第二十六講比較與估算

------------------------------------------------------------------------------------在前面的章節(jié)中，同學(xué)們已經(jīng)對分?jǐn)?shù)的計算有了一定的認(rèn)識，也學(xué)習(xí)了很多比較分?jǐn)?shù)大小的方法．今天我們將繼續(xù)研究一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)比較大小和估算的問題．------------------------------------------------------------------------------------例題1．現(xiàn)有7個數(shù)，其中5個是、、、、．如果按照從小到大排列的第三個數(shù)是，那么位于最中間的數(shù)是多少？「分析」這是一個比較多個數(shù)大小關(guān)系的推理題，雖然其中有著兩個數(shù)未知，但是我們還應(yīng)該先比較已知數(shù)之間的大小關(guān)系，再利用其他條件來推理出題目的結(jié)果．練習(xí)1．有8個數(shù)，、、、、、是其中的6個．如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是．那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)？例題2．在不等式的方框中填入一個自然數(shù)，使得不等式成立．「分析」分子相同，分母大的分?jǐn)?shù)?。肿硬灰粯釉趺幢容^大小呢？練習(xí)2在不等式的方框中填入一個自然數(shù)，使得不等式成立．那么方框中最大可以填多少？----------------------------------------------------------------------------------在算式的估算中，有一種方法比較常用，就是用非常接近的數(shù)來替換原來的數(shù)，這樣可以得到一個和真實答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值與真實值之間的誤差是否符合題意．----------------------------------------------------------------------------------例題3．算式計算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？「分析」本題需要計算兩個較復(fù)雜的數(shù)相乘，但是不要求計算出最后結(jié)果，只要求出結(jié)果的整數(shù)部分就可以了．我們可以從以下兩個方面考慮：（1）估算結(jié)果的大致情況，推出整數(shù)部分．（2）計算出準(zhǔn)確結(jié)果，確定整數(shù)部分．那大家想一想應(yīng)該怎么辦？

練習(xí)3．算式計算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？----------------------------------------------------------------------------------算式的縮放是估算問題中經(jīng)常用到的方法．縮放的方法有很多．在放縮的時候要注意不可將范圍放縮得過大，這樣將無法起到放縮本來應(yīng)該有的作用．----------------------------------------------------------------------------------例題4．算式計算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？「分析」本題顯然不能硬算，不然太麻煩．如果能將該算式稍加變形，使它不僅變得好算，還能確定大小范圍，那就可以求出它的整數(shù)部分是多少了．

練習(xí)4．算式計算結(jié)果的整數(shù)部分是多少？例題5．求出的計算結(jié)果的整數(shù)部分．「分析」同例題4，需要對算式稍作變形，加以放縮來確定大小范圍，進(jìn)而求出整數(shù)部分．

例題6．（1）兩個小數(shù)的整數(shù)部分分別是4和5，那么這兩個小數(shù)乘積的整數(shù)部分共有多少種可能的取值？

（2）將兩個小數(shù)四舍五入到個位后，所得到的數(shù)值分別是7和9．將這兩個小數(shù)的乘積四舍五入到個位后共有多少種可能的取值？「分析」注意到題目中的兩個小數(shù)分別有一個連續(xù)的取值范圍，那么乘積也一定有一個連續(xù)的取值范圍．

等號與不等號的歷史一、等號，不等號為了表示等量關(guān)系，用“＝”表示“相等”，這是大家最熟悉的一個符號了．說來話長，在15、16世紀(jì)的數(shù)學(xué)書中，還用單詞代表兩個量的相等關(guān)系．例如在當(dāng)時一些公式里，常常寫著aequ或aequaliter這種單詞，其含義是“相等”的意思．1557年，英國數(shù)學(xué)家列科爾德，在其論文《智慧的磨刀石》中說：“為了避免枯燥地重復(fù)isaequalleto（等于）這個單詞，我認(rèn)真地比較了許多的圖形和記號，覺得世界上再也沒有比兩條平行而又等長的線段，意義更相同了．”于是，列科爾德有創(chuàng)見性地用兩條平行且相等的線段“＝”表示“相等”，“＝”叫做等號．用“＝”替換了單詞表示相等是數(shù)學(xué)上的一個進(jìn)步．由于受當(dāng)時歷史條件的限制，列科爾德發(fā)明的等號，并沒有馬上為大家所采用．歷史上也有人用其它符號表示過相等．例如數(shù)學(xué)家笛卡兒在1637年出版的《幾何學(xué)》一書中，曾用“∞”表示過“相等”．直到17世紀(jì)，德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茲，在各種場合下大力倡導(dǎo)使用“＝”，由于他在數(shù)學(xué)界頗負(fù)盛名，等號漸漸被世人所公認(rèn)．順便提一下，“≠”是表示“不相等”關(guān)系的符號，叫做不等號．“≠”和“=”的意義相反，在數(shù)學(xué)里也是經(jīng)常用到的，例如a＋1≠a＋5．二、大于號，小于號現(xiàn)實世界中的同類量，如長度與長度，時間與時間之間，有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系．我們知道，相等關(guān)系可以用“＝”表示，不等關(guān)系用什么符號來表示呢？為了尋求一套表示“大于”或“小于”的符號，數(shù)學(xué)家們絞盡了腦汁．1629年，法國數(shù)學(xué)家日臘爾，在他的《代數(shù)教程》中，用象征的符號“ff”表示“大于”，用符號“§”表示“小于”．例如，A大于B記作：“AffB”，A小于B記作“A§B”．1631年，英國數(shù)學(xué)家哈里奧特，首先創(chuàng)用符號“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，這就是現(xiàn)在通用的大于號和小于號．例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．與哈里奧特同時代的數(shù)學(xué)家們也創(chuàng)造了一些表示大小關(guān)系的符號．例如，1631年，數(shù)學(xué)家奧烏列德曾采用“”代表“大于”；用“”代表“小于”．1634年，法國數(shù)學(xué)家厄里貢在他寫的《數(shù)學(xué)教程》里，引用了很不簡便的符號，表示不等關(guān)系，例如：a＞b用符號“a3|2b”表示；b＜a用符號“b2|3a”表示．因為