2023-2024學(xué)年河北省衡水市高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.412．某救援隊(duì)有5名隊(duì)員，其中有1名隊(duì)長(zhǎng)，1名副隊(duì)長(zhǎng)，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個(gè)行動(dòng)小組，其中一組2名隊(duì)員，另一組3名隊(duì)員，則正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為（）A. B.C. D.3．下列說(shuō)法或運(yùn)算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角”時(shí)需設(shè)“一個(gè)三角形沒(méi)有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線(xiàn)不可能與圓相切4．在中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動(dòng),其中高二年級(jí)抽取了8人,則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.3205．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.7．彬塔，又稱(chēng)開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱(chēng)“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.8．已知是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.20229．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.10．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，則點(diǎn)F到其一條漸近線(xiàn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.411．下列曲線(xiàn)中，與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)是（）A. B.C. D.12．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線(xiàn)上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.1362二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn)，已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線(xiàn)的方程為，則的外接圓方程為_(kāi)_____.14．我國(guó)民間剪紙藝術(shù)在剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對(duì)折次可以得到兩個(gè)規(guī)格相同的圖形，將其中之一進(jìn)行第次對(duì)折后，就會(huì)得到三個(gè)圖形，其中有兩個(gè)規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個(gè)之一進(jìn)行第次對(duì)折后，就會(huì)得到四個(gè)圖形，其中依然有兩個(gè)規(guī)格相同，以此類(lèi)推，每次對(duì)折后都會(huì)有兩個(gè)圖形規(guī)格相同.如果把次對(duì)折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對(duì)折次，則________.15．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則_____________16．若直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)或，（1）若時(shí)，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍18．（12分）已知直線(xiàn)l的斜率為-2，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積等于1．圓C的圓心在第四象限，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心，圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為4．若直線(xiàn)x－2y－1＝0與圓C相切，求圓C的方程19．（12分）已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小1.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）點(diǎn)M，N在點(diǎn)P的軌跡上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求面積的最小值.20．（12分）設(shè)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.21．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.2、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)為故正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為.故選：C.3、D【解析】對(duì)于A：可以解決；對(duì)于B:“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒(méi)有銳角”；對(duì)于C：全稱(chēng)否定必須是全部否定；對(duì)于D：需要觀察出所給直線(xiàn)是過(guò)定點(diǎn)的.【詳解】A：，故錯(cuò)誤；B：“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒(méi)有銳角”，所以用反證法時(shí)應(yīng)假設(shè)只有一個(gè)銳角和沒(méi)有銳角兩種情況，故錯(cuò)誤；C：的否定形式是，故錯(cuò)誤；D：直線(xiàn)是過(guò)定點(diǎn)（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點(diǎn)（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故正確；故選：D.4、D【解析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【詳解】設(shè)高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D5、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.故選：C.6、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.7、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D8、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線(xiàn)的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線(xiàn)為：，因此，所以，即，由拋物線(xiàn)的定義可得，所以故選：C9、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計(jì)算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則，，，所以.故選：D10、A【解析】由雙曲線(xiàn)方程可寫(xiě)出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)一漸近線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取一條漸近線(xiàn)為，故點(diǎn)F到漸近線(xiàn)的距離為，故選：A11、B【解析】求出已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B12、B【解析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，與歐拉線(xiàn)方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標(biāo)，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為，則線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在任意弦的中垂線(xiàn)上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式14、①.②.【解析】首先根據(jù)題意得到，再計(jì)算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?.故答案為：；15、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：16、【解析】根據(jù)圓的求得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心為，因?yàn)閳A心為在直線(xiàn)上，可得，解得.故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）充要條件；（2）.【解析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，解得或，顯然p是q的充要條件；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集，顯然由，但不成立，因此p是q的充分不必要條件，不符合題意；當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為：，顯然當(dāng)時(shí)，不一定成立，因此p不是q的必要不充分條件，當(dāng)時(shí)，該不等式解集為：，要想p是q的必要不充分條件，只需，而，所以，因此a的取值范圍為：.18、【解析】先根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程，由條件求出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)條件列出等量關(guān)系，求出圓心和半徑，進(jìn)而求得答案.【詳解】解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝－2x＋b（b＞0），它與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)依次為，，因?yàn)橹本€(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于1，所以，解得b＝2，所以直線(xiàn)l的方程是，即由題意，可設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，又因?yàn)閳AC被x軸截得的弦長(zhǎng)等于4，所以①，由于直線(xiàn)與圓相切，所以圓心C到直線(xiàn)的距離②，所以①②聯(lián)立得：，解得：或，又圓心在第四象限，所以，則圓心，，所以圓C方程是.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離，再由拋物線(xiàn)定義即可得解.(2)由(1)設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再結(jié)合給定條件及三角形面積定理列式，借助均值不等式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小1，顯然點(diǎn)P與F在直線(xiàn)l同側(cè)，于是得點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離，則點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以點(diǎn)P的軌跡方程是.【小問(wèn)2詳解】由(1)設(shè)點(diǎn)，，且，因，則，解得，S，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線(xiàn)的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.20、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點(diǎn)值確定最值.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴,又,,∴21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)首項(xiàng)為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），利用列項(xiàng)相消求和法即可