是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數(shù)的方程可能出現(xiàn)以下情況：（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程（），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。（2）條件是用“關于的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數(shù)不為零的條件。如“關于的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。（3）方程中含有字母系數(shù)的項，且出現(xiàn)“關于的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數(shù)進行討論。如：“關于的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結(jié)果。ax2+bx+c=0

(a≠0)

1）．提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數(shù)名稱．

3）．強調(diào)：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數(shù)項可以不出現(xiàn)、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。1．說出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：

（1）x2十3x十2＝O

（2）x2—3x十4＝0；

(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；

(5)3x2—5＝0；

(6)6x2—x=0。2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：

(1)6x2＝3-7x；

(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、關于一元二次方程概念的題目（一）選擇題1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是關于的一元二次方程，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空題已知關于的方程當時，方程為一元二次方程，當時，方程為一元一次方程。（三）解答題已知關于的方程是一元二次方程，求n的取值范圍?！緟⒖即鸢浮浚ㄒ唬?．A2．D（二），（三）的取值范圍是.二、關于一元二次方程一般形式的題目（一）選擇題1．方程化成一般形式后，二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別為（）（A）3，－4，－2（B）3,2，－4（C）3，－2，－4（D）2，－2，02．一元二次方程化為一般形式（）后，的值分別為（）（A）6,4，3（B）6，－4,－3（C）5,4，－3（D）5,－4，33．一元二次方程化成一般式后，二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為－1，則的值為（）（A）－1（B）1（C）－2（D）2（二）填空題1．的二次項系數(shù)是，常數(shù)項為，的值為。2．方程化為一般式為，二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項的和為。3．一元二次方程，有兩個解為1和－1，則有，且有（三）解答題1．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項。（1）（2）（3）（4）（5）2．下列關于的方程是否為一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。（1）（2）（3）（4）【參考答案】一、1．B2．C3．B二、1．，0,12．；－83．0,0三、1．（1）；，，（2）；，，（3）；，，（4）；，0，（5）；，，2．（1）∵∴是一元二次方程二次項系數(shù)，一次項系數(shù)－4，常數(shù)項（2）是一元二次方程二次項系數(shù)5，一次項系數(shù)，常數(shù)項0。（3）當時，是一元二次方程二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是當時，不是一元二次方程。（4）∵∴是一元二次方程二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是典型例題例1

指出下列方程中哪些是一元二次方程（1）（2）（3）

（4）（5）（6）解：（1）整理得：移項，合并得：∴是一元二次方程（2）移項得：∴是一元二次方程（3）∵方程的分母中含有未知數(shù)∴它不是一元二次方程（4）∵方程中含有兩個未知數(shù)∴它不是一元二次方程（5）∵∴它是一元二次方程（6）整理得：移次，合并得：∵二次項系數(shù)合并后為0∴它不是一元二次方程點撥：對方程要先進行整理，然后再根據(jù)條件：①整式方程②只含有一個未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)為2只有當這三個條件缺一不可時，才能判斷為一元二次方程。例2把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再指出其二次項，一次項及常數(shù)項。（1）（2）（3）（4）（）（5）解：（1）整理，得二次項：，一次項，常數(shù)項0（2）整理，得：二次項：，一次項：，常數(shù)項：（3）整理，得：

（4）整理得：二次項：，一次項：0，常數(shù)項：（5）整理得：二次項：，一次項：，常數(shù)項：點撥：在移項，合并同類項時，易出現(xiàn)符號錯誤，需格外小心。要認真區(qū)別題目要求是指出方程的各項還是各項的系數(shù)。特別要小心當某項的系數(shù)為負數(shù)時，指出各項時千萬不要丟負號。例3

把下列關于的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。（1）（）（2）（）（3）（4）解：（1）（）二次項系數(shù)：，一次項系數(shù)：，常和項：（2）（）二次項系數(shù)：，一次項系數(shù)：0常數(shù)項：（3）二次項系數(shù)：2，一次項系數(shù)：常數(shù)項：（4）

二次項系數(shù)：，一次項系數(shù)：，常數(shù)項：1點撥：對于字母系數(shù)的方程的整理，應先明確其未知數(shù)，再確定各項的系數(shù)，特別要注意，一定要討論所除的二次項系數(shù)不能為0，因為一元二次方程只有在這個條件下才是有意義的。1．知識結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法2．重點、難點分析（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個非負數(shù)，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為的形式來求解。配方時要注意把二次項系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方這兩個關鍵步驟。（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點：1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒有公因數(shù)，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計算較為簡便。2）把一元二次方程的各項系數(shù)、、代入公式時，注意它們的符號。3）當時，才能求出方程的兩根。（3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法,十字交叉法，韋達定理。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼狻?.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我們已經(jīng)學會了它們的解法。特別是結(jié)合換元法，我們還會解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4

(讓學生說出過程)。解：方程兩邊開方，得

x-3=±2，移項，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.

(并代回原方程檢驗，是不是根)4.其實(x-3)2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)(x-3)2=4,

①x2-6x+9=4,

②x2-6x+5=0.

③二新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式。這個轉(zhuǎn)化的關鍵是在方程左端構(gòu)造出一個未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m)2。2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問：在x2+2x上添加一個什么數(shù)，能成為一個完全平方(x+?)2。

(添一項+1)

即

(x2+2x+1)=(x+1)2.練習，填空：x2+4x+()=(x+

)2;

y2+6y+(

)=(y+

)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。總結(jié)規(guī)律：對于x2+px,再添上一次項系數(shù)一半的平方，就能配出一個含未知數(shù)的一個次式的完全平方式。即.+()④

(讓學生對④式的右邊展開，體會括號內(nèi)第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次項，括號內(nèi)第二項的平方，恰是配方時所添的常數(shù)項)

項固練習(填空配方)

總之，左邊的常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方。

問：如果左邊的一次項系數(shù)是負數(shù)，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

鞏固練習(填空配方)

x2-bx+(

)=(x-

)2;

x2-(m+n)x+(

)=(x-

)2.

擴展資料配方法在解題中的應用

河北省正定中學趙建勛配方是數(shù)學中的一個重要方法，在解題中有廣泛的應用．本文通過例題談談它的一些應用．一、應用于因式分解例1分解因式x4＋4．解配方，得原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）．例2分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2．解原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）＝（a-2b）2-（b＋c）2＝（a-b＋c）（a-3b-c）．二、應用于解方程例3解方程3x2＋4y2-12x-8y＋16=0．解分別對x、y配方，得3（x2-4x＋4）＋4（y2-2y＋1）=0，3（x-2）2＋4（y-1）2＝0．由非負數(shù)的性質(zhì)，得

例4解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正實數(shù)）．解原方程變形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）2＋2（4x-yz）2＋4（2y-xz）2＋8（z-xy）2=0由非負數(shù)的性質(zhì)，得運用配方法可為應用非負數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造條件，解題中應注意掌握．三、應用于求二次函數(shù)的最值例5已知x是實數(shù)，求y＝x2-4x+5的最小值解由配方，得y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1∵x是實數(shù)，∴（x-2）2≥0，當x-2=0，即x=2時，y最小，y最小=1．例6已知二次函數(shù)y=x2-6x＋c的圖象的頂點與坐標原點的距離等于5，求c的值．解因為y＝x2-6x＋c＝x2-6x＋9-9＋c=（x-3）2＋c-9，所以這個二次函數(shù)的頂點坐標為（3，c-9），它與坐標原點的距離是四、應用于求代數(shù)式的值本題聯(lián)合應用了倒數(shù)法和配方法使問題得解．倒數(shù)法是一種解題技巧，解題時注意應用．解由已知條件，分別對a、b配方，得（a2-4a＋4）＋（b2-2b＋1）＝0，（a-2）2＋（b-1）2＝0．由非負數(shù)的性質(zhì)，得a-2＝0，b-1＝0．∴a＝2，b＝1．五、判定幾何圖形的形狀例9已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．證明由已知等式兩邊乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆項、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．由實數(shù)的性質(zhì)，得a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等邊三角形．習題精選用開平方法解一元二次方程一、選擇題1．方程的解為（

）A．

B．

C．

D．2．方程的解為（

）A．

B．C．

D．3．方程的實數(shù)根的個數(shù)是（

）A．0個

B．1個

C．2個

D．無數(shù)個4．方程的根是（

）A．

B．C．

D．5．對于形如的方程，它的解的正確表達式為（

）A．都可以用直接開平方法求解，且B．當時，C．當時，D．當時，二、填空題6．若，則的值是

。7．若方程有解，則的取值范圍是

。8．方程的解為

。答案：1．B

2．D

3．C

由，得

4．D

∵，∴，

5．C

當時，，∴6．

7．

8．用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程（1）

（2）（3）

（4）2．用配方法將下列各式化成的形式（1）

（2）（3）

（4）答案：1．（1）；

（2）；（3）；

（4）。2．（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式用公式法解一元二次方程一、選擇題1．用公式法解方程，得到（

）A．

B．C．

D．2．方程化簡整理后，寫成的形式，其中分別是（

）A．

B．C．

D．二、解答題3．用公式法解下列方程（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；（7）。答案：1．B

2．C

3．（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；

（7）。用因式分解法解一元二次方程一、填空題1．方程的根是

。2．（鹽城市，1998）方程的解是

。3．方程的解是

。二、解答題4．用因式分解法解方程（1）；

（2）；（3）；

（4）。5．用因式分解法解下列方程（1）；

（2）；（3）；（4）。答案：1．

2．

3．4．（1）；

（2）；（3）；

（4）.5．（1）；

（2）；（3）；

（4）.選擇適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于的方程1.2.3.4.5.6.答案1.（用直接開平方法）2.（因式分解法）3.4.5.6.（提示：）解含有字母系數(shù)的一元二次方程解關于的方程.答案:當=0時,=;當且0時,,;當>時,方程無實根.典型例題１－５例1用直接開平方法解下列方程分析用直接開平方法解方程,要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式,右邊是非負常數(shù)的形式,再根據(jù)平方根的定義求解.解：移項得：將方程各項都除以4得：∵是64的平方根∴∴例2用直接開平方法解下列方程。解：

∴，點撥：對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過應注意二次根式的化簡。例3用配方法解方程解：移項得：配方得：

解這個方程

∴，點撥:配方法是解一元二次方程的重要方法,是導出求根公式的關鍵.熟練掌握完全平方式是用配方法解題的基礎.對于二次項系數(shù)是1的方程,在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即可完成配方.例4用配方法解方程：

分析因為二次項系數(shù)不為1,所以要先將方程各項同時除以二次項系數(shù)后,再配方.解：方程兩邊同除以3得方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方

∴∴∴點撥:“方程兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方”這一步,是配方法的關鍵,“將二次項系數(shù)化為1”是進行這一關鍵步驟的重要前提.例1用公式法解方程解：移項得：∵∴∴∴，例5用公式法解方程移項得：∵∴∴∴點撥：用公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）確定出，，的值；（3）求出的值（或代數(shù)式）；（4）若，則可用求根公式求出方程的解，這樣可以減少許多不必要的計算.另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用,其中也包括不完全的一元二次方程.典型例題６－１０例6用因式分解法解下列方程。解:移項得：把方程左邊因式分解得：∴或∴點撥:在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意，把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式都為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了。例7用因式分解法解下列方程解：把方程左邊因式分解為：∴或∴

點撥:對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形式，均可用因式分解法求出方程的解。例8解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（