2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：等差數(shù)列

選擇題（共1小題）

1.（2021?北京）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案

的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長0,42,43,“4,?5（單位：cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為"，

bi,bi,b4,ba（單位：cm）,且長與寬之比都相等.已知?=288,3=96,加=192,則加=（）

A.64B.96C.128D.160

二.填空題（共1小題）

2.（2021?上海）已知等差數(shù)列｛知｝的首項(xiàng)為3,公差為2,則GO=.

三.解答題（共3小題）

3.（2021?新高考H）記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和，若的=S5,a2O4=S4.

（I）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式4"；

（II）求使成立的n的最小值.

4.（2021?甲卷）記S,為數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和，已知%>0,。2=3內(nèi)，且數(shù)列｛、瓦｝是等差數(shù)列，證明：｛斯｝是等差

數(shù)列.

5.（2021?乙卷）記S“為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，兒為數(shù)列｛SJ的前〃項(xiàng)積，已知2+工=2.

Snbn

（1）證明：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列；

（2）求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式.

2021全國高考數(shù)學(xué)真題匯編：等差數(shù)列

參考答案與試題解析

選擇題（共1小題）

1.（2021?北京）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案

的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長0,S，04，（單位：cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為",

岳，b3,b4,b5（單位：cm）,且長與寬之比都相等.已知0=288,的=96,"=192,則歷=（）

A.64B.96C.128D.160

【分析】直接利用數(shù)列的等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：｛如｝和｛仇｝是兩個(gè)等差數(shù)列，且至（1<K5）是常值6=288,的=96,

bk

aA+au

故23=味工-=192,

小干252883

b3b21922

所以加=128.

另解：解得：16^.

5

Sb5a1

,.b]+b5

故：b5=F-=128?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的等差中項(xiàng)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

填空題（共1小題）

2.（2021?上海）已知等差數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為3,公差為2,則碗=21

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可直接求解.

【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛?。氖醉?xiàng)為3,公差為2,

貝?io=?7+9i/=3+5x2=21.

故答案為：21.

【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題（共3小題）

3.（2021?新高考H）記S,是公差不為。的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若的=S5,a2a4=S4.

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式如；

（II）求使*>如成立的n的最小值.

【分析】（I）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前〃項(xiàng)和的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）直接利用作差法的應(yīng)用和數(shù)列的分解因式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：（I）數(shù)列S,是公差d不為0的等差數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和，若。3=$2,4244=56.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，。3=55=5"3，故"3=4,

根據(jù)”2“4=56可得（。3-d）（的+d）=（C16-2d）+（。3-4）+"8+（的+”），

整理得-/=-24,可得d=2（"=0不合題意），

故。"=〃7+（?-3）d=2n-4.

（II）%='2n-6,dfg-4,

Sn--4〃+匚"2,）-x2=-7,5,Z1

2

2

Sn>a,n即n-4n>2n-6,

整理可得〃3-7〃+6>3,

當(dāng)”>6或"VI時(shí)，S">“"成立，

由于〃為正整數(shù)，

故n的最小正值為3.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?甲卷）記S,為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知%>0,。2=3卬，且數(shù)列｛、瓦｝是等差數(shù)列，證明：｛斯｝是等差

數(shù)列.

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛底｝的公差為比可用但、偲求出讓得到S,的通項(xiàng)公式，利用a"=S“-S-可求出

?！龅耐?xiàng)，從而證明｛〃“｝是等差數(shù)歹!!.

【解答】證明：設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為止

由題意得何=百；偲=不=歷=24，

則”而76/7Gi^i1)

所以S?—n2a4@;

當(dāng)有2時(shí),有S“T=(n-8)2al②.

由①②，得〃“=S〃-S〃-3=〃2〃I-(〃-3)2al=(6〃-1)③，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=8時(shí)也滿足③.

所以斯=(2/7-1)⑦，〃WN+,

當(dāng)n>2時(shí)，an-an-\=(8M-1)a\-(8z?-3)a\=2a\,

所以數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列.

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，涉及邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

5.(2021?乙卷)記S.為數(shù)列｛?。那?項(xiàng)和，兒為數(shù)列｛S.｝的前〃項(xiàng)積，已知各工=2.

Sn.bn

(1)證明：數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列；

(2)求他“｝的通項(xiàng)公式.

【分析】3)由題意當(dāng)〃=1時(shí)，b、=Si，代入已知等式可得"的值，當(dāng)它2時(shí)，將上￡-=&,代入2+工=

*SnL

2,可得兒-兒7=卷，進(jìn)一步得到數(shù)列｛九｝是等差數(shù)列；

(2)由0=5|=勿=3,可得a=止2,代入已知等式可得S,尸空2,當(dāng)龍2時(shí)，斯=S“_S“T=-7。,

22n+1n(n+l)

進(jìn)一步得到數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

【解答】解：(1)證明：當(dāng)"=1時(shí)，b尸S4,

由2+2=24=3,

Ibi2

當(dāng)佗3時(shí)，上2_=S“，代入2+且=2,

1-1Sn%

消去S,?可得2/4+_1_=2“-5一4=」，

bnbn2

所以｛兒｝是以2為首項(xiàng),1.

(2)由題意，得防=5|=匕7=3,

2

由(1),可得6"=5+(n-1)x——n+^,