二次函數(shù)與三角形存在性問題等腰三角形的存在性問題例1、如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．在拋物線的對稱軸上與否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由。鞏固練習(xí)1、如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知A(3,0)，且M(1,)是拋物線上另一點(diǎn)。連接，設(shè)點(diǎn)是軸上任一點(diǎn)，若以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 2、如圖1，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，通過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一種交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為。（1）求該拋物線的解析式。（2）在該拋物線的對稱軸上與否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出全部符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由。（3）當(dāng)<x<3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)，使△CBE的面積有最大值。（圖2、圖3供畫圖探究） 直角三角形存在性例2、如圖所示，將一邊長為3的正方形放置到平面直角坐標(biāo)系中，其頂點(diǎn)A、B均落在坐標(biāo)軸上，一拋物線過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)為P（1，4）（1）求拋物線的解析式；（2）y軸上與否存在一點(diǎn)N，正好使得△PNB為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的全部點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．鞏固練習(xí)1、如圖，拋物線＝－x2＋2x＋3與x軸交于B、E兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)．點(diǎn)P是直線AE上方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，與否存在點(diǎn)P，使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，闡明理由 2、如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上.若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn),且為直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).等腰直角三角形存在性在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.(1)請直接寫出點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得△CDE的周長最小,求點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)如圖(2),F為直線AC上的動點(diǎn),在拋物線上與否存在點(diǎn)P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請闡明理由.鞏固練習(xí)1、如圖,拋物線通過A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)B、C有關(guān)拋物線的對稱軸l對稱,過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動,點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動,與否存在這樣的點(diǎn)M、N,使得以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)△CNM是等腰直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo);若不存在,請闡明理由.

如圖,已知直線與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線

通過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)O出發(fā),向點(diǎn)A以每秒1個單位的速度勻速運(yùn)動;同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以每秒個單位的速度勻速運(yùn)動,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;

(2)問:當(dāng)t為什么值時(shí),△APQ為等腰直角三角形;

四、全等三角形的存在性問題例4、如圖所示，將一邊長為3的正方形放置到平面直角坐標(biāo)系中，其頂點(diǎn)A、B均落在坐標(biāo)軸上，一拋物線過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)為P（1，4）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，恰使△MOA≌△MOB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；鞏固練習(xí)如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上.(1)求拋物線的解析式;(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上與否存在一點(diǎn)P,使與全等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請闡明理由;五、相似三角形的存在性問題例5、如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，通過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一種交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，且對稱軸為直線。（1）求該拋物線的解析式。（2）連接，在軸上與否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請闡明理由。例6、如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)M為該拋物線的頂點(diǎn),連接BC、CM、BM.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)△BCM是直角三角形嗎?請闡明理由;

(3)探究坐標(biāo)軸上與否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請闡明理由.鞏固練習(xí)1、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)。（1）試求，，的坐標(biāo)。（2）將△ABC繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到△ABD。①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②判斷四邊形的形狀，并闡明理由。（3）在該拋物線對稱軸上與否存在點(diǎn)，使與相似？若存在，請直接寫出全部滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由。2、已知某二次函數(shù)的圖象與x軸分別相交于A（-3，0）和B（1，0），與y軸相交于C（0，-3m）（m＞0），頂點(diǎn)為點(diǎn)D.（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表達(dá)）；（2）當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？課后作業(yè)1、如圖1，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，通過、兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一種交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為。（1）求該拋物線的解析式。（2）連接，在軸上與否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由。2、如圖,已知直線與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線

通過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)O出發(fā),向點(diǎn)A以每秒1個單位的速度勻速運(yùn)動;同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以每秒個單位的速度勻速運(yùn)動