我市市長

親自在某網(wǎng)絡(luò)平臺上進行直播銷售大別山牌板栗.為提高大家購買的積極性，直播時,板栗公

司每天拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買者.已知該板栗的成本價格為6元/kg,每日銷售

量y(kg)與銷售價x(元/kg)滿足關(guān)系式:y=T00x+5000.經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售價不低于成本價格且

不高于30元/kg.當(dāng)每日銷售量不低于4000kg時，每千克成本將降低1元.設(shè)板栗公司銷售

該板栗的日獲利為北(元).

⑴請求出日獲利W與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑵當(dāng)銷售單價定為多少時,銷售這種板栗日獲利最大?最大利潤為多少元？

⑶當(dāng)000元時,網(wǎng)絡(luò)平臺將向板栗公司收取a元/kg(a〈4)的相關(guān)費用，若此時日獲利的

最大值為42100元，求a的值

解:⑴當(dāng)y24000,BP-100x+500024000時,xW10,

.?.當(dāng)6WxW10時押=(x-6+l)(T00x+5000)-2000=-100x2+5500x-27000.

當(dāng)10<xW30時,W=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-32000,

.J-lOOx2+5500x-27000(6<x<10),

??A

1-100x2+56()ox-32000(10<x<30).

⑵當(dāng)6WxW10時,W=T00X45500x-27000,

550055

..?對稱軸為直線x=-

2x(-100)2

.,.當(dāng)x=10時用最大=5X4000-2000=18000(元).

當(dāng)10<xW30時押=-100x2+5600x-32000,

對稱軸為直線x-

：.當(dāng)x=28時,W最大=22X2200-2000=46400阮).

V46400>18000,

.?.當(dāng)銷售單價定為28元時，銷售這種板栗日獲利最大，且最大利潤為46400元.

(3)740000>18000,

二10〈xW30,貝[]W=-100X2+5600x-32000.

令4=40000,則-100x2+5600X-32000=40000,

解得xi=20,x?=36(舍去).

.?.當(dāng)W240000時,20WxW30.

設(shè)在網(wǎng)絡(luò)平臺收取相關(guān)費用后，日獲利為W'(元)，則w=(x-6-a)(-100x+5000)-2000=-100x2+(5

600+100a)x-32000-5000a.

???對稱軸為直線5600+100a_2g+la

Va<4,

,

..28+ia<30/

2，

.??當(dāng)x=28+：a時,『最大-42100元，

(28+ia-6-a)[-100(28+ia)+5000]-2000=42100,

整理得a-88a+172=0,

解得ai=2,a2=86.

又：a〈4,

.,.a=2.

10.[2020浙江紹興]如圖(1》排球場長為18m,寬為9m,網(wǎng)高為2.24m.隊員站在底線0點處

發(fā)球,球從點0的正上方1.9m的C點發(fā)出，運動路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運動到最高點A

處時,高度為2.88m,即BA=2.88m.這時水平距離OB=7叫以直線OB為x軸，直線0C為y軸，

建立平面直角坐標系，如圖(2).

⑴若球向正前方運動(即x軸垂直于底線)，求球運動的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)

系式(不必寫出x的取值范圍)，并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)，是否出界.

⑵若球過網(wǎng)后的落點是對方場地①號位內(nèi)的點P(如圖⑴，點P距底線1m、左邊線0.5m),

問發(fā)球點0在底線上的哪個位置.(參考數(shù)據(jù):迎取1.4)

解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x-7)2+2.88,

將x=0,y=l.9代入，解得a=總，

故拋物線的表達式為y=-^(x7),i2.88.

當(dāng)x=9時，尸卷(9-7)，+2.88=2.8>2.24,

當(dāng)x=18時,y=-*8-7)+2.88=0.46>0,

故這次發(fā)球能過網(wǎng)，但會出界.

⑵如圖，過點P作底線的平行線，過點()作邊線的平行線，兩平行線交于點Q.

在RtZ\OPQ中,0Q=18T=17,

當(dāng)y=0時，抵（x-7f+2.88=0,

解得Xi=19,xz=-5（舍去），

.\OP=19.

又0Q=17,

Z.PQ=J192-172—6企-8.4.

V9-8.4-0.5=0.1,

..?發(fā)球點（）在底線上且距右邊線0.1米處.

11.[2020貴州貴陽]2020年體育中考，增設(shè)了考生進入考點需進行體溫檢測的要求.防疫部門

為了解學(xué)生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進入考點的累

計人數(shù)y（人）與時間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9~15表示9<x^l5）

時間

01234567899~15

X/分鐘

人數(shù)

0170320450560650720770800810810

y/人

⑴根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進入考點的累計人數(shù)與時間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求

出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑵如果考生一進考點就開始測量體溫,體溫檢測點有2個，每個檢測點每分鐘檢測20人，考生

排隊測量體溫，求排隊人數(shù)最多時有多少人.全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？

⑶在⑵的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測,從一開始就應(yīng)該至少增加幾

個檢測點？

解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢可知，

①當(dāng)04W9時,y是關(guān)于x的二次函數(shù).

???當(dāng)x=0時,y=0,

二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=ax;:+bx.

當(dāng)x=l時,y=170;當(dāng)x=3時,y=450.

將它們分別代入關(guān)系式相喘二羽.解得1：二款

，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-10x2+180x.

將表格內(nèi)的其他各組對應(yīng)值代入此關(guān)系式，均滿足.

②當(dāng)9cxW15時,y=810.

二y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為空j*-9），

⑵設(shè)第x分鐘時的排隊人數(shù)是W,

①當(dāng)0WxW9時,W=y-40x=T0x2+140x=T0（x-7『+490,

當(dāng)x=7時用有最大值，最大值為490.

②當(dāng)9<xW15時,W=jr-40x=810-40x,

V-40<0（

AW隨x的增大而減小，

.?.210WW<450,

故排隊人數(shù)最多時有490人.

要全部考生都完成體溫檢測，即排隊人數(shù)為0,

；.W=810-40x=0,解得x=20.25,

綜上所述，排隊人數(shù)最多時有490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘.

⑶設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個檢測點，

根據(jù)題意彳導(dǎo)12X20（m+2）>810,

解得m2]

O

Vn)是整數(shù)，

，一開始就應(yīng)該至少增加2個檢測點.

12.[2020浙江臺州]用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(如圖(1)).

科學(xué)原理:如圖⑵，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H(單位:cm),如果在與水面豎

直距離為h(單位:cm)的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程(水流落地點離小孔

的水平距離)s(單位:cm)關(guān)于h的關(guān)系式為s2=4h(H-h).

應(yīng)用思考:現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶作相關(guān)研究,水瓶直立地面，通過連續(xù)注水保證

它始終盛滿水，在與水面豎直距離hcm處開一個小孔.

⑴寫出一與h的關(guān)系式，并求出當(dāng)h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少.

⑵在側(cè)面開兩個小孔，這兩個小孔與水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同,

求a,b之間的關(guān)系式.

⑶如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求墊高的高度及取最大射程時

小孔與水面的豎直距離.

解:⑴s：'=4h(H-h),當(dāng)H=200^,s2=4h(2O-h)=-4(h-lO)2+4OO,

...當(dāng)h=10時,s：'最大，最大值為400,即s的最大值為20.

故當(dāng)h=10時，射程s有最大值，最大射程是20cm.

⑵根據(jù)題意得4a(20-a)=4b(20-b),

20a-a=20b-b2,a2-b2=20a-20b,

(a+b)(a-b)=20(a-b),

:.(a_b)(a+b_20)=0,

a-b=0或a+b-20=0,

,*.a=b或a+b=20.

2

⑶設(shè)墊高的高度為叫貝！1s=4h(20+m-h)=-4(h-M)-+(20+ni)；

...當(dāng)晨誓時,s“,=20+m=20+16,

，“尸16,此時11汽218.

故墊高的高度為16cm,取最大射程時小孑一水面的豎直距離為18cm.

@類型3兩種函數(shù)相結(jié)合的實際應(yīng)用

13.[2020四川成都]在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一

個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于抗疫.已知商家購進一批產(chǎn)品,成本為10元/件才以采取

線上和線下兩種方式進行銷售.調(diào)查發(fā)現(xiàn),線下的月銷量y(單位:件)與線下售價x(單位:元/

件12Wx<24)滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：

x/阮/

1213141516

件)

y/件2；0WOoio900800

⑴求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

⑵若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件.試問:當(dāng)x為多少時,

線上和線下月利潤總和達到最大?并求出此時的最大利潤.

解：(1)設(shè)y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

將(12,1200),(16,800)分別代入，

,日［12k+b=1200,

fell6k+b=800,

解得憶揣

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y-100x+2400.

⑵設(shè)商家線上和線下的月利潤總和為w元，

則w=400(x-2-10)+y(xT0)=-100x、3800x-28800=-100(x-19)2+7300,

V-100<0,

..?當(dāng)線下售價定為19元/件時月利潤總和達到最大，最大利潤是7300元.

14.［2020四川南充］某工廠計劃在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為

10萬元/件.

⑴如圖，設(shè)第x(0〈xW20)個生產(chǎn)周期設(shè)備售價z萬元/件,z與x之間的關(guān)系用圖中的函數(shù)圖象

表示.求z關(guān)于x的函數(shù)解析式(寫出x的范圍).

⑵設(shè)第x個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設(shè)備為y件,y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=5x+40(0<x<20).在⑴

的條件下，工廠第幾個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大?最大為多少萬元?(利潤=收入-成本)

解:⑴由題圖可知當(dāng)0〈xW12時,z=16.

當(dāng)12<xW20時,z是x的一次函數(shù)，設(shè)z=kx+b,

12k+b=16解彳日k=總

則

20k+b=14,,b=19,

即z=」x+19,

4

16(0<x<12),

???z關(guān)于x的函數(shù)解析式為z=.-；x+19(12<x<20).

⑵設(shè)第x個生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤為W萬元.

①當(dāng)0<xW12時,W=(16T0)X(5x+40)=30x+240,

V30>0,

...當(dāng)x=12時,W取最大值最大值=30X12+240=600.

②當(dāng)12〈xW20fi^,W=(-ix+19-10)X(5X+40)=-JX2+35X+360=-J(X-14)~+605,

V--<0,12<14<20,

當(dāng)x=14時〃取最大值尸最大值=605.

V605>600,

，工廠第14個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤最大，最大為605萬元.

15.[2020江蘇無錫]有一塊矩形地塊ABCD,AB=20米,BC=30米.為美觀擬種植不同的花卉，如圖

所示,將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為x米.現(xiàn)決定在等

腰梯形AEHD、BCGF中種植甲種花卉;在等腰梯形ABFE、CDHG中種植乙種花卉;在矩形EFGH

中種植丙種花卉.甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米：40元/米：

設(shè)三種花卉的種植總成本為y元.

⑴當(dāng)x=5時，求y的值；

⑵求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120米；求三種花卉的最低?中植總成本

解:⑴當(dāng)x=5解EF=20-2x=10(米),EH=30-2x=20(米),

故

y=2Xi(EH+AI))xX20+2Xi(EF+AB)xX60+EFXEHX40-(20+30)X5X20+(10+20)X5X60+10X2

0X40=22000.

(2)EF=20-2x>0,EH=30-2x>0,故x<10.

由題意，結(jié)合⑴得y=(30+30-2x)xX20+(20+20-2x)xX60+(30-2x)(20-2x)X40,

即y=-400x+24000(0<x<10).

(3)S^=2xl(EH+AD)x-(30-2x+30)x-2x'+60x,

Sz,-2xi(EF+AB)x=(20-2x+20)x-2X2+40X.

???甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120米;，

/.-2x2+60x-(-2x2+40x)<120,

解得xW6,故0<xW6.

又,對于函數(shù)y=-400x+24000,y隨x的增大而減小，

.??當(dāng)x=6時,y取最小值，最小值為21600,

即三種花卉的最低種植總成本為21600元.

16.[2020石家莊長安區(qū)質(zhì)量檢測]某公司計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,公司市場部根據(jù)調(diào)查得出:

甲種產(chǎn)品所獲年利潤W(萬元)與投入資金n(萬元)成正比例;乙種產(chǎn)品所獲年利潤y乂萬元)與

投入資金n(萬元)的平方成正比例,并得到如下表格中的數(shù)據(jù).設(shè)公司計劃共投入資金m(萬

元)(m為常數(shù)目m>0)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,其中投入乙種產(chǎn)品的資金為x(萬元)(其中OWxWm),

全年所獲總利潤W(萬元)為弘與方之和.

⑴分別求出yiM關(guān)于n的函數(shù)解析式.

⑵求w關(guān)于X的函數(shù)解析式（用含m的式子表示）.

⑶當(dāng)m=50時，

①公司市場部預(yù)判公司全年總利潤W的最大值與最小值恰好相差40萬元，請你通過計算說明

該預(yù)判是否正確.

②公司從全年總利潤中扣除投入乙種產(chǎn)品的資金的k倍（0<kW3）用于其他產(chǎn)品的生產(chǎn)后，

得到剩余利潤剩余（萬元）若W剩余隨x的增大而減小，請直接寫出k的取值范圍.

解:⑴由題意，設(shè)yi=an,

將n-2,y-1代入得l-2a,解得好今

關(guān)于n的函數(shù)解析式為yI=1n.

設(shè)Y2=bn2,

將n=2,y：：=0.1代入，得0.l=4b,解得b。，

??.y；關(guān)于n的函數(shù)解析式為加W廠

40

⑵由題意可知，投入乙種產(chǎn)品的資金為X萬元，則投入甲種產(chǎn)品的資金為（mX）萬元，

W=yi+y^（m-x）+^x2,BP[x+扣.

⑶①由m=5仇得W磊xf+25磊（x-10）若.

???0WxW50拋物線開口向上,對稱軸為直線x=10,

.".當(dāng)x=10時,W取最小值,W最小值個，

當(dāng)x=50時）取最大值,W最大值吟X（50T0『+衿融值T最小值=學(xué)-子=40，

402222

故該預(yù)判正確.

②2WkW3.

解法提示:由題意可得W乘j^=L+25-kx磊x2-g+k）x+25,

對稱軸為直線x=殳2-20k+10.

2X?

..拋物線開口向上.

40

若要滿足全年剩余利潤隨X的增大而減小，則50W20k+l（）,解得k22.

又kW3,，2WkW3.

17.[2020遷安二模]某專賣店開始銷售一款5G產(chǎn)品，若該產(chǎn)品第x個月（x為正整數(shù)）的銷售價

格為y元/臺,y與x滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系且第x個月的銷售數(shù)量p（臺）與x之間的

函數(shù)關(guān)系式為P=x+1.

⑴該產(chǎn)品第6個月每臺的銷售價格為4500元.

⑵該產(chǎn)品第幾個月的銷售額最大?該月此產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少？

⑶若要使該產(chǎn)品的月銷售額不低于27500元很！I預(yù)計符合銷售要求的是哪幾個月？

解:⑴4500

⑵設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

將(2,6500),(4,5500)分別代入,

zf2k+b=6500解但(k=-500,

tBe

l4k+b=5500?lb=7500.

故y=-500x+7500.

設(shè)該產(chǎn)品月銷售額為w元，

根據(jù)題意彳導(dǎo)w=py=(x+l)(-500x+7500)=-500x'+7000x+7500=-500(x-7)2+32000,

當(dāng)x=7時,w最大，

該月此產(chǎn)品每臺的銷售價格是-500X7+7500=4000(元).

答:該產(chǎn)品第7個月的銷售額最大，該月此產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元.

⑶根據(jù)題意彳導(dǎo)-500(x-7)，32000=27500,

解得xi=4,Xz=10,

；-500<0,

預(yù)計符合銷售要求的是第4,5,6,7,8,9,10個月.

18.[2020唐山路南區(qū)二模]某大學(xué)生利用暑假40天參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種產(chǎn)品

的成本為20元/件，第x天的銷售量為p件，銷售單價為q元，前20天(包括第20天),q與x之

間滿足關(guān)系式q=30+ax；從第21天到第40天中,q是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不

變，浮動價與x成反比.得到了下表中的數(shù)據(jù).

X102135

q354535

⑴請求出a的值.

⑵從第21天到第40天中，求q與x之間滿足的關(guān)系式.

⑶若該網(wǎng)店第x天獲得的利潤為y元，并且已知這40天里前20天中y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式為y=-1(x-50)(x+20).

①經(jīng)跟蹤調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這40天中p與x之間的關(guān)系保持不變，求這40天中p與x之間的關(guān)系式;

②求這40天里該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大.

解:⑴將(10,35)代入q=30+a%得35=30+10a,解得a《.

⑵根據(jù)題意,設(shè)從第21天到第40天中,q與x之間滿足的關(guān)系式為q=b+*

將⑵,45)和(35,35)分別代入q=b+§

,.k

bH——==525,

得2135Mb

b+-==20,

35

，q與x之間滿足的關(guān)系式為q=20+詈.

⑶①前20天(包括第20天)中,y=f(x-50)(x+20)=p(q-20),

-：(x-50)(x+20)=p(30*x-20),

/.(x-50)(x+20)=p(-x-20),

p=50-x.

???這40天中p與x之間的關(guān)系保持不變，

p=50-x.

②當(dāng)1WxW20時,y=T(x-50)(x+20)=-#+15x+500—斜15)：+612.5.

.?.當(dāng)x=15時,y取最大值，為612.5.

因此前20天中，第15天利潤最大，為612.5元.

當(dāng)21WxW40時,y=(50-x)(20+第-20)-簽運-525.

V26250>0,

，y隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=21時,y取最大值，為725.

因此，從第21天到第40天中，第21天利潤最大，為725元.

綜上所述，這40天里，第21天該網(wǎng)店獲得的利潤最大.

19.[2018河北,26]輪滑場地的截面示意圖如圖所示，平臺AB距x軸(水平)18米，與y軸交于點

B,與滑道y=1(x》l)交于點A,且AB=1米.運動員(看成點)在BA方向獲得速度v米/秒后，從A

處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置.忽略空氣阻力,實驗表明:點M,點A的豎直距離

h(米)與飛出時間t(秒)的平方成正比，且t=l時,h=5；點M,點A的水平距離是vt米.

⑴求k,并用t表示h.

⑵設(shè)v=5,用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y,并求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫x的取值

范圍)及當(dāng)y=13時,運動員與正下方滑道的豎直距離.

⑶若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒,當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙

位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時直接寫出t的值及v乙的取值范圍.

解:⑴由題意得A(l,8),代入廠￡得k=18.

設(shè)h=at：將(1,5)代入，得a=5,即h=5t".

⑵易得x=l+5t,y=18-5t；

.,.t-gxT),代入y=18-5t；!,

得y=18-i（x-l）J=-1xA+Y，

令y=13,即18*x-1）-13,解得XL6,XL4（不合題意，舍去），

x=6.

對于y常，令x=6彳導(dǎo)y=3,

故當(dāng)y=13時,運動員與正下方滑道的豎直距離為13-3=10（米）.

（3）t=l.8,v乙〉7.5.

解法提示:易得運動員甲的橫坐標為l+5t,縱坐標為18-5t2,

令18-5t'=L8,解得t=l.8（負值已舍去）