clifman代數(shù)的二維雙曲復(fù)空間

1類(lèi)時(shí)類(lèi)時(shí)區(qū)的劃分由cloffo的虛擬單位數(shù)j組成的二維雙曲復(fù)空間。H2={(x,jct)},(1.1)或記為H2={x+jct}.(1.2)其中c為光速;t為時(shí)間;x,t∈R(實(shí)域);雙曲虛單位j有性質(zhì):j2=1,j*=-j(j*稱為j的共軛元).在H2中引入內(nèi)積(x1,jct1)·(x2,jct2)=x1x2+(jct1)(jct2)2=x1x2-c2t1t2,(1.3)則H2構(gòu)成二維Minkowski空間(Minkowski平面).任取w=(x,jct)∈H2,由內(nèi)積(1.3)定義其間隔數(shù)為σ(w)=√|w?w|=√|x2-c2t2|σ(w)=|w?w|??????√=|x2?c2t2|????????√.(1.4)記H2的未來(lái)類(lèi)時(shí)區(qū)為H+2={x+jct∈H2|ct≥|x|,僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成立},(1.5)取H+2中非零元w,定義其幅角為φ=arctanh(x/ct).(1.6)任取w=x+jct∈H+2,w≠0時(shí),由(1.4)—(1.6)式可將其表示為w=σ(w)j(coshφ+jsinhφ),(1.7)特別當(dāng)σ(w)=1時(shí),有w=j(coshφ+jsinhφ).(1.8)定義H+2的二元運(yùn)算。:w1。w2=jw1w2,(1.9)直接驗(yàn)證可知,(H+2,。)是群,且有σ(w1。w2)=σ(w1)σ(w2).(1.10)令U+2={w∈H+2|σ(w)=1},(1.11)則由(1.9)和(1.10)式知,(U+2,。)是群,稱其為類(lèi)時(shí)單位群.定理1.1任取u∈U+2,定義映射Lu:H+2→H+2,w→-u*。w,(1.12)則Lu為L(zhǎng)orentz變換.證明任取u∈U+2(由(1.8)式u可寫(xiě)成u=j(coshφ+jsinhφ),-u*可寫(xiě)成-u*=j(coshφ-jsinhφ)),任取w=x+jct,令w′=x′+jct′=u。w,則有w′=x′+jct′=u。w=j(-u*w)=(coshφ-jsinhφ)(x+jct)=(xcoshφ-ctsinhφ)+j(ctcoshφ-xsinhφ),(1.13)令v=x/t,γ=coshφ可導(dǎo)出x′=γ(x-vt),t′=γ(t-(v/c2)x),(1.14)故命題成立.令L={Lu|u∈U+2},驗(yàn)證可知L關(guān)于變換的合成作成群,即L為二維Minkowski平面的Lorentz群.建立映射f:L→U+2,Lu→-u*.(1.15)易驗(yàn)證,f為群的同構(gòu)映射,即Lorentz群L可由類(lèi)時(shí)單位群U+2表示.2wwj表征2將二維雙曲復(fù)空間H2的空間分量由一維改為三維(二維),引入四維(二維)雙曲復(fù)空間的概念,可用于表述四維(三維)Minkowski空間.令H4={(x,y,z,jct)},(2.1)或?qū)懗蒆4={r+jct},(2.2)其中r=(x,y,z)為三維實(shí)位矢.任取w=r+jct∈H4,定義其間隔數(shù)為σ(w)=√|r2-c2t2|σ(w)=|r2?c2t2|????????√,(2.3)這里r2=x2+y2+z2.由間隔數(shù)定義內(nèi)積(r1+jct1)·(r2+jct2)=r1·r2+(jct1)(jct2)*=x1x2+y1y2+z1z2-c2t1t2,(2.4)則H4成為四維Minkowski時(shí)空,H4的未來(lái)類(lèi)時(shí)區(qū)為H+4={r+jct∈H4|ct≥r僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成立},(2.5)任取非零元w∈H+4,定義其幅角為φ=arctanh(r/ct),(2.6)則w可表為w=σ(w)j(coshφ+jr。sinhφ),(2.7)其中r。=r/r.定義U+4={w∈H+4|σ(w)=1},(2.8)則任取w∈U+4,有w=j(coshφ+jr。sinhφ).(2.9)在H4中引入二元運(yùn)算(r1+jct1)。(r2+jct2)=j((r1·r2+c2t1t2)+j(ct2r1+ct1r2)),(2.10)驗(yàn)證可知,(H4,。)是群.但(2.10)式不具有與(1.9)及(1.10)式相對(duì)應(yīng)的性質(zhì),即σ(w1。w2)與σ(w1)σ(w2)不必相等,且任取w1,w2∈H+4不必有w1。w2∈H+4.例2.1取w1=(√3/2?0?0?j)?w2=(0?√3/2?0?j)∈Η+4,則有w1?w2=(√3/2?√3/2?0?j)?Η+4,且有σ(w1?w2)=√2/2≠1/4=σ(w1)σ(w2).對(duì)應(yīng)于上式,用直接驗(yàn)證的方法可證如下定理.定理2.1任取w1,w2∈H+4,若r1,r2線性相關(guān),則σ(w1。w2)=σ(w1)σ(w2),且w1·w2∈H+4.例2.1表明,由(2.10)式引入的二元運(yùn)算只對(duì)H4封閉,對(duì)H+4不封閉,且不保持間隔數(shù).對(duì)應(yīng)于此,給出如下定理.定理2.2H+4對(duì)于如下的運(yùn)算⊙封閉,且保持間隔數(shù)⊙:(r1+jct1)⊙(r2+jct2)=(r1+jct1)。(r2‖+αr2⊥+jct2),(2.11)其中,α=√1-r21/c2t21?r2∥與r2⊥分別為r2平行于r1及垂直于r1的分量.證明任取w1=r1+jct1,w1=r2+jct2∈H+4,令w=r+jct=w1⊙w2,由(2.10)與(2.11)式將其展開(kāi)并整理,可得r=ct1(r2‖+αr2⊥)+ct2r2,ct=r1r2‖+c2t1t2.(2.12)將α=√1-r21/c2t21代入(2.12)式,可得(ct)2-r2=(c2t21-r21)(c2t22-r22)≥0,(2.13)可知H+4對(duì)運(yùn)算⊙封閉,再由(2.13)式可知σ(w1⊙w2)=√(c2t21-r21)(c2t22-r22)=σ(w1)σ(bfw2),(2.14)綜上,命題成立.令U+4={w∈H+4|σ(w=1)},則有下面定理.定理2.3任取u∈U+4,定義映射Lu:H+4→H+4,w→-u*⊙w,