第七章7.4.1二項分布基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.通過實例了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征.2.能用二項分布解決簡單的實際問題.基礎落實·必備知識全過關知識點

二項分布1.伯努利試驗:我們把只包含

可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

2.n重伯努利試驗:我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1)同一個伯努利試驗重復做n次;

各次試驗成功的概率相同(2)各次試驗的結果相互獨立.兩個

3.二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).4.二項分布的均值與方差(1)兩點分布:如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).

當n=1時,即為兩點分布過關自診1.在n次獨立重復試驗中,各次試驗的結果相互有影響嗎?提示

在n次獨立重復試驗中,各次試驗的結果相互之間無影響.因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的,所以第i+1次試驗的結果不受前i次結果的影響(其中i=1,2,…,n-1).2.[北師大版教材習題]設隨機變量X服從二項分布B(6,),則P(X=3)=(

)A3.[北師大版教材習題]若某人每次射擊命中目標的概率都為0.6,則經(jīng)過3次射擊,此人至少有2次命中目標的概率為(

)A4.[北師大版教材習題]設隨機變量ξ~B(10,0.8),求E(ξ).解

因為ξ~B(10,0.8),所以E(ξ)=10×0.8=8.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一n重伯努利試驗概率的求法【例1】

甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是,假設每次射擊是否擊中目標相互獨立,甲、乙相互之間沒有影響.(結果需用分數(shù)作答)(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標的概率;(2)若兩人各射擊2次,求甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率.變式探究

1在本例(2)的條件下,求甲、乙均擊中目標1次的概率.變式探究

2在本例(2)的條件下,求甲未擊中目標,乙擊中目標2次的概率.規(guī)律方法

n重伯努利試驗概率求法的三個步驟

一判斷依據(jù)n重伯努利試驗的特征,判斷所給試驗是不是n重伯努利試驗二分拆將復雜事件表示成若干個互斥事件的并三計算就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計算變式訓練1現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個游戲,擲出點數(shù)為1或2的人參加甲游戲,擲出點數(shù)大于2的人參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率;(2)求這4個人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)的概率.探究點二求兩點分布與二項分布的均值【例2】

某運動員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值;(2)求重復5次投籃時,命中次數(shù)Y的均值.解

(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表.X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=5×0.6=3.規(guī)律方法

常見的兩種分布的均值設p為一次試驗中成功的概率,則(1)兩點分布E(X)=p;(2)二項分布E(X)=np.熟練應用上述公式可大大減少運算量,提高解題速度.變式訓練2某射擊隊對9位運動員進行射擊測試,每位運動員進行3次射擊,至少命中2次則通過測試,已知每位運動員每次射擊命中的概率均為,各次射擊是否命中相互獨立,且每位運動員本次測試是否通過相互獨立,設9位運動員中有X人通過本次測試,則E(X)=

.

探究點三二項分布的應用【例3】

高二(1)班的一個研究性學習小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學習小組又分成兩個小組進行驗證性試驗.(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),求他們的試驗中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗中種子發(fā)芽成功就停止試驗,否則將繼續(xù)進行下次試驗,直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗的次數(shù)最多不超過5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)ξ的分布列.解

(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設5次試驗中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機變量X,規(guī)律方法

1.二項分布的簡單應用是求n重伯努利試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率.解題的一般思路是:根據(jù)題意設出隨機變量→分析出隨機變量服從二項分布→找到參數(shù)n,p→寫出二項分布的分布列→將k值代入求解概率.2.利用二項分布求解“至少”“至多”問題的概率,其實質是求隨機變量在某一取值范圍內的概率,一般轉化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和,或者利用對立事件求概率.變式訓練3[蘇教版教材例題]設某保險公司吸收10000人參加人身意外保險,該公司規(guī)定:每人每年付給公司120元,若意外死亡,公司將賠償10000元.如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,那么該公司會賠本嗎?解

設這10

000人中意外死亡的人數(shù)為X,依題意,隨機變量X~B(10

000,0.006).于是,X的分布列為P(X=k)=0.006k(1-0.006)10

000-k.當死亡人數(shù)為X時,公司要賠償X萬元,此時公司的利潤為(120-X)萬元.由上述分布,公司賠本的概率為P(120-X<0)=1-P(X≤120)這說明,公司幾乎不會賠本.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)n重伯努利試驗的概念及特征;(2)二項分布的概念及表示;(3)二項分布的均值、方差;(4)二項分布的性質.2.方法歸納:公式法,數(shù)學建模.3.常見誤區(qū):對于隨機變量是否服從二項分布容易判斷錯誤.成果驗收·課堂達標檢測12341.(多選題)下列事件中隨機變量ξ服從二項分布的有(

)A.隨機變量ξ表示重復拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)B.某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)ξC.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)D.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)AC1234解析

對于A,由于每拋擲一枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的概率都是相等的,且相互獨立,故隨機變量ξ表示重復拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)服從二項分布,故A正確;對于B,對于某射手從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)ξ,每次試驗不是獨立的,與其他各次試驗結果有關,故不是二項分布,故B錯誤;對于C,有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率都是相等的,且相互獨立,故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)服從二項分布,故C正確;對于D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率不一定相等,故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N)不服從二項分布,故D錯誤.故選AC.12342.有8件產(chǎn)品,其中4件是次品,從中有放回地取3次(每次1件),若X表示取得次品的次數(shù),則P(X≤2)等于(

)D12343.若隨機變量X服從二項分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p=,則n=

,D(X)=

.

2112344.[2023重慶開州期末]某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量(單位:噸)進行統(tǒng)計,最近50天的統(tǒng)計結果如下:日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率,且每天的銷售量相互獨立.(1)求從這50天中隨機選取的5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率;(2)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,X(單位:千元)表示該種商品某兩天銷售利潤的和,求X的分布列和數(shù)學期望.1234(2)X的可能取值為4,5,6,7,8,則P(X=4)=0.22=0.04,P(X=5)=2×0.2×0.5=0.2