算子代數(shù)上的自同構(gòu)

假設(shè)a是算子的一代，是從a到自己的線性矩陣的矩陣。對任意的Z∈A且ST=Z,都有φ(ST)=φ(S)φ(T)成立,則稱φ在Z點可乘。如果φ是A上的自同構(gòu),顯然它在A中的每一點都可乘。反之,若φ在某些點處可乘也能夠說明φ是A上的自同構(gòu)。令A(yù)=B(H),其中H是復(fù)數(shù)域上的無限維Hilbert空間,對弱連續(xù)的線性滿射φ,本文證明了若φ在單位算子處可乘則它是B(H)上的自同構(gòu)。算子代數(shù)上自同構(gòu)的研究是最近幾十年算子代數(shù)領(lǐng)域中研究的熱點之一。大量的研究結(jié)果表明,保持某一性質(zhì)的映射就是同態(tài),自同構(gòu)或者反自同構(gòu)。在文獻中證明了B(H)上保單位的線性雙射φ如果保零積則φ是自同構(gòu)。荊武在文獻中證明了B(Χ)上的保單位且雙邊保零積的可加滿射是自同構(gòu);這里Χ是Banach空間。另外,朱軍等人在文獻中證明了套代數(shù)上的每個在恒等算子處可導(dǎo)且強算子拓撲連續(xù)的線性映射是一個內(nèi)導(dǎo)子。這說明一定條件下,映射在單位算子處可導(dǎo)蘊含它的可導(dǎo)性。本文中,H總表示無限維的復(fù)Hilbert空間,〈·,·〉表示H上的內(nèi)積,對x,y∈H,x?y表示秩一算子〈·,y〉x。B(H)和F(H)分別表示H上全體有界線性算子的集合和上全體有限秩線性算子的集合。B(H)上被賦予由半范數(shù)族Px,y(T)=|<Tx,y>|,(?x,y∈H)產(chǎn)生的弱算子拓撲。ran(T)和N(T)分別表示T(T∈B(H)的值域空間和核空間。T*表示T的共軛算子。如果存在可逆算子A∈B(H),使得對任意的T∈A有φ(T)=ATA-1,則稱φ是B(H)上的自同構(gòu)。1為現(xiàn)實中的+at下面的引理1中X是Banach空間,B(X)表示X中所有有界線性算子之集,X*表示X的對偶空間。引理1設(shè)φ是B(X)上弱連續(xù)的線性映射,把一秩算子映為最多一秩的算子,則φ必為下列形式之一:(ⅰ)存在A∈B(X),C∈B(X)使得φ(T)=ATC;(ⅱ)存在A∈B(X*→X)和C∈(X→X*)使得φ(T)=AT*C;(ⅲ)存在弱-弱連續(xù)線性映射δ:B(X)→y及f0∈X*使得φ(T)=δ(T)?f0;(ⅳ)存在弱-弱*連續(xù)線性映射λ:B(X)→X*及x0∈X使得φ(T)=x0?λ(T)。引理2設(shè)φ:B(H)→B(H)是強連續(xù)的線性滿射;如果φ在I處可乘,則φ(I)=I。證明:對任意的冪等算子p∈B(H),因為于是由φ在I處可乘知由文獻中的結(jié)果知B(H)上的每個算子都可表示為B(H)中最多5個冪等算子的和,又因為φ是滿射,故對任意的T∈B(H),φ(I)T=Tφ(I)。這說明φ(I)∈CI,即存在λ∈C,φ(I)=λI,由φ(I)=φ(I)2知λ=0或λ=1。進而由文獻中的結(jié)果知F(H)在B(H)中是強算子拓撲稠密的,于是對任意的T∈B(H)有φ(T)2=0。這說明φ的像是由一些平方為零的算子組成的。因為I∈B(H)且平方不為零,這與φ的滿射性矛盾,于是φ(I)=I。引理3設(shè)φ:B(H)→B(H)是弱連續(xù)的線性滿射,如果φ在I處可乘,則:(ⅰ)對任意的冪等算子P∈B(H),φ(P)2=φ(P);(ⅱ)對任意的冪零算子P∈B(H),φ(P)2=0。證明:(ⅰ)設(shè)P∈B(H)是冪等算子,則由φ在I處可乘知及引理2知(ⅱ)設(shè)P∈B(H)且P2=0,則(I-P)(I+P)=I。由φ在I處可乘及引理2知由式(4)即得φ(P)2=0。2可逆算子t產(chǎn)定理1設(shè)φ:B(H)→B(H)是弱連續(xù)的線性滿射,如果φ在I處可乘,則φ是自同構(gòu)。證明:首先證明φ保持冪等算子的秩一性,設(shè)P∈B(H)是秩一冪等算子,令和則B(H)=X1⊕X2⊕X3⊕X4=Y1⊕Y2⊕Y3⊕Y4。對任意的T∈X2有(T+P)2=T+P且T2=0,由引理3知有φ(T+P)2=φ(T+P)和φ(T)2=0成立。即由式(5)得φ(P)φ(T)φ(P)=0。于是這說明φ(X2)?Y2+Y3。同理可證φ(X3)?Y2+Y3。由P是秩一冪等算子知X1=CP。顯然φ(X1)?Y1,下證φ(X4)?Y4。事實上,H按分解H=ranP⊕ran(I-P),有X4=B(ran(I-P))且ran(I-P)是無限維的復(fù)Hilbert空間。由文獻中的結(jié)果知,X4中的每個算子都可以表示成X4中至多5個冪等算子之和。只需證對任意的冪等算子Q∈X4有φ(Q)∈X4。設(shè)Q∈X4是任意一個冪等算子,因為PQ=QP=0,所以(P+Q)2=P+Q。由引理3知注意到φ(P)2=φ(P),于是由式(6)、(7)得進而有即ms1⊕t1+(1-m)s2⊕t2=sm⊕tm。這說明一定有s1,s2線性相關(guān),或者t1,t2線性相關(guān)。于是有rank(φ(x⊕y))+rank(s1⊕t1-s2⊕t2)≤1。下面再證明,對任意的T∈B(H),存在可逆算子A∈B(H)使得φ(T)=ATA-1或者φ(T)=AT*A-1。由前面的證明知φ滿足引理1的條件。因為φ是滿射,所以存在T0∈B(H)使得rank(φ(T0))>0,這說明φ只有引理1中的形式(i)或(ii)。若φ有引理1中的形式(ⅰ),則存在A,C∈B(H)使得因為φ是滿射,由式(8)知A是滿射。另外,若存在x0∈H使得Ax0=0。則由Hahn-Banach定理知,存在z∈H使得〈x0,z〉=1,由前面的證明知φ(x0⊕z)是秩一算子;這與φ(x0⊕z)=Ax0⊕Cz=0矛盾。即A也是單射。由I=φ(I)=AIC=AC知C=A-1,于是φ(T)=ATA-1。若φ具有引理1中的形式(ii),同理可證φ(T)=AT*A-1。最后證明φ是自同構(gòu)。設(shè)M奐H是可分子空間且{en}∞n=0是M的基。定義M上的算子S如下,S(en)=en+1(n=0,1,…)。注意到S左可逆但右不可逆,于是對任一可逆算子T∈B(M⊥),S⊕T∈B(H)左可逆但右不可逆的。即存在Z∈B(H)使得Z(S⊕T)=I但(S⊕T)Z≠I。假如對任意的T∈B(H)有φ(T)=AT*A-1,則這與φ((S⊕T)Z)≠φ(I)矛盾。由以上證明知φ是自同構(gòu)。同理有由式(1)和(2)得φ(I)φ(P)=φ(P)φ(I)。若φ(I)=0,則由式(1)知,對任意冪等算子P∈B(H),φ(P)2=0。設(shè)S∈F(H)是自伴算子,則,其中Pi∈B(H),(i=1,2,…,n)是一族正交的投影算子且αi∈R。因為Pi+Pj(i≠j)還是投影算子,所以由φ(Pi+Pj)2=0知從而有。對任意F∈B(H),總可表示為F=S1+iS2,其中S1,S2∈F(H)是自伴算子。因為φ(S1+S2)2=0,于是由(3)式得φ(P)2=φ(P)。另外,由X1=CP知φ(X1)=Cφ(P),所以φ(B(H))∈Cφ(P)⊕Y2⊕Y3⊕Y3。又由φ是滿射知Cφ(P)=Y1=φ(P)B(H)φ(P),所以φ(P)是秩一算子。其次,證明對任意的秩一算子x茌y∈B(H),rank(φ(x茌y))燮1。若〈x,y〉≠0,則x茌y是秩一冪等算子的倍數(shù),因而φ(x⊕