2024屆江蘇省南京市鼓樓區(qū)高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.642．已知函數的定義域為，其導函數為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切4．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知數列的前n項和為，且對任意正整數n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20226．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝07．已知是虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.9．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A. B.C. D.10．已知關于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.711．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.12．若隨機事件滿足，，，則事件與的關系是（）A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.互斥且獨立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.14．已知函數在點處的切線為直線l，則l與坐標軸圍成的三角形面積為___________.15．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點P（1，y0）（y0＞0）到焦點的距離為2，則p＝__16．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個正方形分成9個全等的小正方形，對中間的一個小正方形進行著色得到第1個圖案（圖1）；在第1個圖案中對沒有著色的小正方形再重復以上做法得到第2個圖案（圖2）；以此類推，每進行一次操作，就得到一個新的正方形圖案，設原正方形的邊長為1，記第n個圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數列的通項公式______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，若函數處取得極值（1）求，的值；（2）求函數在上的最大值和最小值18．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程19．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點；（2）求二面角的大小20．（12分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產．某醫(yī)療器械廠統計了口罩生產車間每名工人的生產速度，并將所得數據分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產車間工人生產速度的中位數（結果寫成分數的形式）；（2）為了解該車間工人的生產速度是否與他們的工作經驗有關，現從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數據如下表：工齡x（單位：年）4681012生產速度y（單位：件/小時）4257626267根據上述數據求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的回歸方程，并據此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，21．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.22．（10分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】把化成，故可得為等比數列，從而得到的值.【詳解】數列中，，故，因為，故，故，所以，所以為等比數列，公比為，首項為.所以即，故，故選C.【點睛】給定數列的遞推關系，我們常需要對其做變形構建新數列（新數列的通項容易求得），常見的遞推關系和變形方法如下：（1），取倒數變形為；（2），變形為，也可以變形為；2、B【解析】令，求出函數的導數，得到函數的單調性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調遞增，故，即，所以，故選：B3、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A4、C【解析】根據題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.5、C【解析】先令代入中，求得，再根據遞推式得到，將與已知相減，可判斷數列是等比數列，進而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數列是等比數列，則，所以，所以，故選：C.6、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C7、D【解析】根據復數的幾何意義即可確定復數所在象限【詳解】復數在復平面內對應的點為則復數在復平面內對應的點位于第四象限故選：D8、D【解析】先求出的坐標，再求出其模【詳解】因為，，所以，故，故選：D.9、D【解析】由題，為可導函數，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導數定義的形式10、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數的關系列方程組可求得結果【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D11、A【解析】根據兩個平面平行得出其法向量平行，根據向量共線定理進行計算即可.【詳解】由題意得，因為，所以（），即，解得，所以.故選:A12、B【解析】利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨立，不互斥也不對立故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.25【解析】求出點A，B坐標，設出直線l的方程，聯立直線l與橢圓方程，借助韋達定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設，則，有，因此，，所以的值為.故答案：14、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數可得：函數，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.15、2【解析】根據已知條件，結合拋物線的定義，即可求解【詳解】解：∵拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點P（1，y0）（y0＞0）到焦點的距離為2，∴由拋物線的定義可得，，解得p＝2故答案為：216、【解析】根據題意，歸納總結，結合等比數列的前項和公式，即可求得的通項公式.【詳解】結合已知條件，歸納總結如下：第一個圖案中，著色正方形的面積即；第二個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導函數，由即可解得；（2）求出函數的單調區(qū)間，進而可以求出函數的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當變化時，與變化如下遞增遞減所以函數在上的最大值為，最小值為.18、（1）（2）【解析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理得出點坐標，最后由距離公式得出直線的方程【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設，，直線為由，得顯然，由韋達定理有：，則；所以，且，若，解得，所以19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據正棱柱的性質，結合線面垂直的判定定理、直角三角形的性質、正三角形的性質進行證明即可；（2）根據線面垂直的判定定理和性質，結合二面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，平面，則,又是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，且，平面，故平面，而平面，所以，又為正三角形，所以為的中點；【小問2詳解】在正中，取的中點為，則，又平面，則，且，平面，故平面，取的中點為，且的中點為，則，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中點為，則，，平面，所以平面，而平面，所以，故為二面角平面角，又，則，，所以在中，，即：，故二面角的大小為.：20、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預測其生產速度.【小問1詳解】解：設前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度為80件/小時.21、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據集合關系求解.詳解：(1),.則(2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且.由，得，解得.經檢驗，當時，成立，故實數的取值范圍是.點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關系是