《矩形的性質(zhì)與判定》教學(xué)設(shè)計1.了解矩形的有關(guān)概念，理解并掌握矩形的有關(guān)性質(zhì)．2.經(jīng)過探索矩形的概念和性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理意識；掌握幾何思維方法．3.經(jīng)歷矩形判定定理的探索過程，進一步發(fā)展合情推理能力.4.能夠用綜合法證明矩形的判定定理，進一步發(fā)展演繹推理能力.1.掌握矩形的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用．2.理解矩形的特殊性．3.矩形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．4.理解矩形判定定理的應(yīng)用5.矩形判定定理的應(yīng)用多媒體課件一、情境導(dǎo)入導(dǎo)語：在我們現(xiàn)實生活中，平行四邊形的形象無處不在，請同學(xué)們觀察下列圖片中的平行四邊形.這些平行四邊形中有一個角是直角，像這樣的平行四邊形叫矩形.二、探究新知矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形在生活中隨處可見，你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流.（1）矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？（矩形的對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分.中心對稱圖形）（2）你認為矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流.2.活動內(nèi)容1：請同學(xué)們用你手中的矩形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？（2）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，分別是兩條長的中點的連線和兩條寬的中點的連線.矩形是中對稱圖形，對稱中心是兩條對稱軸的交點.（3）從邊、角、對角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．①邊：對邊平行且相等（與平行四邊形相同），鄰邊互相垂直；②角：四個角是直角；③對角線：相等且互相平分．活動內(nèi)容2：矩形性質(zhì)定理的證明如何推理證明“矩形的四個角都是直角，對角線相等”這兩個性質(zhì)呢？已知:如圖,四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°，對角線AC與BD相交于點O,求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.處理方式：分析:(1)由矩形的定義,利用對角相等,鄰角互補可使問題得證.(2)根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明，教師引導(dǎo)學(xué)生互相交流、確定證明思路，最后找一名學(xué)生板書證明過程，教師規(guī)范解題過程的書寫.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的對角相等），∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的對邊相等），在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC∴△ABC≌△DCB∴AC=DB.設(shè)計意圖：通過對性質(zhì)的分析與證明，一方面讓學(xué)生養(yǎng)成獨立思考問題的習(xí)慣，對于不能獨立解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮小組合作的作用，提高學(xué)生的交流能力；另一方面通過解題過程的板書提高學(xué)生的書寫能力，養(yǎng)成規(guī)范書寫的習(xí)慣.活動內(nèi)容3：在Rt△ABC中，斜邊AB上的中線是，它與斜邊的關(guān)系是CD=AB．推論：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.教師強調(diào)：矩形的性質(zhì)定理1、對角線互相平分且相等；2、對邊平行且相等；3、四個角都是直角；4、矩形既是軸對稱圖形,對稱軸分別是兩條長的中點的連線和兩條寬的中點的連線，也是中心對稱圖形；5、矩形是特殊的平行四邊形,它具備平行四邊形的一切性質(zhì).例1.如圖矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,若AC=4，則OD的長是（）A.1B.C.2D.解析：根據(jù)矩形的對角線相等得到BD=AC=4，再根據(jù)對角線互相平分得到OD=2，故選C.例2.如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A.15°B.30°C.45°D.60°解析：根據(jù)矩形的四個角都是直角，得到∠BAD=90°，根據(jù)已知可以計算出∠FAD=30°，再由折疊的性質(zhì)可以得到∠DAE=15°故選A.例3．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC的中點，則DE＝_____．解析：根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：4例4.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形對角線的長.解:∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD,,∴OA=OD∵∠AOD=120°∴∠ODA=∠OAD=30°∵∠DAB=90°∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).3.矩形的判定1：定義法（有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形）制作一個如圖所示的平行四邊形的活動框架.在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發(fā)生什么變化？當(dāng)時，平行四邊形為矩形.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形且∠A=90°∴四邊形ABCD是矩形4.矩形的判定2的探究：對角線相等的平行四邊形是矩形活動內(nèi)容1：工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？處理方式：先由學(xué)生獨立思考，嘗試解答，再采取小組合作的方式，交流討論，進而得到結(jié)論:對角線相等的平行四邊形是矩形.活動內(nèi)容2：通過思考、交流，我們可以發(fā)現(xiàn)，對角線相等的平行四邊形是矩形，你能證明這個命題嗎？處理方式：鼓勵學(xué)生積極探索，大膽猜想，在此基礎(chǔ)上再進行嚴格地證明.證明過程中，學(xué)生可能會有一定的困難，教師要及時予以指導(dǎo)和規(guī)范.此處可安排學(xué)生板演證明過程.定理的證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線，且AC=DB，證明：四邊形ABCD是矩形.分析:要證明□ABCD是矩形,只要證明有一個角是直角即可.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC,AB//DC又∵BC=CB,AC=DB∴△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB∵AB//DC∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四邊形ABCD是矩形幾何語言：∵在□ABCD中，AC=BD∴□ABCD是矩形5.矩形的判定3的探究：三個角是直角的四邊形是矩形活動內(nèi)容1：一同學(xué)用“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣四步，畫出了一個四邊形，她說這就是一個矩形，她的判斷對嗎？為什么？處理方式：學(xué)生獨立完成作圖后可與課本作法進行對比，通過思考作法的正確性，探索得到矩形的另一種判定方法：三個角是直角的四邊形是矩形.并對這一判定方法加以證明.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，求證:四邊形ABCD是矩形.分析:利用同旁內(nèi)角互補,兩直線平行來證明四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.幾何語言：∵在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°∴□ABCD是矩形歸納：矩形的三個判定：1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.例5.判斷題：（1）有一個角是直角的四邊形是矩形.（×）（2）四個角都相等的四邊形是矩形.（√）（3）對角線相等的四邊形是矩形.（×）（4)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形（√）（5）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形.（√）例6.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（C）Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DAＣ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDＤ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD解析：根據(jù)菱形的三個判定可得C是錯誤的.例7、如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AC=8，DB=6，求證:四邊形ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=4OB=OD=3又∵AB=5∴∴∠AOB=90°∴AC⊥BD又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是菱形.6.矩形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用例7.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O,AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE,求AE的長.分析：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，可得到OE=BE,再結(jié)合AE⊥BD，可得AB=AO,從而有△ABO是等邊三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的長.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=BD(矩形的對角線相等且互相平分），∠BAD=90°（矩形的四個角都是直角）∵ED=3BE,∴BE=OE又∵AE⊥BD,∴AB=AO，∴AB=AO=BO,即△ABO是等邊三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，∴例8.△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上中線，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC與DE交于O點，求證：四邊形ADCE是矩形；（2）判斷OD與AB的關(guān)系，并說明理由.分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因為AN平分∠MAC可得∠DAE為90°，再加上CE⊥AN就可證明四邊形ADCE是矩形.（2）證得矩形后，可得O點是AC中點，那么OD是△ABC的中位線，就能得到OD與AB的關(guān)系了.解：(1)∵AB=AC,AD是中位線，∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，∴∠ADC=90°，又∵AN平分∠MAC，又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°，∴四邊形ADCE是矩形；(2)OD//AB,,理由：∵四邊形ADCE是矩形，∴OA=OC，又∵D是BC邊中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD//AB,.三、鞏固練習(xí)1.如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能說明□ABCD是矩形的有_______（填寫序號）.解析：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形；矩形的定義.答案：①④2.如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AD邊的中點，且MB=MC，求證：四邊形ABCD是矩形.分析：要證明平行四邊形ABCD是矩形，則只需驗證有一個角是直角或?qū)蔷€相等即可；根據(jù)題意可得△AMB≌△DMC，從而有∠A=∠D,再結(jié)合AB//CD，得到∠A=90°，即得證.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//DC，AB=DC，∴∠A+∠D=180°，∵M是AD的中點∴AM=MD∵MB=MC∴△AMB≌△DMC(SSS)∴∠A=∠D∵∠A+∠D=180°∴∠A=90°∴平行四邊形ABCD是矩形.3.已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm，求這個平行四邊形的面積.解：∵ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA，BD=2OB.∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，∴BC=，.ABCABCDOA.AB=CDB.OA=OC，OB=ODC.AC⊥BDD.AB∥CD，AD=BC解：A、由AB=DC，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤B、∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．故正確C、由AC⊥BD，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯誤．D、由AB∥CD，AC=BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯誤．5.如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=___5___時，四邊形APQD也為矩形．解：根據(jù)題意，當(dāng)AP=DQ時，四邊形APQD為矩形．此時，4t=20-t，解得t=4（s）．故答案是：4．6.如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為__2.4____．解：連接AP，∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP，∵AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，∴EF的最小值為2.4.4.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD為BC邊上的高，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AC，AE與DE交于點E，AB與DE交于點F，連結(jié)BE．（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）求四邊形AEBD的面積．分析（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定定理推知平行四邊形AEBD是矩形．（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的長度，由等腰三角形的性質(zhì)求得BD的長度，則矩形的面積=長×寬=AD?BD，即可得出結(jié)果．（1）證明：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四邊形AEDC是平行四邊形．∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD．∴BD=AE．∴四邊形AEBD是矩形．（2）解：在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3，∴AD=．∴四邊形AEBD的面積=BD?AD═3×4=12．5．如圖，矩形ABCD的對角線AC＝10，BC＝8，則圖中五個小矩形的周長之和為______解析：∵AC=10,BC=8根據(jù)勾股定理∴∴圖中的五個小矩形的周長之和即大矩形的周長2(AB+BC)=2(6+8)=286．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，則∠EAC的度數(shù)是( )A．18°B．36°C．45°D．72°解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=67.5°，∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，故選C.7.矩形的一邊長為6，各邊中點圍成的四邊形的周長是20，則矩形的對角線長為______，面積為________.解析：矩形各邊中點圍成的四邊形為菱形，且周長為20∴菱形的邊長為5，故矩形的對角線的長為10，矩形的另一邊=∴矩形的面積=6×8=48.8.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC.(1)求證：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求證：四邊形ADCE是矩形．解：(1)∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB＝DE，AB∥DE，∴∠B＝∠EDC，∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，∴∠EDC＝∠ACB，又∵DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(2)∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD//AE且BD=AE∵BD=DC∴DC//AE且DC=AE∴四邊形ADCE是平行四邊形∵AC=DE∴平行四邊形ADCE是矩形.四、拓展提高1.定理:如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.已知:CD是△ABC邊AB上的中線,且,求證:△ABC是直角三角形.分析:要證明△ABC是直角三角形,可以將點A,B,C構(gòu)造平行四邊形,然后證明其對角線相等,即可證明是矩形.證明:延長CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∵AD=BD,CD=ED.∴四邊形ACBE是平行四邊形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四邊形ACBE是矩形.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.2.(1)對角線相等的四邊形是矩形嗎?(等腰梯形)(2)需要添加什么條件才能使對角線相等的四邊形是矩形嗎?歸納：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形幾何語言：∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四邊形ABCD是矩形已知：矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點，且AE=BF=CG=DH.求證：四邊形EFGH是矩形.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=