第4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法.必備知識·課前回顧關(guān)鍵能力·課堂突破必備知識·課前回顧回歸教材夯實四基知識梳理(2)分組求和法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減.(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消(注意消項規(guī)律),從而求得前n項和.(4)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.(5)倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.(6)并項求和法:一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見模型(1)等差模型:當(dāng)增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型是等差模型,增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型:當(dāng)后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.(3)遞推模型:找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式,可由遞推關(guān)系入手解決實際問題,該模型是遞推模型.等差模型、等比模型是該模型的兩個特例.重要結(jié)論對點自測BAB4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=

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解析:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.答案:95.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an=n·2n,則Sn=

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答案:(n-1)2n+1+2考點一數(shù)列求和關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點落實四翼角度一分組轉(zhuǎn)化法解題策略分組求和法的常見類型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組法求{an}的前n項和.例1-2(2023·遼寧沈陽模擬)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;角度二裂項相消法例1-2(2022·遼寧沈陽模擬)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.解題策略(1)利用裂項相消法求和時,應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.例1-3已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N+),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項公式;角度三錯位相減法解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因為q>0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n.例1-3已知{an}為等差數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N+),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N+).解題策略(1)一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.[針對訓(xùn)練](1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N+),則S2018等于(

)A.22018-1 B.3×21009-3C.3×21009-1 D.3×21008-2(3)已知等差數(shù)列{an}的公差是1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.①求數(shù)列{an}的通項公式;(3)已知等差數(shù)列{an}的公差是1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列.考點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題解題策略解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件,綜合函數(shù)與不等式的知識求解;數(shù)列是特殊的函數(shù),以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯上命題的特點.考點三數(shù)列中的創(chuàng)新題角度一選擇一個條件角度二選擇多個條件解題策略正確解決本題的關(guān)鍵是從三個條件中選擇兩個合并在題目中,確定出數(shù)列{an}的通項公式,從而完成新數(shù)列的數(shù)列求和.[針對訓(xùn)練]1.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4Sn=(an+1)2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;解:(1)因為4Sn=(an+1)2,所以當(dāng)n=1時,4a1=4S1=(a1+1)2,解得a1=1.當(dāng)n≥2時,4Sn-1=(an-1+1)2,又4Sn=(an+1)2,所以兩式相減得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因為an>0,所以an-an-1=2,所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n-1,故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.[針對訓(xùn)練]1.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4Sn=(an+1)2.2.(2021·山東威海高三上學(xué)期期中考試)在①a1+a3=b3,②b2+S5=-b4,③a1+a9=-4這三個條件中任選兩個,補充在下面的問題中.若問題中的