學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)案61古典概型導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1。理解古典概型及其概率計算公式.2。會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．自主梳理1．基本事件有如下特點：(1)任何兩個基本事件是________的．(2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________．2．一般地，一次試驗有下面兩個特征(1)有限性．試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）等可能性．每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同，稱這樣的概率模型為古典概型．判斷一個試驗是否是古典概型，在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性．3．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是________；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個,那么事件A的概率P(A)＝________.自我檢測1．（2011·濱州模擬)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的橫、縱坐標(biāo)，則點P在直線x＋y＝5下方的概率為（）A。eq\f（1,6) B.eq\f(1,4） C.eq\f(1，12) D。eq\f(1,9)2．（2011·臨沂高新區(qū)期末）一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個大小相同的小正方體,若將這些小正方體均勻地攪混在一起，則任意取出一個，其兩面涂有油漆的概率是（)A。eq\f(1,12） B。eq\f（1,10） C.eq\f（3,25） D。eq\f（12，125）3．(2010·遼寧）三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．4．有100張卡片（編號從1號到100號)，從中任取1張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率為________．5．(2011·大理模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，從五個點：A（0,0），B(2,0)，C（1，1），D(0，2），E(2,2）中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是________(用分數(shù)表示)。探究點一基本事件的概率例1投擲六個面分別記有1，2，2,3，3,3的兩顆骰子．（1）求所出現(xiàn)的點數(shù)均為2的概率；（2)求所出現(xiàn)的點數(shù)之和為4的概率．變式遷移1一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球,2只黑球，從中一次摸出兩只球．問：(1)共有多少個基本事件?（2）摸出的兩只球都是白球的概率是多少？探究點二古典概型的概率計算例2班級聯(lián)歡時,主持人擬出了如下一些節(jié)目：跳雙人舞、獨唱、朗誦等，指定3個男生和2個女生來參與，把5個人分別編號為1，2,3，4，5,其中1,2,3號是男生，4，5號是女生，將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個箱子中充分混合,每次從中隨機地取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目．（1）為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片,求取出的2人不全是男生的概率;(2)為了選出2人分別表演獨唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中,充分混合后再從中抽取第二張卡片，求獨唱和朗誦由同一個人表演的概率．變式遷移2同時拋擲兩枚骰子，求至少有一個5點或6點的概率．探究點三古典概型的綜合問題例3(2009·山東）汽車廠生產(chǎn)A，B,C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表（單位:輛）：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(1)求z的值；（2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體,從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率;(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8。6，9。2,9.6,8.7,9。3，9。0,8。2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0。5的概率．變式遷移3為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門對某校6名學(xué)生進行問卷調(diào)查,6人得分情況如下：5,6,7，8,9，10.把這6名學(xué)生的得分看成一個總體．(1)求該總體的平均數(shù)；（2)用簡單隨機抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個樣本．求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0。5的概率．分類討論思想的應(yīng)用例(12分）甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．（1）設(shè)（i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況；（2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝．你認為此游戲是否公平，說明你的理由．多角度審題本題屬于求較復(fù)雜事件的概率,關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型,聯(lián)想擲骰子試驗，把紅桃2、紅桃3、紅桃4和方片4分別用數(shù)字2，3,4,4′表示,抽象出基本事件，把復(fù)雜事件用基本事件表示，找出總體I包含的基本事件總數(shù)n及事件A包含的基本事件個數(shù)m，用公式P（A）＝eq\f（m,n)求解．【答題模板】解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情況（方片4用4′表示,其他用相應(yīng)的數(shù)字表示）為(2,3），(2,4）,（2,4′)，(3，2)，(3,4），(3,4′）,（4,2)，(4，3），(4，4′)，（4′，2)，(4′,3)，(4′，4），共12種不同情況．［6分］(2)甲抽到紅桃3，乙抽到的牌的牌面數(shù)字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率為eq\f（2,3）.[9分］(3)甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大的情況有（3,2），(4,2），（4，3），（4′，2),(4′,3），共5種,故甲勝的概率P1＝eq\f（5，12),同理乙勝的概率P2＝eq\f(5,12）.因為P1＝P2，所以此游戲公平．[12分］【突破思維障礙】(1）對一些較為簡單、基本事件個數(shù)不是太大的概率問題,計數(shù)時只需要用枚舉法即可計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意：計算時要嚴防遺漏，絕不重復(fù)．（2)取球模型是古典概型計算中的一個典型問題，好多實際問題都可以歸結(jié)到取球模型上去，特別是產(chǎn)品的抽樣檢驗,解題時要分清“有放回"與“無放回”,“有序"與“無序”等條件的影響．【易錯點剖析】1．題目中“紅桃4"與“方片4”屬兩個不同的基本事件,應(yīng)用不同的數(shù)字或字母標(biāo)注．2．注意“抽出的牌不放回”對基本事件數(shù)目的影響．1．基本事件的特點主要有兩條：①任何兩個基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型的基本特征是：①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．計算古典概型的基本步驟有：①判斷試驗結(jié)果是否為等可能事件；②求出試驗包括的基本事件的個數(shù)n，以及所求事件A包含的基本事件的個數(shù)m；③代入公式P(A)＝eq\f(m，n），求概率值．(滿分:75分)一、選擇題(每小題5分,共25分）1．（2011·浙江寧波十校聯(lián)考）將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率為()A.eq\f(19，36） B.eq\f(1,2） C.eq\f（5，9） D。eq\f（17,36)2．（2009·福建）已知某運動員每次投籃命中的概率低于40％?，F(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3，4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A．0.35 B．0。25 C．0。20 D．3．（2011·西南名校聯(lián)考）連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n，則向量(m，n）與向量（－1，1）的夾角θ〉90°的概率是（)A。eq\f（5,12) B。eq\f（7，12) C。eq\f（1,3) D。eq\f（1,2）4．設(shè)集合A＝{1,2｝,B＝{1，2，3｝,分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P（a,b)，記“點P(a，b）落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5,n∈N）,若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為（）A．3 B．4 C．2,5 D．3,5．在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2，3,4,5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（)A。eq\f（1,12) B。eq\f(1,10） C。eq\f(1，5) D.eq\f（3，10)二、填空題（每小題4分，共12分)6．在一次教師聯(lián)歡會上,到會的女教師比男教師多12人,從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目．若選到男教師的概率為eq\f(9,20)，則參加聯(lián)歡會的教師共有________人．7．（2011·上海十四校聯(lián)考)在集合{x|x＝eq\f(nπ，6），n＝1，2，3，…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cosx＝eq\f(1，2）的概率是________．8．（2009·江蘇）現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位：m）分別為2.5,2.6，2。7，2.8，2。9,若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m三、解答題（共38分）9．(12分）(2011·北京朝陽區(qū)模擬）袋子中裝有編號為a，b的2個黑球和編號為c，d,e的3個紅球，從中任意摸出2個球．（1）寫出所有不同的結(jié)果;（2)求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率；（3)求至少摸出1個黑球的概率．10．(12分）（2010·天津濱海新區(qū)五校聯(lián)考)某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0，1，2,3四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回,連續(xù)取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎．(1）求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率．11．(14分）（2011·廣州模擬)已知實數(shù)a，b∈{－2，－1，1，2}．（1）求直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限的概率；（2)求直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點的概率．學(xué)案61古典概型自主梳理1．（1)互斥（2)基本事件的和3.eq\f(1,n)eq\f（m,n）自我檢測1．A2.D3.eq\f（1，3)4。0。145。eq\f(4，5)課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引確定古典概型的基本事件有兩條:一、每個事件發(fā)生的可能性相等；二、事件空間Ω中的任一個事件都可以表示為這些基本事件的和，基本事件的確定有一定的相對性，并非一成不變的．解因為擲骰子出現(xiàn)1，2,3的概率不一樣，所以，記6個面為1，a,b，x，y,z,其中a，b都表示2，x，y，z都表示3，則投擲兩顆骰子,基本事件為(1，1），（1,a），(1，b），（1，x)，(1，y)，（1，z)，（a,1)，（a，a)，(a，b),（a，x），（a，y），(a，z)，…，(z，1），（z，a),（z，b），（z，x)，（z，y），(z,z)共36種結(jié)果．(1）擲兩顆骰子出現(xiàn)點數(shù)均為2的基本事件有（a,a)，(a,b），(b，a），(b，b）共4種，∴概率為P1＝eq\f(4，36)＝eq\f（1,9）.（2）出現(xiàn)點數(shù)之和為4，說明有兩種情況，即1＋3或2＋2,基本事件有(1，x），（1，y)，(1，z），（x，1)，（y,1），（z,1)，(a，a），(a，b），(b，a)，(b，b)共10種，∴概率為P2＝eq\f(10，36）＝eq\f（5,18).變式遷移1解（1）分別記白球為1,2,3號，黑球為A，B號，從中摸出2只球，有如下基本事件:(1,2)，(1,3）,（1，A)，（1，B），(2,3），（2，A），(2，B），（3，A）,(3，B），（A，B)，因此，共有10個基本事件．(2）上述10個基本事件發(fā)生的可能性相同,且只有3個基本事件是摸到兩只白球（記為事件A），即（1,2),（1,3），（2,3)，故P(A)＝eq\f(3,10)。例2解題導(dǎo)引古典概型的概率計算公式是P(A)＝eq\f（m,n).由此可知，利用列舉法算出所有基本事件的個數(shù)n以及事件A包含的基本事件數(shù)m是解題關(guān)鍵．必要時可以采用畫樹狀圖或列表法輔助列舉基本事件．解（1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結(jié)果(如下圖所示)．由上圖可以看出，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為20,因為每次都隨機抽取,因此這20種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型．用A1表示事件“連續(xù)抽取2人一男一女”，A2表示事件“連續(xù)抽取2人都是女生”，則A1與A2互斥，并且A1∪A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片,取出的2人不全是男生",由列出的所有可能結(jié)果可以看出，A1的結(jié)果有12種，A2的結(jié)果有2種,由互斥事件的概率加法公式，可得P（A1∪A2）＝P（A1)＋P（A2)＝eq\f(12，20)＋eq\f(2,20）＝eq\f（7，10）＝0。7，即連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7.(2）有放回地連續(xù)抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次被取出,并且它被取出的可能性和其他卡片相等,我們用一個有序?qū)崝?shù)對表示抽取的結(jié)果,例如“第一次取出2號，第二次取出4號”就用（2，4)來表示，所有的可能結(jié)果可以用下表列出。第二次抽取第一次抽取123451（1,1)（1，2）（1,3)（1,4)(1，5）2（2,1）（2,2）（2,3)（2,4)（2,5)3(3，1）（3,2）(3,3)（3，4)（3，5)4（4，1）（4，2)(4，3)（4,4)(4，5）5(5，1)(5，2)（5,3)(5,4）（5，5）試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為25，并且這25種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型．用A表示事件“獨唱和朗誦由同一個人表演”，由上表可以看出,A的結(jié)果共有5種，因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率P（A)＝eq\f(5，25）＝0.2。變式遷移2解方法一同時拋擲兩枚骰子，所有基本事件如下表：1234561（1,1）(1，2）（1，3）（1，4)（1，5)（1,6)2（2，1）(2,2）(2,3）（2，4)（2,5)（2，6)3（3,1)（3,2）(3,3)(3,4）（3，5)(3，6)4(4，1）（4，2)（4,3）（4，4）（4，5）(4，6)5(5,1）(5,2）（5,3)（5,4)(5,5）(5,6)6（6,1)(6,2）(6,3）(6，4)(6,5）(6，6)共有36個不同的結(jié)果，其中“至少有一個5點或6點"的基本事件數(shù)為20，所以至少有一個5點或6點的概率為P＝eq\f（20,36）＝eq\f(5,9）。方法二利用對立事件求概率．“至少有一個5點或6點"的對立事件是“沒有5點或6點”,如上表,“沒有5點或6點"包含16個基本事件，沒有5點或6點的概率為P＝eq\f（16,36)＝eq\f(4，9).∴至少有一個5點或6點的概率為1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).例3解題導(dǎo)引本題主要考查抽樣的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知識解決實際問題的能力．解（1）設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得eq\f（50,n)＝eq\f（10，100＋300)，所以n＝2000。則z＝2000－（100＋300)－(150＋450)－600＝400.（2）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得eq\f（400,1000）＝eq\f(a,5)，即a＝2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準型轎車．用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有:(A1，A2),(A1，B1),(A1,B2），（A1，B3),（A2，B1），(A2,B2），（A2,B3)，（B1，B2)，(B1，B3）,(B2，B3)共10個．事件E包含的基本事件有：(A1,A2），(A1，B1),（A1，B2）,(A1，B3)，(A2，B1)，（A2,B2）,(A2，B3)共7個．故P(E）＝eq\f（7,10)，即所求概率為eq\f（7，10).（3）樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f（1,8)×(9。4＋8。6＋9。2＋9.6＋8。7＋9.3＋9。0＋8.2)＝9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù),該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有:9.4,8。6,9.2,8。7，9.3，9.0,共6個，所以P（D)＝eq\f（6,8)＝eq\f(3,4)，即所求概率為eq\f（3,4）。變式遷移3解(1)總體平均數(shù)為eq\f（1，6）×(5＋6＋7＋8＋9＋10）＝7。5。(2）設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5"．從總體中抽取2個個體全部可能的基本結(jié)果有:(5,6)，（5,7），(5,8)，(5,9）,(5，10），(6，7），(6,8)，（6,9)，(6,10），（7,8)，（7,9)，(7,10)，(8，9），(8，10），（9，10），共15個基本結(jié)果．事件A包括的基本結(jié)果有：（5,9），(5,10)，(6，8)，(6,9),（6，10)，（7,8),(7,9),共有7個基本結(jié)果．所以所求的概率為P（A)＝eq\f(7，15）.課后練習(xí)區(qū)1．A2．B[由題意知在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、271、932、812、393，共5組隨機數(shù)，故所求概率為eq\f(5，20）＝eq\f(1,4）＝0。25。］3．A［由題意知，(m,n)·(－1,1）＝－m＋n<0，∴m〉n.基本事件總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1），（3，1），（3,2)，（4,1），（4,2），（4,3)，(5,1),…，(5,4),（6,1)，…,（6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個）．∴P＝eq\f（15，36）＝eq\f（5,12）.]4．D［落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝eq\f(1，6），落在直線x＋y＝3上的概率P（C3）＝eq\f(2，6）；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝eq\f(2,6)；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝eq\f(1，6),故當(dāng)n為3和4時，事件Cn的概率最大．]5．D[由袋中隨機取出2個小球的基本事件總數(shù)為10,取出小球標(biāo)注數(shù)字和為3的事件為1，2。取出小球標(biāo)注數(shù)字和為6的事件為1，5或2，4.∴取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率為P＝eq\f（1＋2，10)＝eq\f（3,10).]6．120解析設(shè)男教師有n人，則女教師有(n＋12）人．由已知從這些教師中選一人，選到男教師的概率P＝eq\f（n，2n＋12）＝eq\f(9，20）,得n＝54,故參加聯(lián)歡會的教師共有120人．7.eq\f(1,5)解析coseq\f(π,3）＝coseq\f(5π，3)＝eq\f(1,2),共2個．x總體共有10個,所以概率為eq\f（2，10）＝eq\f（1,5)。8．0。2解析從5根竹竿中一次隨機抽取2根竹竿共有10（種）抽取方法，而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0。3m∴概率P＝eq\f（2，10)＝0.2。9．解(1）ab，ac，ad,ae，bc，bd，be，cd，ce，de。共10種不同結(jié)果．（2分)（2)記“恰好摸出1個黑球和1個紅球”為事件A，則事件A包含的基本事件為ac，ad，ae，bc,bd，be，共6個基本事件．所以P（A)＝eq\f（6，10）＝0。6.所以恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率為0.6。(7分)(3)記“至少摸出1個黑球”為事件B，則事件B包含的基本事件為ab,ac,ad，ae,bc，bd，be，共7個基本事件，所以P(B)＝eq\f(7，10）＝0.7.所以至少摸出1個黑球的概率為0.7.(12分)10．解設(shè)“中三等獎”的事件為A，“中獎”的事件為B，從四個小球中有放回的取兩個共有(0,0），(0，1），(0，2),（0,3），(1，0),(1,1），（1，2)，（1，3），(2，0）,(2,1)，（2，