2021年中考數(shù)學壓軸題滿分訓練-幾何綜合問題

1.如圖，兩直角三角形ABC和DEF有一條邊BC與EF在同一直線上，且NDFE=

ZACB=60°,BC=1,EF=2.設EC=m(0WmW4)點M在線段AD上，且

ZMEB=60°.

(1)如圖1,當點C和點F重合時，專器=

(2)如圖2,將圖1中的aABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點A落在DF邊上時，求

錯的值；

(3)當點C在線段EF上時，ZXABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a度(0va<90°),

2.在AABC中，ZBAC=90°,點E為AC±=點，AB=AE,AG±BE,交BE于

點H,交BC于點G,點M是BC邊上的點.

(1)如圖1,若點M與點G重合，AH=2,BC=V26,求CE的長；

(2)如圖2,若AB=BM,連接MH,NHMG=NMAH,求證:AM=2=&HM；

(3)如圖3,若點M為BC的中點，作點B關于AM的對稱點M,連接AN、MN、

EN,請直接寫出NAMH、NME、NMNE之間的角度關系.

圖1圖2圖3

B

3.已知NAOB=a(0°<a<90°)，點P、點M分別在射線OA、OB上，ZPMO

為鈍角，將線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)180°-a,得到線段PN,連接ON.

（1）如圖1

①求證：NOMP=ZOPN；

②若a=45°,OP=2,直接寫出AOPM的面積為；

（2）如圖2,點C在射線OB上，使PC=OM,點D為MC的中點，連接PD.

①若a=60°,求證:AOPD是等邊三角形；

②若a=30°,直接寫出NOPD的度數(shù)為

4.（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,在aABC中，AB=AC,NBAC=90°,點D在線段BC上運動（不與點

B重合），連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接EC.填空:

線段BD和CE的數(shù)量關系為,位置關系為:

（2）探究證明：如圖2,在（1）的條件下，若點D在線段BC的延長線上運動，請

你判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（3）拓展延伸：

如圖3,在銳角4ABC中，ABWAC,AC=2=V2,ZACB=4°,若點D在線段

BC上運動，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AB,連接EC,

過點D作DF±AD交CE于點F.請求出線段CF收得最大做時aADC的面積.

圖1圖2圖3

5.已知aABC是等邊三角形，AD±BC于點D,點E是直線AD上的動點，將BE

繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BF,連接EF,CF,AF.

(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,當點E在線段AD上時，且NAFC=35°,則NFMC的度

數(shù)是;

(2)結(jié)論證明：如圖2,當點E在線段AD的延長線上時，請判斷/AFC和NFMC

的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展延伸:若點E在直線AD上運動，若存在一個位置，使得4ACF是等腰直

角三角形，請直接寫出此時NEBC的度數(shù).

6.(1)D為aABC上一點，ZADC=60°,ZACD-ZEBD=60°,SAADB=9V3.

①如圖(1),若BD=CD.求證，AC=BE；②如圖(2),CD=2DB,BE平分

ZABD,求AB?ED的值.

(2)如圖(3),將RZkABC順時針旋轉(zhuǎn)a，(K?90)得到AB=2.

BC=1.AE、BD交于點F,在運動過相中BF的最大值為.

7.綜合與實踐，探究特殊三角形中的相關問題問題情境：

某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板

ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且RtAABC的按短直角邊AB為2,現(xiàn)將

RtAAEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(00<a<90°),如圖2,AE與BC

變于點M,BC與FF交于點N,BC與EF交于點P.

（1）初步探究:勤思小組的同學提出：當旋轉(zhuǎn)角a=時，AAMC是等

腰三角形；

（2）深入探究:敏學小組的同學提出在旋轉(zhuǎn)過程中.如果連接AP,CE,那么AP所

在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；

（3）再探究:在旋轉(zhuǎn)過程中，當旋轉(zhuǎn)角a=30°時，求AABC與△AFE重疊的面

積；

（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，^CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋

轉(zhuǎn)角a的度數(shù):若不能，說明理由.

8.如圖，點B,C,D在同一條直線上，4BCF和4ACD都是等腰直角三角形.連接

AB,DF,延長DF交AB于點E.

（1）如圖1,若AD=BD,DE是4ABD的平分線，BC=1,求CD的長度：（2）

如圖2,連接CE,求證:DE=&CE+AE:

（3）如圖3,改變ABCF的大小，始終保持點F在線段AC上（點F與點A,C不

重合）.將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EP,取AD的中點O,連接OP.當AC

=2時，直接寫出OP長度的最大值.

9.在R4A0B和R4C0D中，ZAOB=ZCOD=90°,直線AC與BD交于點M.

（1）如圖1,若ZOAB=ZOCD=45°，填空：①器的值為

AL

-:②NAMB的度數(shù)為.

（2）如圖2,若NOAB=ZOCD=a,求器的值（用含a的式子表示）及

NAMB的度數(shù)；

3）若NOAB=ZOCD=30°,OD=2,OB=4,將三角形OCD繞著點O在平面

內(nèi)旋轉(zhuǎn)，直接寫出當點A、C、D在同一直線上時，線段BD的長.

圖1圖2圖3

10.如圖，在aABC中，AC=BC,NACB=CB點D、E在AB邊上（點D在點E

的右側(cè)），且NACB=2NDCE.將線段CD繞點C'針旋轉(zhuǎn)a角得到線段CF,連

接AF、EF.

［感知］如圖①，當a=60°時，則4CBD絲ACAF,ACDE^ACFE.（不需要證

明）

［探究］如圖②，當a=90°時，（1）NEAF的度數(shù)為.（2）線段AE、

ED、DB之間什么數(shù)量關系?請說明理由.

［應用］（3）如圖③，當a=120°,ZBCD=15°時，請直接寫出ABCD、

△DCE、4ACE這三個三角形的面積比.

11.如圖，R4ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6.點P從點A出發(fā)，沿射線

AB方向以每秒5個單位長度的速度向終點B運動，當點P不與點A里合時，將

線段PM繞點P旋轉(zhuǎn)使PH〃AC（點N在點P右側(cè)），過點A'作A'M±AB

交射線AB于點M.設點P運動的時間為t（秒）（1>0）.

(DAM的長為(用含t的代數(shù)式表示).

(2)求點A'落在邊BC上時t的值.

(3)當AABC與aPM'M重疊部分圖形為三角形時，設三角形的面積為S(平方

單位)，求S與t之間的函數(shù)關系式.

(4)設點A'關于直線AB的對稱點為A",連接A"B,當直線A"B和4ABC

的邊垂直時，直接寫出t的值.

12.(1)(問題發(fā)現(xiàn))如圖1,ZSABC和4ADE均為等邊三角形，點B,D,E在同

一條直線上.填空:①線段BD,CE之間的數(shù)量關系為；②NBEC=

(2)(類比探究)如圖2,AABC和4ADE均為等腰直角三角形，ZACB=

ZAED=90°,AC=BC,AE=DE,點B,D,E在同一條直線上，請判斷線段

BD,CE之間的數(shù)量關系及NBEC的度數(shù)，并給出證明.

(3)(解決問題)如圖3,在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,點

D在AB邊上，DE_LAC于點E,AE=3,將4ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當DE所在直線

經(jīng)過點B時，CE的長是多少？(直接寫出答案)

13.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90°,

ZB=30°,

［操作發(fā)現(xiàn)］①如圖2,固定△ABC,使ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊

上時，則NACD的度數(shù)是:②aBDC的面積與4AEC的面積之間的數(shù)

量關系是.

［探究論證］當ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，猜想4BDC的面積與

△MEC的面積的數(shù)量關系，并說明理由.

B

14.［問題發(fā)現(xiàn)］如圖1,在R4ABC中，AB=AC,D為BC邊上-點(不與點B、C

重合)將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AEo連接EC,則線段BD與CE

的數(shù)量關系是，位置關系是:

［探究證明］如圖2,在R4ABC和R4ADE中，AB=AC,AD=AE,將4ADE繞

點A旋轉(zhuǎn)，當點C,D,E在同一直線時，BD與CE具有怎樣的位置關系，并說明

理由；

《拓展延伸」如圖3,在R4BCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,將4ACD繞

順時針旋轉(zhuǎn)，點C對應點E,設旋轉(zhuǎn)角NCME為a(0°<a<360°),當點C,

D,E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段BE的長度.

15.如圖1,在RAACB中，ZACB=90°,AB=2BC,點M,F分別為邊AB,

AC的中點，點D在邊AC上，且CD=2AD,點N為CD的中點，過點D作

DE〃AB交BC于點E,點G為DE的中點.將4DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角

為a.連接MG,FM.

(1)當a=0°時，得=:直線MG與直線FN相交所成的較小夾角

的度數(shù)為.

（2）拓展應用

若AB=4,直線MG和直線FN交于點0,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點O與點N重合

時，請直接寫出線段FN的長.

16.(1)如圖1,在aABC內(nèi)有一點D,且AD=BD=CD,若NBAC=40°,則

ZDBC=°.

（2）如圖2,在aABC中，ZCAB=ZCBA=45°,AB=\sqrt2.作線段CD=3,

將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE、AD、BE.求

證：4ACD之ZSBCE:

（3）在（2）的條件下，設AD、BE所在直線交于點Q（如圖3）,求4ABQ面積

的最小值.

17.如圖1,在RAABC中，ZB=90°，AB=4,BC=2,點D,E分別是邊BC,

AC的中點，連接DE.將4CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當a=0°時，需=:②當a=180°時，需=:

（2）拓展探究

試判斷當0°<a<360°時，票的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明：

DU

（3）問題解決當4CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至A,B,E三點在同一條直線上時，求

線段BD的長.

18.直線111〃11,點人、B分別在直線m,n±（點A在點B的右側(cè)），點P在直線m

上，AP=^AB,連接BP.將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BC,連接AC

交直線n于點E,連接PC,且4ABE為等邊三角形.

（1）如圖①，當點P在A的右側(cè)時，請直接寫出NABP與NEBC的數(shù)量關系是

，AP與EC的數(shù)量關系是.

（2）如圖②，當點P在A的左側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否成立?若成立，請給予證明:

若不成立，請說明理由.

（3）如圖②，當點P在A的左側(cè)時，若aPBC的面積為苧，求線段AC的長.

19在R4ABC中與RADCE中，ZACB=ZDCE=90°,NBAC=NDEC=30°,

AC=DC=百.將RaDCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接BD,AE,點F,G分別是

BD,AE的中點，連接CF,CG.

（1）觀察猜想如圖1,當點D與點A重合時，CF與CG的數(shù)量關系是

,位置關系是;

（2）類比探究當點D與點A不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立?如果成立，請權(quán)

就圖2的情形給出證明：如果不成立，請說明理由，（3）問題解決在R