第四章三角形

第一節(jié)幾何初步'相交線與平行線

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：30分鐘）

考點1直線與線段

1.[2020石家莊十八縣聯(lián)考]“植樹時只要定出兩棵樹的位置，就能確定這一行樹所在的直線”，用數(shù)學知識解釋其道

理應是（B）

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.直線可以向兩邊延長

D.兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離

2.[2020四川涼山州]點C是線段AB的中點點I）是線段AC的三等分點.若線段AB=12cm,則線段BD的長為（C）

A.10cmB.8cm

C.10cm或8cmD.2cm或4cm

考點2角的度量

3.[2019石家莊模擬]用量角器度量NAOB如圖所示，則NAOB的補角是（D）

A.125°B.55°C.45°D.135°

考點3垂線

4.[2020吉林]如圖，某單位要在河岸1上建一個水泵房引水到C處.他們的做法:過點C作CDJ_1于點D,將水泵房建在

了D處.這樣做最節(jié)省水管長度,其數(shù)學道理是垂線段最短.

5.[2020湖北荊門]如圖在4ABC中,DE是AC的垂直平分線.若AE=3ZAABD的周長為13,則AABC的周長為19.

考點4角及角平分線

6.[2020貴州貴陽]如圖，直線a,b相交于點0,如果Nl+N2=60°,那么N3的度數(shù)是

A.150°B.120°

C.60°D,30°

7.［2020四川自貢］如果一個角的度數(shù)比它補角的度數(shù)的2倍多30°,那么這個角的度數(shù)是（C）

A.50°B.70°C.130°D.160°

8.［2020四川樂山］如圖,E是直線CA上一點,NFEA=40°,射線EB平分NCEF,GE_LEF,則NGEB二（B）

A.10°B.20°C.30°D.40°

B

9.［2020湖南湘潭］如圖，點P是NAOC的平分線上一點,PD1OA,垂足為點I）,且PD=3,點M是射線0C上點則PM的最

小值為；3.

考點5平行線

10.［2020張家口橋東區(qū)一模］如圖，給出下列幾個條件:①Nl=Z4；?Z3=Z5；?Z2+Z5=180°；@Z2=Z4.則能判斷

直線a〃b的條件個數(shù)為（C）

A.1B.2C.3D.4

11」2020唐山路北區(qū)一模］如圖,.鉗〃?次8口（：/2=50°,則/1的度數(shù)是（A）

A.40°B.50°C.60°D.140°

12.［2020湖南長沙］如圖，一塊直角三角板的60°角的頂點A與直角頂點C分別在兩平行線FD,GH上，斜邊AB平分NCAD,

交直線GII于點E,則ZECB的大小為（C）

A.60°B.45°C.30°D.25°

13.［2020湖北荊州］將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形.若NCAB=30。，則NACB的度數(shù)是（D）

A.45°B.55°C.65°D.75°

14.[2020石家莊長安區(qū)質(zhì)量檢測]如圖，直線a〃b,Nl=70°,N3=50°,則N2=(C)

A.80°B.70°

C.60°D.50°

15.［2020湖］匕黃岡］已知:如圖,AB〃EF,NABC=75。，NCDF=135。，則NBCD=30度.

AB

7F7

E/Q-----------

/Z135°

C，

16J2020湖南張家界］如圖,NAOB的一邊OA為平面鏡,NAOB=38°,一束光線（與水平線0B平行）從點C射入，經(jīng)平面鏡

反射后，反射光線落在0B上的點E處，則ZDEB的度數(shù)是76度.

A

c

17.［2020貴州銅仁］設(shè)AB,CD,EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是12cm,EF與CD的距離是5

cm廁AB與EF的距離等于7或17cm.

18.請將下列證明過程補充完整（括號內(nèi)寫依據(jù)）：

已知:如圖,AB〃CD,CE平分NACD.

求證:N1=N2.

證明:TCE平分NACD,

AN2=NECD（角平分線的定義）.

VAB/7CD,

N1=NECD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,

，N1=N2（等量代換）.

19.［2020湖北武漢］如圖，直線EF分別與直線AB,CD交于點E,F.EM平分NBEF,FN平分NCFE,且EM〃FN.求證:AB〃CD.

證明:???EM平分NBEFJ'平分NCFE,

二ZBEF=2ZMEF,ZCFE=2ZNFE.

VEM/7FN,

/./MEF=/NFE,

ZBEF=ZCFE,

；.AB〃CD.

考點6命題

20.下列命題中,為真命題的是（B）

A.相等的兩個角是對頂角

B.平4亍于同一條直線的兩條直線互相平行

C.同旁內(nèi)角互補

D.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

21.［2020湖北宜昌］能說明“銳角a,銳角B的和是銳角”是假命題的例證圖是(C)

22.命題“如果24,那么、=|b|"的逆命題是假命題（填“真命題”或“假命題”）.

23.要證明“如熹吃那么a〈b“是假命題，可令a=1（答案不唯一），b=2（答案不唯一）.

新考法［2020北京］如圖所示的網(wǎng)格是由大小相同的小正方形組成的,A,B,C,D是網(wǎng)格線的交點，則AABC的面積與aABD

的面積的大小關(guān)系為：54皿

第二節(jié)三角形及其性質(zhì)

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：20分鐘）

考點1三角形的邊、角關(guān)系

1.［2019江蘇淮安］下列長度的3根小木棒不能搭成三角形的是（B）

A.2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,3cm

C.3cm,4cm,5cmD.4cm,5cm,6cm

2」2020江西］如圖,/1=/2=65°,/3=35°廁下列結(jié)論錯誤的是（C）

A.AB//CD

B.ZB=30°

C.NC+N2=NEFC

D.CG>FG

3.當三角形中的一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角B的兩倍時，我們稱此三角形為“標準三角形”，其中0為“標準角”.

如果一個“標準三角形”的“標準角”為100°,那么這個“標準三角形”的最小內(nèi)角度數(shù)為30.

考點2三角形中的重要線段

4.下列說法正確的是（D）

A.三角形的外角和是180°

B.若三條線段的長a,b,c滿足a+b>c,則以這三條線段為邊一定能組成三角形

C.三角形的外角大于它的任何一個內(nèi)角

D.三角形的中線、角平分線和高都是線段

5.［2020石家莊長安區(qū)質(zhì)量檢測］用三角板作aABC中BC邊上的高，下列作法中，三角板擺放位置正確的是（C）

C

6.［2019黑龍江大慶］如圖，在AABC中,BE是NABC的平分線作AABC的外角NACM的平分線，交BE于點E,若NA=60。，

貝叱BEC是

A.15°B.30°C.45°D.60°

7.［2020黑龍江大慶］一個周長為16cm的三角形油它的三條中位線構(gòu)成的三角形的周長為

8.如圖，已知BI）是AABC邊AC的中線,AB=5,BC=3,且AABD的周長為11,則△BCD的周長是9.

9.如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點，連接EP并延長，分別與BA,CD的延長線交于點M,N.

求證:NBME=NCNE.

證明:連接BD,取BD的中點H,連接HE,HF,如圖.

??,E,F分別是BC,AD的中點

分別是△ABD,Z\BCD的中位線,

二FH//BM,FH=|AB,EH//CN,EH=jcD,

/./BME=/HFE,/CNE=/HEF.

VAB=CD,

；.FH=EH,

.,.ZHFE=ZHEF,

...ZBME=ZCNE.

綜合提升練］［建議用時：分鐘.15

1.[2020江蘇蘇州]如圖，在AABC中，已知AB=2,AD_LBC,垂足為D,BD=2CD.若E是AD的中點，則EC=J

/N

BDC

2.[2019四川攀枝花]如圖在AABC中,CD是AB邊上的高,BE是AC邊上的中線，且BD=CE.

求證：（1）點D在BE的垂直平分線上；

⑵NBEC=3NABE.

A

D.

B匕--------------------------

證明:⑴連接DE,

???CD是AB邊上的高，

???NADC=NBDC=90°.

???BE是AC邊上的中線，

AAE=CEf

ADE是RlZXADC的邊AC的中線，

/.DE=CE.

VBD=CE,.\BD=DE,

???點D在BE的垂直平分線上.

（2）VDE=AEf

:.NA=/ADE.

,?ZADE=ZDBE+ZDEB,BD=DEZ

.\ZA=ZADE=2ZABE.

VZBEC=ZA+ZABE,

.\ZBEC=3ZABE.

第三節(jié)等腰三角形和直角三角形

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：35分鐘）

考點1等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.[2020福建]如圖,AD是等腰三角形ABC的頂角平分線,BD=5,則CD等于（B）

A.10B.5C.4D.3

2.[2020四川自貢]如圖在RtZXABC中,NACB=90°,NA=50°,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD,

則ZACD的度數(shù)為（D）

A.50°B.40°C.30°D.20°

A,

3.[2020山東濟寧]f船從海島A出發(fā)，以15海里,時的速度向正北航行,2小時后到達海島B處.燈塔C在海島A的

北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上，則海島B到燈塔C的距離是

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

4.[2020湖北荊門]如圖,2XABC中,AB=AC,NBAC=120°,BC=2V5,D為BC的中點AE^AB,則AEBD的面積為（B）

5.[2019黑龍江哈爾濱中考改編]如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=DC,NA=60°,點E為AD邊上一點，連接BD,CE,CE與

BD交于點F,且CE〃AB,若AB=8,CE=6,則DE的長為2.

3

6.[2020唐山路南區(qū)二模]如圖，在AABC中,BOAC,點D在BC上，且DC=AC,點E為AB的中點.

⑴利用直尺與圓規(guī)作NACB的平分線，交AD于點F（保留作圖痕跡,不要求寫作法、證明）；

⑵連接EF,若AC=8,BC=12,求EF的長.

解:⑴作圖如圖所示

⑵VCF平分NACB,DC=AC,

?,.CI'是4ACD中AD邊上的中線，

二點1--是AD的中點

又：點E為AB的中點

；.EF是AABD的中位線.

VDC=AC=8,BC=12,

.,.BD=BC-DC=4,

...EF-；BD=2.

7.如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點D是AB邊上一點，過點D作DE1BC交BC于點E,交CA的延長線于點F.

⑴證明:4ADF是等腰三角形；

⑵若NB=60。，BD=4,AD=2,求EC的長.

⑴證明:〈AB=AC,

???ZB=ZC.

VFE1BC,

AZF+ZC=90o,ZBDE+ZB=90°,

/.ZF=ZBDE.

又NBDE=NFDA,

ZF=ZFDA,

.\AF=AD,

???△ADF是等腰三角形.

⑵解:???DEJ_BC,

AZDEB=90°.

VZB=60°,BD=4,

???BE=，m2.

VAB=AC,

???△ABC是等邊三角形，

???BC=AB=AD+BD=6,

AEC=BC-BE=4.

8.[2020浙江紹興]問題:如圖，在AABD中,BA=BD,在BD的延長線上取點E￡,作△AEC,使EA=E&若NBAE=90°,NB=45°,

求NDAC的度數(shù).

答案:NDAC=45。.

思考：

⑴如果把以上“問題”中的條件“NB=45?！比サ?其余條件不變，那么NDAC的度數(shù)會改變嗎?說明理由.

⑵如果把以上“問題”中的條件“NB=45?！比サ簦賹?NBAE=90°”改為“/BAE;n。"，其余條件不變，求

ZDAC的度數(shù).

BDEC

解：(1)NDAC的度數(shù)不會改變.

理由:TEA;EC,

/.ZAED=2ZCfZEAC=ZC.

XVZBAE=90°,

.?.ZBAI)-i[1809(9(T2ZC)]-45l<ZC,

/.ZDAE=90°-ZBAD=90°-(45°+NC)=450-ZC,

.,.ZDAC=ZDAE+ZG\E=ZDAE+ZC=45°.

⑵設(shè)S=m。，

則NBAD=；(180°-in°)=90°,NAEB=1800-n°-m°z

/.ZDAE=n°-ZBAD=n°-90°+1mo.

又YEA二EC,

/.ZCAE=izAEB=900-in-4n°,

.,.ZDAC-ZDAE+ZCAE=n090"5+90。+。品°亭。.

考點2直角三角形的性質(zhì)與判定

9.［2019唐山路北區(qū)三模］如圖，在4ABC中，點D為AB的中點，點E在AC上，且BE1AC.若DE=10,AE=16廁BE的長度為

(C)

A.10B.11C.12D.13

10.［2020湖南岳陽］如圖，在Rt^ABC中,CD是斜邊AB上的中線，ZA=20°，則NBCD=7()°.

11.(2020浙江紹興］如圖(1),直角三角形紙片的一條直角邊長為2,剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖⑵的方

式放入一個邊長為3的正方形中(紙片在結(jié)合部、分不重疊了無隙),則圖⑵中陰影部分面積為」百_.

圖⑴圖⑵

12.(2019北京］如圖所示的網(wǎng)格是由相同的正方形組成的，則NPAB+NPBA=」j°.(點A,B,P是網(wǎng)格線交點)

AB

13.［2020貴州黔西南州］如圖，在RtZXABC中,NC=90°，點D在線段BC上，且NB=30°,NADC=60°,BC=3V5,則BD的長

度為一、&_.

14.［2020黑龍江哈爾濱］在aABC中,NABC=60°,AD為BC邊上的高,AD=6A/3,CD=1,則BC的長為5或7.

綜合提升練

(建議用時：20分鐘)

1.［2020四川德陽］已知:等腰直角三角形ABC的腰長為1,點M在斜邊AB上，點P為該平面內(nèi)一動點，且滿足PC=2,則PM

的最小值為(B)

A.2B.2V2-2

C.2V2+2D.2V2

2.［2020湖南邵陽］如圖，在RtAABC中,NACB=90°,斜邊AB=VI,過點C作CF〃AB,以AB為邊作菱形ABEF,若NF=30°,

則RtZXABC的面積為瑪

R

3.[2020貴州貴陽]如圖,Z\ABC中，點E在邊AC上,EB二EA,NA=2NCBE￡D垂直于BE的延長線于點D,BD二8,AC=11,則邊BC

的長為4V5.

4.[2019黑龍江齊齊哈爾]在等腰三角形ABC中,BDJ_AC,垂足為點D,且BD^AC,則等腰三角形ABC底角的度數(shù)為_

45°,15°或75’.

晅8■國視野畫誨

操作型[2020浙江紹興]將兩條鄰邊長分別為夜,1的矩形紙片剪成四個等腰三角形紙片（無余紙片），各種剪法剪出

的等腰三角形中，腰長可以是下列數(shù)中的「231（填序號）.

@V2,?1,@V2-1,@y,@V3.

第四節(jié)全等三角形

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：30分鐘）

考點1全等三角形的判定

1.[2020湖南永州]如圖，已知AB=DC,NABC=NDCB,能直接判斷△ABCWZWCB的方法是（A）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

2.[2020黑龍江齊齊哈爾]如圖,已知在4ABD和4ABC中,NDAB二NCAB,點A,B,E在同一條直線上，若使△ABDwZXABC,則

還需添加的一個條件是AD-AC（答案不唯一，正確即可）.（只填一個即可）

考點2全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合

3.[2020石家莊藁城區(qū)二模]老師布置了下面的證明題:

如圖⑴，在△ABC中AB二ACRE是BC上兩點，且BD二CE.

求證:AD=AE.

c

HI）FAC

圖⑴圖（2）

小明的方法：小麗的方法：

證明:如圖（I）.證明：如圖（2）.

vAB=AC,過點4作"_L8C于點￡

Z.?=zlC.AB=AC,AFlBCt

又???BD=CK,BF=FC.

△ABIXAACE,乂；BD=CE,

AD=AE....DF=FE.

XvAFlDEt

AI）=AE.

關(guān)于小明與小麗的證明方法，下面說法正確的是（A）

A.小明與小麗的證明方法都正確

B.小明與小麗的證明方法都不正確

C.小麗的證明方法正確，小明的證明方法不正確

D.小明的證明方法正確，小麗的證明方法不正確

4.[2020湖北黃句如圖,ZXABC是等邊三角形，點D,E分別是AC,AB邊上的點,CD=AE,BD與CE交于點P,則NBPC等于(C)

A.135°B.150°C.120°D.130°

5.[2020江西]如圖,CA平分NDCB,CB=CD,DA的延長線交BC于點E,若NEAC=49°,則ZBAE的度數(shù)為82，.

6.[2020江蘇無錫]如圖，已知AB〃CD,AB=CD,BE=CF.

求證:⑴4ABF安ZXDCE；

⑵AF〃DE.

⑴證明：TAB〃CD,

NB=NC.

?.,BE=CF,

；.BE-EF=CF-EF,即BF=CE.

5EAABE^ADCE中，

AB=CD,

ZB=Z.C,

BF=CE,

/.△ABF^ADCE.

⑵證明:〈△ABFgZkDCE,

ZAFB=ZDEC,

???ZAFE=ZDEF,

AAF/ZDE.

7.[2020湖南衡陽]如圖，在AABC中,NBNC,過BC的中點D作DEJ_AB,DF_LAC,垂足分別為點E,F.

(1)求證:DE=DF；

⑵若NBDE=40。，求NBAC的度數(shù).

⑴證明:???點D為BC的中點

???BD=CD.

VDE±AB/DF1ACI

ZDEB=ZDFC=90°.

(匕DEB=4DFC,

在△BDE和△(：/；中，匕B=ZC,

(BD=CD,

.'.△BDE^ACDF,

ADE=DF.

(2)VZBDE-40°,

ZB=90°-ZBDE=50°,/.ZC=50°r

/.ZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-50°=80°.

8.[2019唐山路北區(qū)三模改編]如圖，已知△ABC,按如下步驟作圖:①以點A為圓心、AB的長為半徑畫弧;②以點C為圓

心、CB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點D;③連接BD,交AC于點E,連接AD,CD.

⑴求證:△ABCgz^ADC；

⑵若NDAC=30。，NBCA=45°,BC=2,求AC的長.

u

(i)證明:由題意可得AB=ADfBC=CD,

又AC=ACf

/.AABC^A.'\DC.

(2)VAB=AD/BC=CD,

?.?直線AC垂直平分線段BD,

,NBEC=NBEA=90°.

VZBCAM50,BC=2,

ABE-CEV2.

VAABC^AADC,

/.ZBAC=ZDAC=30°,

.".Al>V3Bl'>V6,

/.AC-AE+CE\/6V2.

9.[2020石家莊模擬]在證明定理“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半”時，小明給出如

下部分證明過程.

已知:在中,D,E分別是邊AB.AC的中點

求證：DE//BC,且DE±BC.

----------------1-----------2--------

證明:如圖，延長DE到點F,使EF二DE,連接CF,

⑴補全求證；

⑵請根據(jù)添加的輔助線寫出完整的證明過程;

⑶若CE二3,DF=8,求AB的取值范圍.

⑴DE〃BC,且DE^BC

⑵???點E是AC的中點，

AAE=CEr

又???EF;ED,NAED：NCEF,

/.△ADE^ACEE(SAS),

/.AD=CF,ZA=ZECF,

，AD〃CF,.??BD〃CF.

???點D是AB的中點

.\AD=BD,?.BD=CF,

二四邊形BDFC是平行四邊形，

，DE〃BC,DF=BC.

又??,DE=FE,

.??DE[BC.

⑶解:???DF=8,??.BC=8.

VCE=3,/.AC=6r

???BJAC<AB<BC+A0即2<AB<14.

綜合提升練

（建議用時：35分鐘）

1.[2019唐山路南區(qū)三模]如圖，有一張三角形紙片ABC,已知NB二NC二X。，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開，可能

得不到兩個全等三角形紙片的是

B2

D

2.如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,AC=5,NDAB=NDCB=90°,則四邊形ABCD的面積為(B)

A.15B.12.5

C.14.5D.17

3.[2020湖北鄂州]如圖，在△AOB和中期=08,00=0網(wǎng)＜0&4(?=/0?=36°.連接AC,BD交于點M,連接0M.下列

結(jié)論：

①NAMB=36°;②AC=BD;③OM平分NAOD;④MO平分NAMD.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為(B)

A.4B.3C.2D.1

4.[2020江蘇南通]如圖，在AABC中,AB=2,NABC=60°,NACB=45°,點D是BC的中點，直線1經(jīng)過點D,分別過點A,B作

(A)

A.V6

B.2V2

C.2V3

D.3V2

5.[2020廣西河池](1)如圖⑴，已知CE與AB交于點E,AC=BC,Z1=Z2.求證:△ACE&ZSBCE.

⑵如圖⑵，已知CD的延長線與AB交于點E,AD=BC,Z3=Z4.探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(1施明:在△ACE和aBCE中，

?.?AC-BC,Z1=Z2,CE=CE,

.'.△ACE^ABCE.

⑵AE=BE.

理由:如圖，在CE上截取C1-DE.

?.,在ZXADEifOABCF中,AD=CB,N3=N4,DE=CF,

.,.△ADE盤△BCF,

.,.AE=BFrZAED=ZCFB.

VZAED-ZBE1-18O0,ZCEB+ZEFB=180°,

，ZBEF=ZEFB,:.BE=BF,AAE=BE.

6.[2020江蘇蘇州]問題1：如圖⑴在四邊形ABCD中,NB=NC=90°『是BC上一點,PA=PD,NAPD=90。.求證:AB+CD=BC.

問題2：如圖⑵，在四邊形ABCD中,NB=NC二450『是BC上一點四可門/人1用900.求筆”的值.

DC

問題1：

證法一：；NB=90°f/.ZAPB+ZBAP=90°.

VZAPD=90°fAZAPB+ZCPD=90°,

.??ZBAP=ZCPD.

(△B=Z.C,

在△/曲和中，NBAP=z￡P(guān)D,

(PA=DP,

???△ABPgZXPCD(AAS),

AB=PC,BP;CD,.??AB+CD=PC+BP二BC.

證法二:由證法一，可設(shè)NBAP=NCP1)=a.

在RlAABP中,BP：PA?sina八B=PA?cosa.

在RtAPCD中，CD-PD?sina『C二PD?cosa.

又VPA=PD,:.AB=PC/BP=CD,AAB+CD=BP+PC=BC.

問題2：如圖，分別過點A,D作BC的垂線，垂足分別為E,F.

BEPF

由“問題1"可知AE+DF=EF/

在RtZXABE和"△口『(：中，

NB=/C=45°,

.?.AH=BE,DI.=C1.Ali=-^=V2AE,CP=-^=V2l)l',

ABC=BE+EF+CF=2(AE+DF)rAB+CDV2(\l>DF)f

.AB+CD-(AE+DF)V2

**BC2(AE+DF)~2'

7.[2020唐山二模改編]已知在△ABC中,NA=90°,AB=AO4,點D為BC的中點.

⑴如圖⑴，若點E,F分別為AB,AC上的點且DEXDF.

①試探究BE和AF的數(shù)量關(guān)系.

②四邊形AEDF的面積是定值嗎?如果是，請求出這個定值;如果不是,請說明理由.

⑵如果點E,F分別是AB,CA延長線上的點，且DE_LDF,那么BE=AF嗎?請利用圖⑵說明理由.

解⑴①如圖⑴，連接AD.

&D

圖⑴

???NBAC=90°心AC,點D為BC的中點,

AZBDE+ZEDA=90q.

又NEDA+NADF=90",

工ZBDE=ZADF.

fzEBD=zFAD,

在ABDE和AADF中，BD=AD,

UBDE=4ADF,

.,.△BDE^AADF(ASA),

???BE=AF.

②四邊形AEDF的面積是定值.

?/△BDE^AADF,

??S&.ui尸

.、r,

1zz1

?*S四邊形M：，：=Svn*S..HI=S-..1,r4.^X—X4X4=4.

⑵BE=AF.

理由如圖⑵，連接AD.

VZABD=ZBAD=45°,

*\ZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZB1)F=9O°,NBDI；+NFDA=90°,

:.ZEDB=ZFDA.

rz.EBD=Z.FAD,

在和△FDA中，BD=AD,

UEDB=4FDA,

.\AEDB^AFDA(ASA),

ABE=AF.

包藤顫靛］薪練

新考法：2。2（）浙江寧波］ZXBDE和AFGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).

若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（\）

A.AABC的周長

B.AAFH的周長

C.四邊形FBGH的周長

D.四邊形ADEC的周長

第五節(jié)相似三角形（含位似）

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：35分鐘）

考點1平行線分線段成比例

1.[2020遼寧營口]如圖，在△ABC中,DE〃AB,且需我喈的值為

fc>DNCA(A)

2.[2020四川成都]如圖，直線L〃h〃"直線AC和DF被所截,AB=5,BC=6,EF=4,貝|]DE的長為

A.2B.3C.4D.y

考點2相似三角形的判定與性質(zhì)

3.[2019四川雅安]如圖，每個小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與4A島C相似的是（B）

4.如圖，在4ABC中,NC=90°,NA=30°,D是AC的中點，過點D沿某條直線剪下一個與4ABC相似的小三角形,則不同

的剪法共有（C）

A.1種B.2種C.3種D.4種

C

二

5.[2020石家莊二十八中模擬]如圖,EF是4ABC紙片的中位線，將4AEF沿EF所在的直線折疊，點A落在BC邊上的點D

處，已知△回的面積為7,則圖中陰影部分的面積為（B）

A.7B.14C.21D.28

6.[2020上海]《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法，如圖所示,在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD,從木桿

的頂端D觀察井水水面C處，視線DC與井口的直徑AB交于點E,如果測得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深

AC為7米.

D

c------

7.[2020山東臨沂]如圖，在aABC中,D,E為邊AB的三等分點,EF〃DG〃AC,H為AE與DG的交點.若AC=6,則DH=I.

8.[2020四川攀枝花]三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖，點G是aABC的重心.求

證:AD=3GD.

證明:連接DE.

,?,點G是4ABC的重心，

.?.點E和點D分別是AB和BC的中點

??.DE是aABC的中雌，

，DE〃AC且DE/,

.".△DEG^AACG,

.DEDG.1DG

"XH'"AD=3GD,

9.[2020四川涼山州]如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正

方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB.AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

解:設(shè)正方形零件的邊長為Xm叫則KD二EF二xmm,AK-(80-x)mm.

???四邊形EGIIF為正方形，

???BC〃EF,

???△AEFS^ABC,

.EFAK

**BCAD;

x80-x

120-80"f

解得x=48.

答:正方形零件的邊長為48mm.

考點3圖形的位似

10.[2020浙江紹興]如圖，三角板在燈光照射下形成投影,三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的一邊長為8cm,

則投影三角板的對應邊長為

A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm

11.[2020浙江嘉興]如圖，在平面直角坐標系中,△OAB的頂點為0(0,0),A(4,3),B(3,0).以點0為位似中心,在第三象限內(nèi)

作與AOAB的相似比為g的位似圖形△OCD,則點C的坐標為

A.(-1,-1)B.(一江1)

C.D.(-2,-1)

\()H

綜合提升練

(建議用時：30分鐘)

1.[2020云南昆明]在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點,以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.如

圖,△ABC是格點三角形，在圖中的6X6正方形網(wǎng)格中作出格點三角形ADE(不含△ABC),使得△ADEs/sABC(同TZ?

的格點三角形ADE只算一個)，這樣的格點三角形一共有

A.4個B.5個C.6個D.7個

2.[2020黑龍江哈爾濱]如圖，在AABC中，點D在BC邊上，連接AD,點E在AC邊上，過點E作EF〃BC,交AD于點F,過點E

作EG〃AB,交BC于點G,則下歹IJ式子一定正確的是

AE_EFBEF_EG

EC-OTCD-AB

—AF=-BG、D-CG=—AF

FDGCBCAD

3.[2020唐山模擬]如圖，在四邊形ABCD中,AB〃DC/ABC=90°,AB=4,CD=1,BC=4在邊BC上取一點P,使得以A,B,P為頂

點的三角形與以C,D,P為頂點的三角形相似，甲認為這樣的點P只有1個，乙認為這樣的點P不止1個，則(R)

A.甲的說法正確

B.乙的說法正確

C.甲、乙的說法者杯正確

D.無法判斷甲、乙的說法是否正確

tD

4.[2020四川樂山]把兩個含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點E為AD的中點，連接BE交AC于點F,則

AF_3

AC"—5-,

5.[2020浙江寧波中考節(jié)選]【基礎(chǔ)鞏固】

⑴如圖⑴在4ABC中，點D為AB上一點，連接CD,ZACD=ZB.求證:AC'':AD-AB.

【嘗試應用】

⑵如圖⑵，在口ABCD中，點E為BC上一點，點F為CD延長線上一點，連接BF,EF,ZBFE=ZA.若BF=4,BE=3,求AD的長.

⑴證明:???NACD-NB,NA二NA,

/.△ADC^AACB,

.ADAC

**ACAB/

/.AC2=AD-AB.

⑵丁四邊形ABCl）是平行四邊形,

/.AI>BC,ZA=ZC.

又?；NBFE=NA,

???ZBFE=ZC.

又「/FBE=/CBF,

.-.△BFE^ABCF,

.BFBE

**BCBF*

2

.DrBF16

BE3'

新角度[2020黑龍江大慶]已知兩個直角三角形的三邊長分別為3,4,01和6,8,n,且這兩個直角三角形不相似，則m+n的

值為(A)

A.10+夕或5+2夕B.15

C.10+V7D.15+3V7

第六節(jié)銳角三角函數(shù)及其應用

基礎(chǔ)分點練

（建議用時：45分鐘）

考點1解直角三角形

1.[2020浙江杭州]如圖，在AABC中,NC=90°,設(shè)NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,則(B)

A.c=bsinBB.b=csinB

C.a=btanBD.b=ctanB

2.[2019湖北宜昌]如圖，在5X4的正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1.AABC的頂點都在這些小正方形的頂點

上廁sinZBAC的值為(D)

A.I4B.37C3.74D.g

3455

3.[2020安徽]如圖,RtZXABC中,NC=90°,點D在AC上,NDBC=NA.若AC=4,cosA=^廁BD的長度為(C)

9I?15

A.74

454

4.[2020貴州遵義中考改編]構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn),在計算lan15。時,如圖，

在RtZ\ACB中,NC=90°,NABC=30°,延長CB使BD=AB,連接A"得ND=15°,所以tan15°嗡=或后.類比這種方法，

計算G捻的值為"（A）

A.V2+1B.V2-1C.V2

CBD

5.[2020山東商澤]如圖,在△ABC中,NACB=90°,點D為AB邊的中點,連接CD,若BC二4￡D=3,則cosZDCB的值

6.[2019四川樂山]如圖，在AABC中,NB=30°,AC=2,cosC=|,則AB邊的長為_J.

A

B

考點2方向角

7.[2020石家莊一模仍防止森林火災的發(fā)生會在森林中設(shè)置多個觀測點.如圖，若起火點“在觀測臺B的南偏東46。

的方向上，點A表示另一處觀測臺，若則起火點M在觀測臺A的

A.南偏東44°方向B.南偏西14°方向

C.北偏東46°方向D.北偏西46°方向

起火點M

8.[2020唐山路北區(qū)一模]如圖，一艘貨船在A處,巡邏艇C在其南偏西60°的方向上，此時一艘客船在B處,巡邏艇C

在其南偏西20°的方向上，則此時從巡邏艇上看這兩艘船的視角ZACB的度數(shù)是

A.80°B.60°C.40°D.30°

9.[2020河北九地市聯(lián)考二]如圖所示，下列說法錯誤的是

A.嘉琪家在圖書館的南偏西60°方向上

B.學校在圖書館的南偏東30°方向上

C.學校在嘉琪家的南偏東60°方向上

D.圖書館到學校的距離為5km

?圖書館4*東

6km\\30°

10.[2020張家口宣化區(qū)二模]如圖，嘉淇一家駕車從A地出發(fā)，沿著北偏東60°的方向行駛，到達B地后沿著南偏東50°

的方向行駛到達C地,C地恰好位于A地正東方向上.有下列說法：

①B地在C地的北偏西50°方向上；

②A地在B地的南偏西30°方向上；

③cosNBAC《；

④NACB=50°.

其中錯誤的是（C）

A.B.C.②④D.③④

北

工東

修/：5(?

考點3解直角三角形的實際應用

11.12020石家莊一模]如圖,AB是河堤橫斷面的迎水坡，堤高AC=V5，水平寬度BC=1,則斜坡AB的坡度為（八）

A.V3B.y

C.30°D.60°

12.[2020石家莊藁城區(qū)二模]在一次“綜合實踐活動”課上，第一小組的同學們對電桿AB的高度進行測量，他們在地

面上選擇了三個不同的測點（點B和三個測點都在水平地面上）.如圖，李明同學選擇的測點在點B正南方向的C點處,

并測得點A的仰角是15。；張磊同學選擇的測點在點B正東方向的D點處，并測得點A的仰角是30。；王欣同學選擇

的測點在點B東南方向（即南偏東45°方向）的E點處，并測得點A的仰角是60°.已知C,D兩點之間的距離是20m,

則測點E和點B之間的距離是（C）

A.10mB.5mC.寫mD.5A/3m

A

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