歐氏空間中曲線的切可展面和從切可展面的點云

1類空、類光向量的智能化w.alice，s.izumiya等人使用高函數和距離橢圓函數作為工具研究了歐洲空間中曲線的切可伸長曲線、從切可伸長曲線和從交叉插入曲線的奇跡分類。在文獻中，我們研究了三維minkflow空間中光曲線的焦可伸長曲線以及作為法線平面的輔助色度的點分類。在本文中，我們討論了三維minkflow空間中光曲線從交叉延伸的便利性分類，并研究了俱樂部的相似性與曲線幾何的不變量的關系。其中和是曲線的曲率和抗彎率。下面簡單介紹本文所需的基本概念,并給出本文的主要結果.設R3={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈R}是三維實向量空間,x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)是R3中的兩個向量,它們的偽內積定義為〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3.(R3,〈,〉)叫做三維偽歐式空間或三維Minkowski空間.將(R3,〈,〉)簡記為R31.R31中任意兩個向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)的偽向量積定義為:x∧y=(x3y2-x2y3,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1),并且對非零向量x∈R31,若〈x,x〉>0,〈x,x〉=0或〈x,x〉<0,則x分別叫做類空向量、類光向量或類時向量.向量x∈R31的范數定義為:∥x∥=√sign(x)?x,x?,若‖x‖=1,則x叫做單位向量.其中sign(x)表示x的符號,當x是類空、類光或類時向量時,它的取值分別為:1,0或-1.本文考慮的曲線均為非類光曲線.若無特別聲明,文中涉及的曲線和映射均是C∞的.設γ:I→R31;γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是R31中的正則曲線,(即對任意t∈Ι?其中I是一個開區(qū)間.對任意的t∈I,當?γ˙(t),γ˙(t)?＞0??γ˙(t),γ˙(t)?=0??γ˙(t),γ˙(t)?＜0,曲線γ分別叫做類空曲線、類光曲線或類時曲線.若γ是類空曲線或類時曲線,則稱γ為非類光曲線.非類光曲線以γ(t0),t0∈I為起點的弧長為s(t)=∫t0t∥γ˙(x)∥dx,且‖γ′(s)‖=1,其中γ′(s)=dγds(s).所以當‖γ′(s)‖=1時,稱非類光曲線的參數s為弧長參數.記t(s)=γ′(s),稱之為γ在點s處的切向量.將曲線γ在點s處的曲率記為k(s)=|?γ″(s),γ″(s)?|.若k(s)≠0,則曲線γ在點s處的主法向量n(s)由γ″(s)=k(s)·n(s)給出.記ε(γ)=sign(t(s)),δ(γ)=sign(n(s)).b(s)=t(s)∧n(s)叫做曲線γ在s處的副法向量,且sign(b(s))=-ε(γ)δ(γ).則有以下的Frenet-Serret型公式成立.{t′(s)=k(s)?n(s)?n′(s)=-ε(γ)?δ(γ)k(s)?t(s)+ε(γ)?τ(s)?b(s)?b′(s)=τ(s)?n(s).其中τ(s)是曲線γ在點s處的撓率.這是研究R13中非類光曲線的基本公式,對任意的單位速度曲線γ:I→R13,將D(s)=τ(s)t(s)-κ(s)b(s)和D～(s)=τκ(s)t(s)-b(s)分別稱為曲線γ(s)的達布向量和修正達布向量.曲面RDγ(s,u)=γ(s)+uD～(s)=γ(s)+u((τ/κ)t-b)(s)稱為曲線γ(s)的從切可展曲面.并用Im(S1,R13)表示τ≠0,κ≠0的非類光曲線γ:S1→R13的集合.本文的目的是給出從切可展曲面RKγ(s,u)在通有條件下的奇點分類,主要結果如下:定理1.1如果在Im(S1,R31)中考慮Whitney-C∞拓撲,那么滿足性質(1)和(2)的全體曲線構成的集合是Im(S1,R13)中的剩余集合.(1)滿足(τ/κ)″(s)=0的點s∈S1的個數是有限的;(2)不存在滿足(τ/κ)″(s)=(τ/κ)ue087(s)=0的點s∈S1.定理1.2設γ:I→R13為非類光單位速度曲線,則有以下結論成立:(a)曲線γ的從切可展曲面RDγ在點γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))處局部上微分同胚于尖點型曲面C×R當且僅當(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0);(b)曲線γ的從切可展曲面RDγ在點γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))處局部上微分同胚于SW當且僅當(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)=0,(τ/κ)ue087(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0).這里SW={(x1,x2,x3)|x1=3u4+u2v,x2=4u3+2uv,x3=v}是燕尾,C={(x1,x2)|x12=x23}是通常的尖點.2f速度曲線方程的形式在此引入法方向的距離函數族,它對于研究RDγ的奇點分類是非常有效的.設γ:I→R13是單位速度曲線且滿足κ≠0,τ≠0.現在在開區(qū)間I上定義一族具有三個參數光滑函數.G:I×R13→R,G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉,并稱G為曲線γ的法方向上的距離函數.對任意給定的v∈R13,記gv(s)=G(s,v).關于曲線法方向的距離函數族,通過直接計算可獲得下面結論:命題2.1設γ∶I→R13為單位速度曲線,κ≠0且τ≠0,則:(1)gv(s)=0當且僅當v-γ(s)=λt(s)+μb(s),其中λ,μ為任意實數;(2)gv(s)=g′v(s)=0當且僅當v-γ(s)=u(τκ(s)t(s)-b(s)),其中u為任意實數;(3)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=0當且僅當v-γ(s)=-1(τ/k)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0;(4)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=0當且僅當v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0?(τ/κ)″(s)=0;(5)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=gv(4)(s)=0當且僅當v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0?(τ/κ)″(s)=0?(τ/κ)?(s)=0.3df局部微分同胚本節(jié)將應用函數芽奇點理論的某些結果.設F:(R×Rr,(s0,x0))→R是一函數芽,稱F為f的r參數開折,其中f(s)=Fx0(s,x0).若對所有1≤P≤κ,都有f(p)(s0)=0,且f(k+1)(s0)≠0,稱f在點s0處有Ak類奇點.若對所有1≤p≤k,都有f(p)(s0)=0,則稱f在點s0處具有A≥k類奇點.設F為f的單參數開折且f在點s0處具有Ak(k≥1)類奇點.記點s0處的偏導數?F?xi的(k-1)導網為j(k-1)(?F?xi(s,x0))(s0)=∑j=1k-1αjisj?i=1?r.若k×r階系數矩陣(α0i,αji)的秩為k(k≤r),則稱F為f的通用開折,其中α0i=?F?xi(s0?x0).并稱DF={x∈Rr|F(s,x)=?F?s(s,x)=0}為F的判別式集合.則有以下定理(參考文獻).定理3.1設F:(R×Rr,(s0,x0))→R是f的r參數通用開折,且f在點s0處具有Ak類奇點.(a)若k=1,則DF局部微分同胚于{0}×Rr-1;(b)若k=2,則DF局部微分同胚于C×Rr-2;(c)若k=3,則DF局部微分同胚于SW×Rr-3.對于法線方向的距離函數G,有以下命題:命題3.1如果gv0(s)在點s0處有Ak(k=1,2,3)類奇點,那么G(s,v)是gv0(s)的通用開折.證明設v=(v1,v2,v3),γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s)),n(s)=(n1(s),n2(s),n3(s)),G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉=-(v1-x1(s))n1(s)+(v2-x2(s))n2(s)+(v3-x3(s))n3(s),?G?v1=-n1(s),?G?v2=n2(s),?G?v3=n3(s),j2(?G?v1(s,x0))(s0)=-n′1(s0)s-12n″1(s0)s2,j2(?G?vi(s,x0))(s0)=n′i(s0)s+12n″i(s0)s2(i=2?3).(ⅰ)當gv(s)在點s0處有A1類奇點,需證1×3矩陣(-n1(s0),n2(s0),n3(s0))的秩為1.因為n(s0)≠0,所以結論是顯然的.(ⅱ)gv(s)在點s0處有A2類奇點當且僅當v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0)),(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0,即(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.當gv(s)有A2類奇點,需證2×2矩陣(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0))的秩為2,該結論可由下邊的結論得出.(ⅲ)gv(s)在點s0處有A3類奇點當且僅當v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0))?(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0?(τ/κ)″(s0)=0?(τ/κ)?(s0)≠0,當gv(s)在點s0處有A3類奇點,需證3×3矩陣(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0)-12n″1(s0)12n″2(s0)12n″3(s0))是非奇異的.以上矩陣的行列式值為-12(n(s0),n′(s0),n″(s0))=-12?n(s0)∧n′(s0)?n″(s0)?=-ε(γ)2(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.即3×3矩陣的秩為3.因此證明完畢.有了以上的準備工作,可給出定理3.1的證明.由命題2.1,可知法向距離函數G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉的判別式集合為DG={v|v=γ(s)+u(τκ(s)t(s)-b(s))},它恰恰是曲線γ(s)的從切可展曲面RDγ(s,u),由命題3.1,可知G(s,v)為Gv0(s)的通用開折,對G(s,v)應用定理3.1即可完成對定理1.2的證明.4/主要研究從切可展曲面的幾何性質.由上面的命題可知函數(τ/κ)′(s)和修正達布向量D(s)=(τ/κ)(s)t(s)-b(s)是重要的幾何不變量.如果(τ/κ)′(s)=0,那么曲線γ(s)是R13中的螺線.對于單位速度曲線γ:I→R31,單位切曲線t∶I→S2叫做γ的球面象.并且該曲線γ的球面切象的測地曲率為-δ(γ)(τ/κ),稱其為γ的圓錐測地曲率.設γi:I→R13從切可展曲面到非類光正則曲線γ1p(s0)=γ2(p)(t0)(0≤p≤k),γ1k+1(s0)≠γ2(k+1)(t0),那么就稱γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)點切觸.由曲率和撓率的定義,有以下兩個命題成立.命題4.1若γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)點切觸,則(τ/κ)1(p)(s0)=(τ/κ)2(p)(t0)(0≤p≤k-3),且(τ/κ)(k-2)1(s0)≠(τ/κ)2(k-2)(t0).命題4.2設γ:I→R13為非類光正則曲線,且τ(s0)≠0,κ(s0)≠0,則存在開區(qū)間s0∈J?I上惟一的螺線g:J→R13使得g(s0)=γ(s0),g的曲率為κ(s),g在s0的撓率為τ(s0)且γ和g在s0有至少4點切觸.證明只要在初始條件g(s0)=γ(s0),g′(s0)=γ′(s0),g″(s0)=γ″(s0),gue087(s0)=γue087(s0)下,解出方程κg(s)=κ(s),τg(s)=(τ/κ)(s0)κ(s)就可以證明命題,命題中的螺線g叫做γ在s0的密切螺線.所以從切可展曲面的奇點描述了曲線和螺線的差別程度.關于非類光曲線的從切可展曲面有如下性質:命題4.3設S為直紋面,γ(s)是S上曲率處處不為零的非類光正則曲線,則以下條件是相互等價的:(1)S是γ(s)的從切可展曲面;(2)s在p的s的法線上的切平面證明因為S是可展曲面,則沿通過p的直母線的S的切平面是同一個.因為γ(s)是S的測地線且與母線橫截,所以γ(s)在p=γ(s0)處的主法線與S在p∈S的法線重合,即S在p=γ(s0)處的切平面與γ(s)在p=γ(s0)處的從切平面重合.由于沿著通過p的直母線的S的切平面是固定的,所以S是γ(s)的從切平面的包絡.證明完畢.5單次pk變換考慮了三維Minkowski空間中非類光曲線的Monge?-Taylor映射.設γ:I→R13為正則曲線,I是三維Minkowski空間中單位圓S1上的連通開子集.現在選擇一族光滑單位向量n(t),它是γ在t處的法線,‖n(t)‖=1,且對任意t∈I,〈n(t),t(t)〉=0.也可以獲得另一族光滑單位向量b(t)=t(t)∧n(t).用由t(t),n(t),b(t)張成的正交直線作為曲線在點γ(t)處的坐標軸,依賴于曲線的移動坐標軸上的單位點分別對應以上三個單位向量.注意此處不要求γ一定是單位速度曲線,其中γ(t0)=0.γ(I)局部上可以記為{(ζ,ft(ζ),gt(ζ))},且j1ft(0)=j1gt(0)=0.設Vk代表關于ζ的次數大于等于2小于等于k的多項式集合.對非類光曲線γ,有Monge?-Taylor映射μγ:I→Vk×Vk,μγ(t)=(jkft(0),jkgt(0)),(Vk×Vk可以等同于R1k-1×R1k-1=R12k-2,坐標記為(a2,…,ak,b2,…,bk)).當然μγ與n(t)的選取密切相關.這里,ai=ft(i)(0)i!?bi=gt(i)(0)i!(2≤i≤k),即Vk×Vk={(a2ζ2+a3ζ3+…+akζk),(b2ζ2+b3ζ3+…+bkζk)},設Pk代表形式為Ψ(x,y,z)=((Ψ1(x,y,z),Ψ2(x,y,z),Ψ3(x,y,z))的映射ψ:R13→R13的集合,其中ψi(x,y,z)是關于x,y,z的次數≤k的多項式.元素ψ∈Pk由ψ1,ψ2與ψ3中單項式xiyjzk的系數決定,共有k3+6k2+11k+66個次數≤k的單項式xiyjzk,所以Pk可以看成Minkowski空間R1k3+6k2+11k+62.這個空間可以提供所需要的曲線和形變.為了使問題簡化,假設曲線γ是常態(tài)的,并且γ(I)有界.恒同映射1R31:R13→R13自然是Pk(k≥1)中的元素.設γ滿足以上假設,易知存在1R31的開鄰域U?Pk,它有以下性質:若ψ∈U,則線性映射Tψ(γ(t)):R13→R13;v→Dψ(γ(t))·v滿足把類時向量映成類時向量,類空向量映成類空向量.其中Dψ(γ(t))代表ψ在γ(t)處求導(事實上這兩個條件可以寫成γ(t)的開鄰域上的兩個代數不等式.所以由γ(S1)的緊性,滿足以上兩個條件的集合是有限個開集的交,自然是開集.因為映射ψ:R13→R13在包含γ(I)的開集上是微分同胚,向量n(t)被映成新向量Dψ(γ(t))n(t),它既不是零向量也不與ψ。γ在t處相切.把這個向量正交投射到ψ。γ在t處的法平面并將其正規(guī)化就得到nψ(t),且〈nψ(t),nψ(t)〉=δ(ψue0c9γ),nψ(t)=-ε(γ)(ψ?γ)(Dψ(γ(t))n(t)+?Dψ(γ(t))n(t),tψ?tψ)∥Dψ(γ(t))n(t)+?Dψ(γ(t))n(t),tψ?tψ∥,其中,tψ表示曲線ψ。γ在t處的切向量.所以按照以上假設,選擇1I∈Pk的一個開鄰域U,它是由把包含γ(I)的開集同胚的以其象集的多項式映射構成的集合.現在證明了存在光滑映射:μ:S1×U→Vk×Vk,μ(-,ψ)是ψ。γ應用向量族nψ(t)的Monge?-Taylor映射.因此有以下定理.定理5.1設γ是非類光曲線,Q是Vk×Vk=R2k-2的一個子流形.對包含恒同映射的某個開集U1?U,由μ(t,ψ)=μψue0c9γ(t)定義的映射μ:S1×U→Vk×Vk與Q橫截(事實上,可以證明μ是淹沒映射,不需要考慮Q的情形).通過直接計算,可以得到以下引理.由于計算過程繁瑣,在此省略證明.引理5.1設γ:S1→R13,γ(t)=(ζ,ft(ζ),gt(ζ))=(ζ,a2ζ2+a3ζ3+…,b2ζ2+b3ζ3+…),γ(t)是滿足ζ(t0)=0的非類光曲線,則:(1)在t0處κ=0當且僅當a22+b22=0;(2)(τ/κ)′(t0)=0當且僅當f1(a2,a3,a4,b2,b3,b4)=0,其中f1=4(a2b4-a4b2)(a22+b22)-(9a2a3+9b2b3)(a2b3-a3b2);(3)(τ/κ)″(t0)=0當且僅當f2(a2,a3,a4,a5,b2,b3,b4,b5)=0,其中f2=12(a2b3-a3b2)(a22+b22)3+4(3a3b4-3a4b3+5a2b5-5a5b2)